Когерентные когомологии пучков

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когомологии когерентных пучков — это метод получения функций с заданными свойствами. Многие геометрические вопросы можно сформулировать как вопросы о существовании сечений линейных расслоений или более общих когерентных пучков ; такие разделы можно рассматривать как обобщенные функции. Когомологии предоставляют вычислимые инструменты для создания разделов или объяснения того, почему они не существуют. Он также предоставляет инварианты, позволяющие отличить одно алгебраическое многообразие от другого.

Большая часть алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии сформулирована в терминах когерентных пучков и их когомологий.

Когерентные пучки

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . Существует понятие когерентного аналитического пучка на комплексном аналитическом пространстве и аналогичное понятие когерентного алгебраического пучка на схеме . В обоих случаях данное пространство имеет пучок колец , пучок голоморфных функций или регулярных функций , а когерентные пучки определяются как полная подкатегория категории -модулей (т. е. пучков -модулей). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Векторные расслоения, такие как касательное расслоение, играют фундаментальную роль в геометрии. В более общем смысле, для замкнутого подмногообразия с включением векторное расслоение на определяет когерентный пучок на , пучок прямого образа , который равен нулю вне . Таким образом, многие вопросы о подмногообразиях можно выразить в терминах когерентных пучков на . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Y\to X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В отличие от векторных расслоений, когерентные пучки (в аналитическом или алгебраическом случае) образуют абелеву категорию , и поэтому они замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер , изображений и коядер . На схеме квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков, включая локально свободные пучки бесконечного ранга.

Когомологии пучков

Для пучка абелевых групп на топологическом пространстве пучковые группы когомологий целых чисел определяются как правые производные функторы функтора глобальных сечений . В результате для нулевое значение и может быть отождествлено с . Для любой короткой точной последовательности пучков существует длинная точная последовательность групп когомологий: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i<0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle 0\to {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}\to 0}$

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,{\mathcal {A}})\to H^{0}(X,{\mathcal {B}})\to H^{0}(X,{\mathcal {C}})\to H^{1}(X,{\mathcal {A}})\to \cdots .}$

Если -пучок -модулей на схеме , то группы когомологий (определенные с использованием основного топологического пространства ) являются модулями над кольцом регулярных функций. Например, если — схема над полем , то группы когомологий — векторные пространства . Теория становится мощной, когда она представляет собой когерентный или квазикогерентный пучок, благодаря следующей последовательности результатов. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теоремы об исчезании в аффинном случае

Комплексный анализ произвел революцию благодаря теоремам Картана A и B в 1953 году. Эти результаты говорят, что если - когерентный аналитический пучок в пространстве Штейна , то он натянут на свои глобальные сечения , и для всех . (Комплексное пространство является штейновым тогда и только тогда, когда оно изоморфно замкнутому аналитическому подпространству для некоторого .) Эти результаты обобщают большой объем старых работ о построении комплексных аналитических функций с заданными особенностями или другими свойствами. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

В 1955 году Серр ввёл в алгебраическую геометрию когерентные пучки (сначала над алгебраически замкнутым полем , но это ограничение было снято Гротендиком ). Аналоги теорем Картана верны в большой общности: если - квазикогерентный пучок на аффинной схеме , то натянут на свои глобальные сечения, и для . ^{[2] Это связано с тем} , что категория квазикогерентных пучков на аффинной схеме эквивалентна категории -модулей, причем эквивалентность переводит пучок в -модуль . Фактически, среди всех квазикомпактных схем аффинные схемы характеризуются исчезновением высших когомологий для квазикогерентных пучков. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$

Чехские когомологии и когомологии проективного пространства

Вследствие исчезновения когомологий для аффинных схем: для отделимой схемы , аффинного открытого покрытия и квазикогерентного пучка на , группы когомологий изоморфны группам когомологий Чеха относительно открытого покрытия . ^[2] Другими словами, знание сечений на всех конечных пересечениях аффинных открытых подсхем определяет когомологии с коэффициентами в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{*}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Используя когомологии Чеха, можно вычислить когомологии проективного пространства с коэффициентами в любом линейном расслоении. А именно, для поля , положительного целого числа и любого целого числа когомологии проективного пространства с коэффициентами в линейном расслоении задаются формулой: ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

${\displaystyle H^{i}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(j))\cong {\begin{cases}\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}\geq 0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=0\\[6pt]0&i\neq 0,n\\[6pt]\bigoplus _{a_{0},\ldots ,a_{n}<0,\;a_{0}+\cdots +a_{n}=j}\;k\cdot x_{0}^{a_{0}}\cdots x_{n}^{a_{n}}&i=n\end{cases}}}$

