Деформация (математика)

Отделение математики

В математике теория деформации — это исследование бесконечно малых условий, связанных с изменением решения P задачи до несколько разных решений P _ε , где ε — небольшое число или вектор малых величин. Инфинитезимальные условия являются результатом применения подхода дифференциального исчисления к решению задачи с ограничениями . Название представляет собой аналогию с нежесткими конструкциями, которые слегка деформируются , приспосабливаясь к внешним силам.

Некоторые характерные явления: вывод уравнений первого порядка путем рассмотрения величин ε как имеющих пренебрежимо малые квадраты; возможность изолированных решений , при которых изменение решения может оказаться невозможным или не принесет ничего нового; и вопрос о том, действительно ли бесконечно малые ограничения «интегрируются», так что их решение действительно дает небольшие вариации. В той или иной форме эти соображения имеют многовековую историю в математике, а также в физике и технике . Например, в геометрии чисел был признан класс результатов, называемых теоремами изоляции , с топологической интерпретацией открытой орбиты (действия группы ) вокруг данного решения. Теория возмущений также рассматривает деформации операторов в целом .

Деформации комплексных многообразий

Наиболее заметной теорией деформации в математике была теория комплексных многообразий и алгебраических многообразий . Это было заложено фундаментальными работами Кунихико Кодайры и Дональда К. Спенсера после того, как методы деформации получили широкое экспериментальное применение в итальянской школе алгебраической геометрии . Интуитивно можно ожидать, что теория деформаций первого порядка должна приравнять касательное пространство Зарисского к пространству модулей . Однако в общем случае явления оказываются весьма тонкими.

В случае римановых поверхностей можно объяснить, что комплексная структура на римановой сфере изолирована (нет модулей). Для рода 1 эллиптическая кривая имеет однопараметрическое семейство сложных структур, как показано в теории эллиптических функций . Общая теория Кодайры – Спенсера определяет в качестве ключа к теории деформации группу пучковых когомологий.

${\displaystyle H^{1}(\Theta )\,}$

где Θ — (пучок ростков сечений) голоморфного касательного расслоения . Имеется препятствие в Н ² того же связки; который всегда равен нулю в случае кривой по общим причинам размерности. В случае рода 0 исчезает и H ¹ . Для рода 1 размерность равна числу Ходжа h ^1,0 , которое, следовательно, равно 1. Известно, что все кривые рода один имеют уравнения вида y ² = x ³ + ax + b . Очевидно, они зависят от двух параметров: a и b, тогда как классы изоморфизма таких кривых имеют только один параметр. Следовательно, должно существовать уравнение, связывающее те a и b, которые описывают изоморфные эллиптические кривые. Оказывается, кривые, для которых b ² a ⁻³ имеет одно и то же значение, описывают изоморфные кривые. Т.е. изменение a и b — это один из способов деформировать структуру кривой y ² = x ³ + ax + b , но не все изменения a, b фактически меняют класс изоморфизма кривой.

Можно пойти дальше в случае рода g > 1, используя двойственность Серра , чтобы связать H ¹ с

${\displaystyle H^{0}(\Omega ^{[2]})}$

где Ω — голоморфное кокасательное расслоение , а обозначение Ω ^[2] означает тензорный квадрат ( а не вторую внешнюю степень ). Другими словами, деформации регулируются голоморфными квадратичными дифференциалами на римановой поверхности, что опять же известно классически. Размерность пространства модулей, называемого в данном случае пространством Тейхмюллера , вычисляется как 3 г - 3 по теореме Римана-Роха .

Эти примеры являются началом теории, применимой к голоморфным семействам комплексных многообразий любой размерности. Дальнейшие разработки включали: распространение Спенсером методов на другие структуры дифференциальной геометрии ; ассимиляция теории Кодаиры-Спенсера в абстрактную алгебраическую геометрию Гротендика с последующим существенным разъяснением более ранних работ; и теория деформации других структур, таких как алгебры.

