Транспонирование линейной карты

Индуцированное отображение между двойственными пространствами двух векторных пространств

В линейной алгебре транспонирование линейного отображения между двумя векторными пространствами, определенными над одним и тем же полем , является индуцированным отображением между двойственными пространствами двух векторных пространств. Транспонирование или алгебраическое сопряжение линейной карты часто используется для изучения исходной линейной карты. Это понятие обобщается сопряженными функторами .

Определение

Пусть обозначает алгебраическое сопряженное пространство к векторному пространству. Пусть и - векторные пространства над тем же полем. Если - линейное отображение , то его алгебраическое сопряженное или двойственное отображение , ^[1] - это отображение , определяемое ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}}$ ${\displaystyle f\mapsto f\circ u.}$ ${\displaystyle {}^{\#}u(f):=f\circ u}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u.}$

Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (TVS) обозначается как Если и являются TVS, то линейное отображение слабо непрерывно тогда и только тогда, когда мы обозначаем ограничение на. Отображение называется транспонированием ^[2] или алгебраический сопряженный к Следующее тождество характеризует транспонирование : ^[3] где – естественное спаривание , определяемое формулой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{\#}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ for all }}f\in Y^{\prime }{\text{ and }}x\in X,}$$ ${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle z,h\right\rangle :=z(h).}$

Характеристики

Присвоение создает инъективное линейное отображение между пространством линейных операторов от до и пространством линейных операторов от до. Если тогда пространство линейных отображений является алгеброй относительно композиции отображений , и назначение тогда является антигомоморфизмом алгебр, что означает, что Таким образом, на языке теории категорий взятие двойственного векторного пространства и транспонирования линейных отображений является контравариантным функтором из категории векторных пространств в себя. Можно идентифицироваться с использованием естественной инъекции в двойной дуал. ${\displaystyle u\mapsto {}^{t}u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle {}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {}^{t}\left({}^{t}u\right)}$ ${\displaystyle u}$

• Если и — линейные отображения, то ^[4] ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle v:Y\to Z}$ ${\displaystyle {}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v}$
• Если это ( сюръективный ) изоморфизм векторного пространства, то так же является и транспонирование ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.}$
• Если и являются нормированными пространствами , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ for each }}x\in X}$$а если линейный оператор ограничен, то норма оператора равна норме ; то есть ^{[5] [6]} и более того, ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,}$$ $${\displaystyle \|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.}$$

Полярные регионы

Предположим теперь, что это слабо непрерывный линейный оператор между топологическими векторными пространствами и с непрерывными сопряженными пространствами и соответственно. Пусть обозначает каноническую двойственную систему , определяемую где и называется ортогональной , если для любых подмножеств , и пусть обозначает ( абсолютную ) поляру in (соответственно in ). ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime },}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$ $${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ and }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

• Если и являются выпуклыми слабо замкнутыми множествами, содержащими начало координат, то влечет ^[7] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• Если и тогда ^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$

$${\displaystyle [u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)}$$и $${\displaystyle u(A)\subseteq B\quad {\text{ implies }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }.}$$

• Если и локально выпуклы , то ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.}$$

Аннигиляторы

Пусть и являются топологическими векторными пространствами и является слабо непрерывным линейным оператором (поэтому ). Даны подмножества и определены их аннуляторы (относительно канонической двойственной системы) согласно ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle \left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle M\subseteq X}$ ${\displaystyle N\subseteq X^{\prime },}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}$

и

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}}$

• Ядром является подпространство ортогональное образу : ^[7] ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }}$$

• Линейное отображение инъективно тогда и только тогда , когда его образ является слабо плотным подмножеством (т. е. образ плотен в том случае, когда задана слабая топология, индуцированная ). ^[7] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u}$
• Транспонирование является непрерывным, если оба и наделены слабой топологией (соответственно, оба наделены сильной двойственной топологией, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах, оба наделены топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах). ). ^[8] ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$
• ( Сюръекция пространств Фреше ): Если и являются пространствами Фреше , то непрерывный линейный оператор сюръективен тогда и только тогда , когда (1) транспонирование инъективно и (2) образ транспонирования является слабо замкнутым (т. е. слабо-* закрыто) подмножество ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Двойники факторпространств

Пусть – замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства и обозначим каноническое фактор-отображение через. Предположим, что оно наделено фактор -топологией, индуцированной фактор-отображением. Тогда транспонирование фактор-отображения имеет значение в и является TVS-изоморфизмом на If тогда банахово пространство также является изометрией . ^[6] С помощью этого транспонирования каждый непрерывный линейный функционал в фактор-пространстве канонически отождествляется с непрерывным линейным функционалом в аннуляторе ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.}$$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/M.}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ $${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }}$$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M.}$