В частности, этот расчет показывает, что когомологии проективного пространства над коэффициентами в любом линейном расслоении имеют конечную размерность как -векторное пространство. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Исчезновение этих групп когомологий выше размерности является особым случаем теоремы Гротендика об исчезновении : для любого пучка абелевых групп на нётеровом топологическом пространстве размерности для всех . ^[5] Это особенно полезно для нетеровой схемы ( например, многообразия над полем) и квазикогерентного пучка. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n<\infty }$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Пучковые когомологии плоских кривых

Учитывая гладкую проективную плоскую кривую степени когомологии пучка можно легко вычислить, используя длинную точную последовательность в когомологиях. Прежде всего заметим, что для вложения существует изоморфизм групп когомологий ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$ ${\displaystyle i:C\to \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} ^{2},i_{*}{\mathcal {O}}_{C})\cong H^{*}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$

так как это точно. Это означает, что короткая точная последовательность когерентных пучков ${\displaystyle i_{*}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

on , называемая идеальной последовательностью ^[6] , может использоваться для вычисления когомологий с помощью длинной точной последовательности в когомологиях. Последовательность читается как ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{1}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\to H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

которое можно упростить, используя предыдущие вычисления в проективном пространстве. Для простоты предположим, что базовым кольцом является (или любое алгебраически замкнутое поле). Тогда существуют изоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(-d))\end{aligned}}}$

который показывает, что кривая представляет собой конечномерное векторное пространство ранга ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {d-1 \choose d-3}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}$.

Теорема Куннета

Существует аналог формулы Куннета в когомологиях когерентных пучков для произведений многообразий. ^[7] Учитывая квазикомпактные схемы с аффинно-диагональями над полем , (например, разделенные схемы), и пусть и , то существует изоморфизм ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\in {\text{Coh}}(Y)}$

${\displaystyle H^{k}(X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y,\pi _{1}^{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {G}})\cong \bigoplus _{i+j=k}H^{i}(X,{\mathcal {F}})\otimes _{k}H^{j}(Y,{\mathcal {G}})}$

где канонические проекции на . ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ ${\displaystyle X\times _{{\text{Spec}}(k)}Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Вычисление пучковых когомологий кривых

В общий раздел определяет кривую , давая идеальную последовательность ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a,b)=\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(a)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}\pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}(b)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-a,-b)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{C}\to 0}$

Тогда длинная точная последовательность будет выглядеть так:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{0}(X,{\mathcal {O}})\to H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}})\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{C})\\&\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\to H^{2}(X,{\mathcal {O}})\to H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{C})\end{aligned}}}$

предоставление

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}})\\H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})&\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}(-a,-b))\end{aligned}}}$

Поскольку это род кривой, мы можем использовать формулу Куннета для вычисления ее чисел Бетти. Это ${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-a,-b))\cong H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-a))\otimes _{k}H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-b))}$

который имеет ранг

${\displaystyle {\binom {a-1}{a-2}}{\binom {b-1}{b-2}}=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1}$^[8]

для . В частности, если определяется исчезающим геометрическим сечением общего положения , оно имеет род ${\displaystyle -a,-b\leq -2}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(2,k)}$

${\displaystyle 2k-2-k+1=k-1}$

следовательно, кривую любого рода можно найти внутри . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$

Конечномерность

Для правильной схемы над полем и любым когерентным пучком на группа когомологий имеет конечную размерность как -векторные пространства. ^[9] В частном случае, когда проективно над , это доказывается путем сведения к случаю линейных расслоений на проективном пространстве, обсуждавшемуся выше. В общем случае собственной схемы над полем Гротендик доказал конечность когомологий путем сведения к проективному случаю, используя лемму Чоу . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

Конечномерность когомологий справедлива и в аналогичной ситуации с когерентными аналитическими пучками в любом компактном комплексном пространстве, но по совершенно иному аргументу. Картан и Серр доказали конечномерность в этой аналитической ситуации, используя теорему Шварца о компактных операторах в пространствах Фреше . Относительные версии этого результата для собственного морфизма были доказаны Гротендиком (для локально нётеровых схем) и Грауэртом (для комплексных аналитических пространств). А именно, для собственного морфизма (в алгебраической или аналитической ситуации) и когерентного пучка на высшие пучки прямых изображений когерентны. ^[10] Когда является точкой, эта теорема дает конечномерность когомологий. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle Y}$

Конечномерность когомологий приводит ко многим числовым инвариантам проективных многообразий. Например, если — гладкая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем , то род определяется как размерность -векторного пространства . Когда поле комплексных чисел , это согласуется с родом пространства комплексных точек в его классической (евклидовой) топологии. (В этом случае — замкнутая ориентированная поверхность .) Среди многих возможных многомерных обобщений геометрический род гладкого проективного многообразия размерности — это размерность , а арифметический род (согласно одному соглашению ^[11] ) — это знакопеременная сумма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )=X^{an}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

