Цепной комплекс

Инструмент гомологической алгебры

В математике цепной комплекс — это алгебраическая структура , состоящая из последовательности абелевых групп (или модулей ) и последовательности гомоморфизмов между последовательными группами, таких, что образ каждого гомоморфизма входит в ядро ​​следующего. С цепным комплексом связана его гомология , которая описывает, как изображения включаются в ядра.

Коцепной комплекс подобен цепному комплексу, за исключением того, что его гомоморфизмы направлены в противоположном направлении. Гомологии коцепного комплекса называются его когомологиями .

В алгебраической топологии сингулярный цепной комплекс топологического пространства X строится с использованием непрерывных отображений симплекса в X, а гомоморфизмы цепного комплекса отражают то , как эти отображения ограничиваются границей симплекса. Гомологии этого цепного комплекса называются сингулярными гомологиями X и являются обычно используемым инвариантом топологического пространства.

Цепные комплексы изучаются в гомологической алгебре , но используются в нескольких областях математики, включая абстрактную алгебру , теорию Галуа , дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию . В более общем смысле их можно определить в абелевых категориях .

Определения

Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп или модулей ..., A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ , A _{4 ,} ... соединенных гомоморфизмами (называемыми граничными операторами или дифференциалами ) d _n  : An → _{A n −1} , такой, что композиция любых двух последовательных отображений является нулевой. Явно, дифференциалы удовлетворяют условию d _n ∘ d _{n +1} = 0 или с подавленными индексами d ² = 0 . Комплекс можно записать следующим образом. ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d_{0}}}A_{0}{\xleftarrow {d_{1}}}A_{1}{\xleftarrow {d_{2}}}A_{2}{\xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

Коцепной комплекс — это понятие, двойственное цепному комплексу. Он состоит из последовательности абелевых групп или модулей ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ... соединенных гомоморфизмами d ⁿ  : An → ^{An +1} , удовлетворяющими d ^{n +1 .} ∘ d ^{п знак} равно 0 . Коцепной комплекс может быть записан аналогично цепному комплексу. ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

Индекс n в An или ^{в An} называется степенью ( или размерностью ) _. Разница между цепными и коцепными комплексами заключается в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, тогда как в коцепных комплексах они увеличивают размерность. Все концепции и определения цепных комплексов применимы к коцепным комплексам, за исключением того, что они следуют другому соглашению о размерности, и часто терминам будет присвоен префикс co- . В данной статье будут даны определения цепным комплексам, когда различие не требуется.

Ограниченный цепной комплекс — это комплекс, в котором почти все An равны 0 _; то есть конечный комплекс, расширенный влево и вправо на 0. Примером является цепной комплекс, определяющий симплициальные гомологии конечного симплициального комплекса . Цепной комплекс ограничен сверху , если все модули выше некоторой фиксированной степени N равны 0, и ограничен снизу, если все модули ниже некоторой фиксированной степени равны 0. Очевидно, что комплекс ограничен как сверху, так и снизу тогда и только тогда, когда комплекс ограничен.

Элементы отдельных групп (ко)цепного комплекса называются (ко)цепями . Элементы ядра d называются (ко)циклами (или замкнутыми элементами), а элементы образа d называются (ко)границами (или точными элементами). Прямо из определения дифференциала все границы являются циклами. n - я группа (ко)гомологий H _n ( H ⁿ ) — это группа (ко)циклов по модулю (ко)границ в степени n , т. е.

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

Точные последовательности

Точная последовательность (или точный комплекс) — это цепной комплекс, все группы гомологии которого равны нулю. Это означает, что все замкнутые элементы комплекса точны. Короткая точная последовательность — это ограниченная точная последовательность _, в которой только группы Ak , Ak _{+ 1} , Ak _{+ 2} могут быть ненулевыми. Например, следующий цепной комплекс представляет собой короткую точную последовательность.

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

В средней группе замкнутыми элементами являются элементы p Z ; это явно точные элементы этой группы.

Цепные карты

Цепное отображение f между двумя цепными комплексами и представляет собой последовательность гомоморфизмов для каждого n , которая коммутирует с граничными операторами на двух цепных комплексах, поэтому . Это записано в следующей коммутативной диаграмме . ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Цепная карта переводит циклы в циклы, а границы в границы и, таким образом, порождает карту гомологии . ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

Непрерывное отображение f между топологическими пространствами X и Y индуцирует цепное отображение между сингулярными цепными комплексами X и Y и, следовательно, индуцирует также отображение f _* между сингулярными гомологиями X и Y. Когда X и Y оба равны n -сфере , отображение, индуцированное гомологиями, определяет степень отображения f .

Понятие цепной карты сводится к понятию границы посредством построения конуса цепной карты.