Деформации и плоские карты

Наиболее общая форма деформации — плоское отображение комплексно-аналитических пространств, схем или ростков функций на пространстве. Гротендик ^[1] ​​был первым, кто нашел это далеко идущее обобщение для деформаций и развил теорию в этом контексте. Общая идея заключается в том, что должно существовать универсальное семейство, такое, что любую деформацию можно найти как уникальный квадрат обратного отсчета. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\to B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}}$

Во многих случаях это универсальное семейство представляет собой либо схему Гильберта , либо схему Кота , либо фактор одной из них. Например, при построении Модулей кривых он строится как фактор гладких кривых в схеме Гильберта. Если квадрат обратного вывода не уникален, то семейство только версальное .

Деформации ростков аналитических алгебр

Одна из полезных и легко вычислимых областей теории деформации исходит из теории деформации ростков комплексных пространств, таких как многообразия Штейна , комплексные многообразия или комплексные аналитические многообразия . ^[1] Обратите внимание, что эту теорию можно распространить на комплексные многообразия и комплексные аналитические пространства, рассматривая пучки ростков голоморфных функций, касательные пространства и т. д. Такие алгебры имеют вид

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}}$

где – кольцо сходящегося степенного ряда, – идеал. Например, многие авторы изучают ростки функций особенности, таких как алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}}$

представляющий особенность плоской кривой. Росток аналитических алгебр тогда является объектом противоположной категории таких алгебр. Тогда деформация ростка аналитических алгебр задается плоским отображением ростков аналитических алгебр где имеет выделенную точку , такую ​​что вписывается в квадрат обратного образа ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}}$

Эти деформации имеют отношение эквивалентности, заданное коммутативными квадратами

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

где горизонтальные стрелки — изоморфизмы. Например, существует деформация особенности плоской кривой, задаваемая противоположной диаграммой коммутативной диаграммы аналитических алгебр.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}}$

На самом деле Милнор изучал такие деформации, где особенность деформируется константой, поэтому слой над ненулевой величиной называется слоем Милнора . ${\displaystyle s}$

Когомологическая интерпретация деформаций

Должно быть ясно, что может быть множество деформаций одного ростка аналитических функций. По этой причине для организации всей этой информации необходимы некоторые бухгалтерские устройства. Эти организационные устройства строятся с использованием касательных когомологий. ^[1] Это формируется путем использования резолюции Кошула – Тейта и потенциального изменения ее путем добавления дополнительных генераторов для нерегулярных алгебр . В случае аналитических алгебр эти резольвенты называются резольвентами Тюриной по имени математика Галины Тюриной , впервые изучившей такие объекты . Это градуированно-коммутативная дифференциальная градуированная алгебра, которая является сюръективным отображением аналитических алгебр, и это отображение укладывается в точную последовательность ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },s)}$ ${\displaystyle R_{0}\to A}$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0}$

Тогда, взяв дифференциально-градуированный модуль дифференцирований , его когомологии образуют касательные когомологии ростка аналитических алгебр . Эти группы когомологий обозначаются . Содержит информацию обо всех деформациях и может быть легко вычислена с использованием точной последовательности ${\displaystyle ({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T^{k}(A)}$ ${\displaystyle T^{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0}$

If изоморфна алгебре ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}}$

то его деформации равны

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}}$

были матрицей Якобиана . Например, деформации гиперповерхности, заданные выражением, имеют деформации ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}}$

Для сингулярности это модуль ${\displaystyle y^{2}-x^{3}}$

${\displaystyle {\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}}$

следовательно, единственные деформации задаются добавлением констант или линейных коэффициентов, поэтому общая деформация - это параметры деформации. ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}}$ ${\displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Функториальное описание

Другой метод формализации теории деформаций — использование функторов в категории локальных алгебр Артина над полем. Функтор преддеформации определяется как функтор ${\displaystyle {\text{Art}}_{k}}$

${\displaystyle F:{\text{Art}}_{k}\to {\text{Sets}}}$

в этом и есть точка. Идея состоит в том, что мы хотим изучить бесконечно малую структуру некоторого пространства модулей вокруг точки, над которой лежит интересующее пространство. Обычно бывает проще описать функтор для задачи модулей, чем найти реальное пространство. Например, если мы хотим рассмотреть пространство модулей гиперповерхностей степени в , то мы могли бы рассмотреть функтор ${\displaystyle F(k)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle F:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}}$

где

${\displaystyle F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ each fiber is a degree }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb {P} ^{n}\right\}}$

Хотя в целом удобнее/нужнее работать с функторами группоидов , а не с множествами. Это справедливо для модулей кривых.

