Двойной пакет

В математике двойственное расслоение — это операция над векторными расслоениями, расширяющая операцию двойственности для векторных пространств .

Определение

Двойственное расслоение векторного расслоения — это векторное расслоение, слои которого являются двойственными пространствами к слоям . ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{*}:E^{*}\to X}$ ${\displaystyle E}$

Эквивалентно, его можно определить как расслоение Hom , то есть векторное расслоение морфизмов от до тривиального линейного расслоения. ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times X\to X.}$

Конструкции и примеры

Учитывая локальную тривиализацию с функциями перехода, локальная тривиализация задается тем же открытым покрытием с функциями перехода ( обратным транспонированию ). Затем двойственное расслоение строится с использованием теоремы о построении расслоения . В качестве частных случаев: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle t_{ij},}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle E^{*}}$

• Двойственный расслоение ассоциированного расслоения — это расслоение, ассоциированное с двойственным представлением структурной группы .
• Двойственное расслоение к касательному расслоению дифференцируемого многообразия есть его кокасательное расслоение .

Характеристики

Если базовое пространство паракомпактно и хаусдорфово, то вещественное векторное расслоение конечного ранга и двойственное ему векторное расслоение изоморфны как векторные расслоения. Однако, как и в случае с векторными пространствами , не существует естественного выбора изоморфизма, если он не снабжен скалярным произведением . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E}$

Это неверно в случае комплексных векторных расслоений : например, тавтологическое линейное расслоение над римановой сферой не изоморфно своему двойственному. Двойственный комплексному векторному расслоению действительно изоморфен сопряженному расслоению , но выбор изоморфизма неканоничен, если только он не снабжен эрмитовым произведением . ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {E}},}$ ${\displaystyle E}$

Расслоение Hom из двух векторных расслоений канонически изоморфно расслоению тензорных произведений ${\displaystyle \mathrm {Hom} (E_{1},E_{2})}$ ${\displaystyle E_{1}^{*}\otimes E_{2}.}$

Учитывая морфизм векторных расслоений в одном и том же пространстве, существует морфизм между их двойственными расслоениями (в обратном порядке), определенный послойно как транспонирование каждого линейного отображения. Соответственно, операция двойного расслоения определяет контравариантный функтор из категории векторов расслоения и их морфизмы на себя. ${\displaystyle f:E_{1}\to E_{2}}$ ${\displaystyle f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}}$ ${\displaystyle f_{x}:(E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.}$

Рекомендации

• 今野, 宏 (2013).微分幾何学. 〈現代数学への入門〉 (на японском языке). 東京: 東京大学出版会. ISBN 9784130629713.