Двойственность Серра

Двойственность Серра является аналогом двойственности Пуанкаре для когомологий когерентных пучков. В этой аналогии роль ориентационного пучка играет каноническое расслоение . А именно, для гладкой собственной схемы размерности над полем существует естественное отображение следов , которое является изоморфизмом, если геометрически связно , а это означает, что замена базы на алгебраическое замыкание связно . Двойственность Серра для векторного расслоения на говорит, что произведение ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})\to k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})\to H^{n}(X,K_{X})\to k}$

является идеальной парой для любого целого числа . ^[12] В частности, -векторные пространства и имеют одинаковую (конечную) размерность. (Серр также доказал двойственность Серра для голоморфных векторных расслоений на любом компактном комплексном многообразии.) Теория двойственности Гротендика включает обобщения на любой когерентный пучок и любой собственный морфизм схем, хотя утверждения становятся менее элементарными. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{*})}$

Например, для гладкой проективной кривой над алгебраически замкнутым полем двойственность Серра означает, что размерность пространства 1-форм на равна роду (размерности ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{1})=H^{0}(X,K_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теоремы ГАГА

Теоремы GAGA связывают алгебраические многообразия над комплексными числами с соответствующими аналитическими пространствами. Для схемы X конечного типа над C существует функтор от когерентных алгебраических пучков на X к когерентным аналитическим пучкам на ассоциированном аналитическом пространстве Xan ^. Ключевая теорема GAGA (Гротендика, обобщающая теорему Серра на проективный случай) состоит в том, что если X является собственным над C , то этот функтор является эквивалентностью категорий. Более того, для любого когерентного алгебраического пучка E на собственной схеме X над C естественное отображение

${\displaystyle H^{i}(X,E)\to H^{i}(X^{\text{an}},E^{\text{an}})}$

(конечномерных) комплексных векторных пространств является изоморфизмом для всех i . ^[13] (Первая группа здесь определяется с использованием топологии Зариского, а вторая — с помощью классической (евклидовой) топологии.) Например, из эквивалентности между алгебраическими и аналитическими когерентными пучками в проективном пространстве следует теорема Чоу о том, что каждое замкнутое аналитическое подпространство CP ⁿ алгебраичен.

Теоремы об исчезании

Теорема об исчезновении Серра гласит, что для любого обильного линейного расслоения на правильной схеме над нетеровым кольцом и любого когерентного пучка на существует целое число такое, что для всех пучок натянут на свои глобальные сечения и не имеет когомологий в положительных степенях. ^{[14] [15]} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m\geq m_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes L^{\otimes m}}$

Хотя теорема Серра об исчезновении полезна, неясность числа может стать проблемой. Теорема Кодаиры об исчезновении является важным явным результатом. А именно, если - гладкое проективное многообразие над полем нулевой характеристики, является обильным линейным расслоением на и каноническим расслоением , то ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle H^{j}(X,K_{X}\otimes L)=0}$

для всех . Обратите внимание, что теорема Серра гарантирует то же самое исчезновение для больших степеней . Исчезновение Кодайры и его обобщения имеют фундаментальное значение для классификации алгебраических многообразий и программы минимальной модели . Исчезновение Кодайры терпит неудачу в полях с положительной характеристикой. ^[16] ${\displaystyle j>0}$ ${\displaystyle L}$

Теория Ходжа

Теорема Ходжа связывает когерентные когомологии пучков с сингулярными когомологиями (или когомологиями де Рама ). А именно, если — гладкое комплексное проективное многообразие, то существует каноническое разложение комплексных векторных пространств в прямую сумму: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{a}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{b=0}^{a}H^{a-b}(X,\Omega ^{b}),}$

для каждого . Группа слева означает сингулярные когомологии в его классической (евклидовой) топологии, тогда как группы справа представляют собой группы когомологий когерентных пучков, которые (по GAGA) могут быть взяты либо в топологии Зарисского, либо в классической топологии. Тот же вывод верен для любой гладкой собственной схемы над или для любого компактного кэлерова многообразия . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Например, из теоремы Ходжа следует, что определение рода гладкой проективной кривой как размерности , что имеет смысл в любом поле , согласуется с топологическим определением (как половина первого числа Бетти ), когда – комплексные числа. Теория Ходжа вдохновила на большое количество работ по топологическим свойствам комплексных алгебраических многообразий. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Теоремы Римана – Роха

Для правильной схемы X над полем k эйлерова характеристика когерентного пучка E на X — это целое число

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{j}(-1)^{j}\dim _{k}(H^{j}(X,E)).}$

Эйлерова характеристика когерентного пучка E может быть вычислена из классов Черна E в соответствии с теоремой Римана-Роха и ее обобщениями, теоремой Хирцебруха-Римана-Роха и теоремой Гротендика-Римана-Роха . Например, если L — линейное расслоение на гладкой собственной геометрически связной кривой X над полем k , то

${\displaystyle \chi (X,L)={\text{deg}}(L)-{\text{genus}}(X)+1,}$

где deg( L ) обозначает степень L .