Технические замечания о бесконечно малых

Бесконечно малые числа уже давно используются математиками для нестрогих рассуждений в исчислении. Идея состоит в том, что если мы рассматриваем полиномы с бесконечно малым значением , то действительно имеют значение только члены первого порядка; то есть мы можем рассмотреть ${\displaystyle F(x,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})}$

Простое применение этого состоит в том, что мы можем найти производные мономов , используя бесконечно малые:

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})}$

термин содержит производную монома, что демонстрирует его использование в исчислении. Мы также могли бы интерпретировать это уравнение как первые два члена разложения Тейлора монома. Бесконечно малые числа можно сделать строгими, используя нильпотентные элементы в локальных алгебрах Артина. В ринге мы видим, что аргументы с бесконечно малыми значениями могут работать. Это мотивирует обозначение , которое называется Кольцом двойственных чисел . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle k[y]/(y^{2})}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})}$

Более того, если мы хотим рассмотреть члены более высокого порядка тейлоровского приближения, мы могли бы рассмотреть алгебры Артина . Предположим, что для нашего монома мы хотим выписать разложение второго порядка, тогда ${\displaystyle k[y]/(y^{k})}$

${\displaystyle (x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}}$

Напомним, что разложение Тейлора (в нуле) можно записать как

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(x)}{1!}}+{\frac {f^{(2)}(x)}{2!}}+{\frac {f^{(3)}(x)}{3!}}+\cdots }$

следовательно, предыдущие два уравнения показывают, что вторая производная равна . ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle 6x}$

В общем, поскольку мы хотим рассматривать разложения Тейлора произвольного порядка с любым числом переменных, мы будем рассматривать категорию всех локальных алгебр Артина над полем.

Мотивация

Чтобы мотивировать определение функтора преддеформации, рассмотрим проективную гиперповерхность над полем

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}}$

Если мы хотим рассмотреть бесконечно малую деформацию этого пространства, то мы могли бы записать декартов квадрат

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}}$

где . Тогда пространство в правом углу является одним из примеров бесконечно малой деформации: дополнительная теоретическая структура нильпотентных элементов в (которая топологически является точкой) позволяет нам организовать эти бесконечно малые данные. Поскольку мы хотим рассмотреть все возможные расширения, мы позволим нашему функтору преддеформации определяться на объектах как ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])}$

${\displaystyle F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}}$

где – локальная артинова -алгебра. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

Гладкие функторы преддеформации

Преддеформационный функтор называется гладким, если для любой сюръекции такой, что квадрат любого элемента ядра равен нулю, существует сюръекция ${\displaystyle A'\to A}$

${\displaystyle F(A')\to F(A)}$

Это мотивировано следующим вопросом: при деформации

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}}$

Существует ли расширение этой декартовой диаграммы на декартовы диаграммы

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}}$

Название «гладкий» происходит от критерия поднятия гладкого морфизма схем.

Касательное пространство

Напомним, что касательное пространство схемы можно описать как -множество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

${\displaystyle TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)}$

где источником является кольцо двойственных чисел . Поскольку мы рассматриваем касательное пространство точки некоторого пространства модулей, мы можем определить касательное пространство нашего функтора (предварительной) деформации как

${\displaystyle T_{F}:=F(k[\varepsilon ])}$

Приложения теории деформации

Размерность модулей кривых

Одно из первых свойств модулей алгебраических кривых можно вывести с помощью элементарной теории деформаций. Его размерность можно вычислить как ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

${\displaystyle \dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})}$

для произвольной гладкой кривой рода, поскольку пространство деформации является касательным пространством пространства модулей. Используя двойственность Серра, касательное пространство изоморфно ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}}$

Следовательно, теорема Римана – Роха дает

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}}$

Для кривых рода ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

${\displaystyle h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})}$

степень

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}}$

и для линейных расслоений отрицательной степени. Следовательно, размерность пространства модулей равна . ${\displaystyle h^{0}(L)=0}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Согнуть и сломать