Двойники векторных подпространств

Пусть — замкнутое векторное подпространство хаусдорфова локально выпуклого пространства. Если и если — непрерывное линейное расширение to , то присваивание индуцирует изоморфизм векторного пространства , который является изометрией, если — банахово пространство. ^[6] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }}$ $${\displaystyle M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),}$$ ${\displaystyle X}$

Обозначим карту включения через Транспонирование карты включения - это то, ядро ​​которого является аннулятором и которое является сюръективным по теореме Хана – Банаха . Это отображение индуцирует изоморфизм векторных пространств $${\displaystyle \operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.}$$ $${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }}$$ ${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}$ $${\displaystyle X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.}$$

Представление в виде матрицы

Если линейная карта представлена ​​матрицей по двум основаниям, а затем представлена ​​транспонированной матрицей по отношению к двойственным основам, отсюда и название. Альтернативно, как представлено действием справа на вектор-столбцы, представлено той же матрицей, действующей слева на вектор-строки. Эти точки зрения связаны каноническим скалярным произведением, которое отождествляет пространство векторов-столбцов с двойственным пространством векторов-строок. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle A^{T}}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Связь с эрмитовым сопряженным

Тождество, характеризующее транспонирование, то есть формально аналогично определению эрмитова сопряженного , однако транспонирование и эрмитово сопряженное не являются одним и тем же отображением. Транспонирование представляет собой карту и определяется для линейных отображений между любыми векторными пространствами и не требует какой-либо дополнительной структуры. Эрмитово сопряженное отображение и определено только для линейных отображений между гильбертовыми пространствами, поскольку оно определяется в терминах скалярного произведения в гильбертовом пространстве. Поэтому эрмитово сопряженное требует больше математической структуры, чем транспонирование. ${\displaystyle \left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],}$ ${\displaystyle Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y\to X}$

Однако транспонирование часто используется в контекстах, где оба векторных пространства снабжены невырожденной билинейной формой , такой как евклидово скалярное произведение или другое действительное скалярное произведение . В этом случае невырожденная билинейная форма часто используется неявно для отображения между векторными пространствами и их двойниками, чтобы выразить транспонированное отображение как отображение. Для комплексного гильбертова пространства внутренний продукт является полуторалинейным, а не билинейным, и эти преобразования изменяют транспонировать в сопряженную карту. ${\displaystyle Y\to X.}$

Точнее: если и являются гильбертовыми пространствами и является линейным отображением, то транспонирование и эрмитово сопряженное пространство, которые мы будем обозначать соответственно через и, связаны между собой. Обозначим через и канонические антилинейные изометрии гильбертовых пространств и двойственных им пространств. Тогда имеет место следующий состав карт: ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle u^{*},}$ ${\displaystyle I:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle J:Y\to Y^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X}$

Приложения к функциональному анализу

Предположим, что и являются топологическими векторными пространствами , а это линейное отображение, тогда многие свойства отражены в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}^{t}u.}$

• Если и являются слабо замкнутыми выпуклыми множествами, содержащими начало координат, то следует ^[4] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$ ${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• Нулевое пространство - это подпространство, ортогональное диапазону ^[4] ${\displaystyle {}^{t}u}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u.}$
• ${\displaystyle {}^{t}u}$инъективен тогда и только тогда, когда образ слабо замкнут. ^[4] ${\displaystyle u(X)}$ ${\displaystyle u}$

Смотрите также

• Сопряженные функторы  - отношения между двумя функторами, абстрагирующие многие общие конструкции.
• Оператор композиции  - Линейный оператор в математике
• Эрмитово сопряженное  - сопряженное транспонирование оператора в бесконечных измерениях.
• Теорема о представлении Рисса  - Теорема о двойственном гильбертовом пространстве.
• Двойное пространство § Транспонирование линейного отображения
• Транспонирование § Транспонирование линейной карты

Рекомендации

1. Шефер и Вольф 1999, стр. 128.
2. Тревес 2006, с. 240.
3. Халмош (1974, §44)
4. Schaefer & Wolff 1999, стр. 129–130.
5. Treves 2006, стр. 240–252.
6. Рудин 1991, стр. 92–115.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 128–130.
8. Тревес 2006, стр. 199–200.
9. Тревес 2006, стр. 382–383.
10. Тревес 2006, с. 488.

Библиография

• Халмош, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.