В сочетании с теоремой об исчезновении теорему Римана – Роха часто можно использовать для определения размерности векторного пространства секций линейного расслоения. Зная, что линейное расслоение на X имеет достаточно секций, в свою очередь, можно использовать для определения отображения X в проективное пространство, например, замкнутого погружения. Этот подход важен для классификации алгебраических многообразий.

Теорема Римана–Роха также справедлива для голоморфных векторных расслоений на компактном комплексном многообразии согласно теореме Атьи–Зингера об индексе .

Рост

Размерности групп когомологий на схеме размерности n могут расти не более чем как полином степени n .

Пусть X — проективная схема размерности n , а D — дивизор на X. Если на X существует какой-либо когерентный пучок , то ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {F}}(mD))=O(m^{n})}$для каждого я .

Для высших когомологий nef дивизора D на X ;

${\displaystyle h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD))=O(m^{n-1})}$

Приложения

Учитывая схему X над полем k , теория деформации изучает деформации X до бесконечно малых окрестностей. Простейший случай, касающийся деформаций над кольцом двойственных чисел , исследует, существует ли схема X _R над Spec R такая, что специальный слой ${\displaystyle R:=k[\epsilon ]/\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle X_{R}\times _{\operatorname {Spec} R}\operatorname {Spec} k}$

изоморфно данному X . Когерентные пучковые когомологии с коэффициентами в касательном пучке контролируют этот класс деформаций X при условии, что X является гладким. А именно, ${\displaystyle T_{X}}$

• классы изоморфизма деформаций указанного типа параметризуются первыми когерентными когомологиями , ${\displaystyle H^{1}(X,T_{X})}$
• существует элемент (называемый классом препятствий), в котором он обращается в нуль тогда и только тогда, когда существует деформация X над Spec R , как указано выше. ${\displaystyle H^{2}(X,T_{X})}$

Примечания

1. (Хартшорн 1977, (III.1.1A) и раздел III.2.)
2. Проект ab Stacks, тег 01X8.
3. Проект Stacks, тег 01XE.
4. (Хартшорн 1977, теорема III.5.1.)
5. (Хартшорн 1977, Теорема III.2.7.)
6. Хохенеггер, Андреас (2019). «Введение в производные категории когерентных пучков». У Андреаса Хохенеггера; Манфред Лен; Паоло Стеллари (ред.). Бирациональная геометрия гиперповерхностей . Конспекты лекций Unione Matematica Italiana. Том. 26. С. 267–295. arXiv : 1901.07305 . Бибкод : 2019arXiv190107305H. дои : 10.1007/978-3-030-18638-8_7. ISBN 978-3-030-18637-1. S2CID  119721183.
7. «Раздел 33.29 (0BEC): Формула Кюннета — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 23 февраля 2020 г.
8. Вакиль. «ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КЛАССЫ 35 И 36» (PDF) .
9. Проект Stacks, тег 02O3.
10. (Гротендик и Дьедонне 1961, (EGA 3) 3.2.1), (Грауэрт и Реммерт 1984, теорема 10.4.6.)
11. (Серр 1955, раздел 80.)
12. (Хартшорн 1977, теорема III.7.6.)
13. (Гротендик и Рейно 2003, (SGA 1) Exposé XII.)
14. (Хартшорн 1977, теорема II.5.17 и предложение III.5.3.)
15. (Гротендик и Дьедонне 1961, (EGA 3) Теорема 2.2.1)
16. Мишель Рейно. Контрпример с теоремой об исчезновении в характеристиках p > 0 . В CP Ramanujam - дань уважения , Tata Inst. Фонд. Рез. Исследования по математике. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, (1978), стр. 273–278.

Рекомендации

• Картан, Анри; Серр, Жан-Пьер (1953). «Теорема конечности, касающаяся компактных аналитических разновидностей». Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128–130. Збл  0050.17701.
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), Когерентные аналитические пучки , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 265, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN. 3-540-13178-7, МР  0755331
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1960–61 – Revêtements étales et groupe Fondamental (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/ 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2, МР  2017446
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Faisceaux algébriques cohérents» (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915, JSTOR  1969915, MR  0068874
• Паршин, А.Н. (2001) [1994], «Теоремы конечности», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (2004). «Теорема конечности». Теория пространств Штейна . Классика по математике. стр. 186–203. дои : 10.1007/978-3-642-18921-0_8. ISBN 978-3-540-00373-1.

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project