Теория деформации была широко применена в бирациональной геометрии Сигэфуми Мори для изучения существования рациональных кривых на многообразиях . ^[2] Для многообразия Фано положительной размерности Мори показал, что через каждую точку проходит рациональная кривая. Метод доказательства позже стал известен как « сгибание и разрушение Мори» . Грубая идея состоит в том, чтобы начать с некоторой кривой C , проходящей через выбранную точку, и продолжать деформировать ее, пока она не разобьется на несколько компонентов . Замена C на один из компонентов приводит к уменьшению либо рода , либо степени C. Итак, после нескольких повторений процедуры в конечном итоге мы получим кривую рода 0, т.е. рациональную кривую. Существование и свойства деформаций C требуют рассуждений теории деформаций и сведения к положительной характеристике .

Арифметические деформации

Одно из основных приложений теории деформации находится в арифметике. Его можно использовать для ответа на следующий вопрос: если у нас есть разнообразие , каковы возможные расширения ? Если наше многообразие является кривой, то обращение в нуль означает, что каждая деформация индуцирует многообразие над ; то есть, если у нас есть гладкая кривая ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}}$

и деформация

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}}$

то мы всегда можем расширить его до диаграммы вида

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}}$

Это означает, что мы можем построить формальную схему , задающую кривую над . ${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Деформации абелевых схем

Теорема Серра–Тейта , грубо говоря, утверждает, что деформации абелевой схемы A контролируются деформациями p -делимой группы , состоящей из ее p -степенных точек кручения. ${\displaystyle A[p^{\infty }]}$

Деформации Галуа

Другое применение теории деформаций связано с деформациями Галуа. Это позволяет нам ответить на вопрос: если у нас есть представление Галуа

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})}$

как мы можем расширить его до представления

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}}$

Связь с теорией струн

Так называемая гипотеза Делиня , возникшая в контексте алгебр (и когомологий Хохшильда ), стимулировала большой интерес к теории деформаций применительно к теории струн (грубо говоря, для формализации идеи о том, что теорию струн можно рассматривать как деформацию точечной точки). теория частиц) ^{[ нужна цитата ]} . Сейчас это считается доказанным, после некоторых заминок с ранними объявлениями. Максим Концевич принадлежит к числу тех, кто предложил ^{общепринятое доказательство этого} .

Смотрите также

• Карта Кодайры-Спенсера
• Двойной номер
• Теорема Шлезингера
• Эксалкомм
• Котангенс комплекс
• Инвариант Громова–Виттена
• Модули алгебраических кривых
• Вырождение (алгебраическая геометрия)

Примечания

1. Паламодов (1990). «Деформации сложных пространств». Несколько комплексных переменных IV . Энциклопедия математических наук. Том. 10. С. 105–194. дои : 10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN 978-3-642-64766-6.
2. Дебарр, Оливье (2001). «3. Леммы о изгибе и разрушении». Многомерная алгебраическая геометрия . Университеттекст. Спрингер.

Источники

• «деформация», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Герстенхабер, Мюррей и Сташефф, Джеймс , ред. (1992). Теория деформации и квантовые группы с приложениями к математической физике , Американское математическое общество (электронная книга Google) ISBN 0821851411 

Педагогический

• Паламодов, В.П., III. Деформации сложных пространств. Комплексные переменные IV (очень приземленное введение)
• Конспекты курса теории деформаций (Артин)
• Изучение теории деформации схем
• Сернеси, Эдуардо, Деформации алгебраических схем
• Хартшорн, Робин, Теория деформации.
• Заметки из курса Хартшорна по теории деформаций
• ИИГС – Теория деформаций и модули в алгебраической геометрии

Обзорные статьи

• Мазур, Барри (2004), «Возмущения, деформации и вариации (и «почти промахи» в геометрии, физике и теории чисел» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (3): 307–336, doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 , MR  2058289
• Анель М., Почему деформации когомологичны (PDF)

Внешние ссылки

• «Краткий обзор теории деформации» (PDF) ., конспекты лекций Брайана Оссермана