Цепная гомотопия

Цепная гомотопия предлагает способ связать две цепные карты, которые индуцируют одно и то же отображение в группах гомологии, даже если эти карты могут быть разными. Учитывая два цепных комплекса A и B и два цепных отображения f , g  : A → B , гомотопия цепи — это последовательность гомоморфизмов h _n  : A _n → B _{n +1} таких, что hd _A + d _B h = f − g . Отображения можно записать в виде следующей диаграммы, но эта диаграмма не является коммутативной.

Отображение hd _A + d _B h , как легко проверить, индуцирует нулевое отображение гомологии для любого h . Отсюда сразу следует, что f и g индуцируют одно и то же отображение гомологии. Говорят, что f и g гомотопны по цепочке (или просто гомотопны ), и это свойство определяет отношение эквивалентности между отображениями цепочек.

Пусть X и Y — топологические пространства. В случае сингулярных гомологий гомотопия между непрерывными отображениями f , g  : X → Y индуцирует цепную гомотопию между цепными отображениями, соответствующими f и g . Это показывает, что два гомотопических отображения индуцируют одно и то же отображение сингулярных гомологий. Название «цепная гомотопия» мотивировано этим примером.

Примеры

Особые гомологии

Пусть X — топологическое пространство. Определим C _n ( X ) для натурального n как свободную абелеву группу, формально порожденную сингулярными n-симплексами в X , и определим граничное отображение как ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

где шляпка означает пропуск вершины . То есть граница сингулярного симплекса представляет собой знакопеременную сумму ограничений на его грани. Можно показать, что ∂ ² = 0, как и цепной комплекс; сингулярные гомологии являются гомологиями этого комплекса. ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

Сингулярные гомологии — полезный инвариант топологических пространств с точностью до гомотопической эквивалентности . Группа гомологии нулевой степени является свободной абелевой группой на компонентах пути X .

когомологии де Рама

Дифференциальные k -формы на любом гладком многообразии M при сложении образуют вещественное векторное пространство , называемое Ωk ⁽ M ) . Внешняя производная d отображает Ωk ⁽ M ) в Ωk ^{+ 1} ( M ), а d2 = ⁰ по существу следует из симметрии вторых производных , поэтому векторные пространства k -форм вместе с внешней производной представляют собой коцепный комплекс.

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

Когомологии этого комплекса называются когомологиями де Рама М . Локально постоянные функции обозначаются своим изоморфизмом с числом взаимно несвязных компонент M . Таким образом, комплекс был расширен, чтобы оставить комплекс точным на уровне нулевой формы с использованием оператора подмножества. ${\displaystyle \Re ^{c}}$

Гладкие отображения между многообразиями индуцируют цепные отображения, а гладкие гомотопии между отображениями индуцируют цепные гомотопии.

Категория цепных комплексов

Цепные комплексы K -модулей с цепными отображениями образуют категорию Ch _K , где K — коммутативное кольцо.

Если V = V и W = W — цепные комплексы, их тензорное произведение представляет собой цепной комплекс с элементами степени n , заданными формулой ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

и дифференциал, заданный формулой

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

где a и b — любые два однородных вектора в V и W соответственно и обозначает степень a . ${\displaystyle \left|a\right|}$

Это тензорное произведение превращает категорию Ch _K в симметричную моноидальную категорию . Объектом идентичности по отношению к этому моноидальному произведению является базовое кольцо K , рассматриваемое как цепной комплекс степени 0. Расплетение задается на простых тензорах однородных элементов формулой

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

Признак необходим для того, чтобы плетение представляло собой карту цепочки.

Более того, категория цепных комплексов K -модулей также имеет внутренний Hom : для данных цепных комплексов V и W внутренний Hom V и W , обозначаемый Hom( V , W ), представляет собой цепной комплекс с элементами степени n, заданными и дифференциал, определяемый ${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

Имеем естественный изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

Дальнейшие примеры

• Комплекс Амицур
• Комплекс, используемый для определения высших групп Чау Блоха.
• Комплекс Бухсбаум-Рим
• Чехический комплекс
• Комплекс двоюродного брата
• Комплекс Иагон-Норткотт
• Герстенский комплекс
• Графовый комплекс ^[1]
• Кошульский комплекс
• Комплекс Мура
• Комплекс Шур

Смотрите также

• Дифференциальная градуированная алгебра
• Дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Соответствие Долда-Кана гласит, что существует эквивалентность между категорией цепных комплексов и категорией симплициальных абелевых групп .
• Критерий ацикличности Бухсбаума – Эйзенбуда
• Дифференциальный модуль

Рекомендации

1. «Графовый комплекс».

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.