В математике , особенно в комплексном анализе , риманова поверхность представляет собой связное одномерное комплексное многообразие . Эти поверхности были впервые изучены Бернхардом Риманом и названы в его честь . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут иметь вид сферы , тора или нескольких склеенных между собой листов.
Примеры римановых поверхностей включают графики многозначных функций , таких как √z или log(z) , например, подмножество пар ( z,w ) ∈ C 2 с w = log(z) .
Каждая риманова поверхность является поверхностью : двумерным вещественным многообразием , но она содержит больше структуры (в частности, комплексную структуру ). И наоборот, двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо . Учитывая это, сфера и тор допускают сложные структуры, а лента Мёбиуса , бутылка Клейна и реальная проективная плоскость — нет. Каждая компактная риманова поверхность является комплексной алгебраической кривой по теореме Чоу и теореме Римана-Роха .
Существует несколько эквивалентных определений римановой поверхности.
Сложная структура порождает конформную структуру путем выбора стандартной евклидовой метрики , заданной на комплексной плоскости, и переноса ее в X с помощью диаграмм. Показать, что конформная структура определяет сложную структуру, сложнее. [2]
На пересечении этих двух открытых множеств составление одного вложения с обратным другому дает
Это отображение перехода голоморфно, поэтому эти два вложения определяют структуру римановой поверхности на S 2 . В качестве множеств S 2 = C ∪ {∞}. Сфера Римана имеет другое описание: проективная прямая CP 1 = ( C 2 - {0})/ C × .
Как и любое отображение между комплексными многообразиями, функция f : M → N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфной, если для каждой карты g в атласе M и каждой карты h в атласе N отображение h ∘ f ∘ g −1 голоморфна (как функция из C в C ), где бы она ни была определена. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфными (или конформно эквивалентными , чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективная голоморфная функция из M в N , обратная которой также голоморфна (оказывается, что последнее условие является автоматическим и может поэтому опустим). Две конформно эквивалентные римановы поверхности практически идентичны.
Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, ориентируема как вещественное многообразие. Для комплексных карт f и g с функцией перехода h = f ( g −1 ( z )), h можно рассматривать как отображение открытого множества R 2 в R 2 , якобиан которого в точке z является просто действительным линейным отображением. заданное умножением на комплексное число h '( z ). Однако вещественный определитель умножения на комплексное число α равен | α | 2 , поэтому якобиан h имеет положительный определитель. Следовательно, сложный атлас является ориентированным атласом.
Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C ). Фактически, каждая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна .
Напротив, на компактной римановой поверхности X каждая голоморфная функция со значениями в C постоянна в силу принципа максимума . Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Точнее, функциональное поле X является конечным расширением C ( t ), функционального поля с одной переменной , т.е. любые две мероморфные функции алгебраически зависимы. Это утверждение распространяется на более высокие измерения, см. Siegel (1955). Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно в терминах тэта -функций Римана и отображения поверхности Абеля – Якоби .
Все компактные римановы поверхности являются алгебраическими кривыми, поскольку их можно вложить в некоторые . Это следует из теоремы вложения Кодайры и того факта, что на любой комплексной кривой существует положительное линейное расслоение. [3]
Существование непостоянных мероморфных функций можно использовать, чтобы показать, что любая компактная риманова поверхность является проективным многообразием , т. е. может быть задана полиномиальными уравнениями внутри проективного пространства . Фактически можно показать, что любую компактную риманову поверхность можно вложить в комплексное проективное 3-пространство . Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются картами локальных исправлений. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их средствами аналитической или алгебраической геометрии . Соответствующее утверждение для объектов более высокой размерности неверно, т. е. существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраично, см. теорему Чоу .
В качестве примера рассмотрим тор T := C /( Z + τ Z ). Функция Вейерштрасса, принадлежащая решетке Z + τ Z, является мероморфной функцией на T . Эта функция и ее производная генерируют функциональное поле T . Существует уравнение
где коэффициенты g 2 и g 3 зависят от τ, что дает эллиптическую кривую E τ в смысле алгебраической геометрии. Обращение этого достигается с помощью j-инварианта j ( E ), который можно использовать для определения τ и, следовательно, тора.
Совокупность всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, исчезающей или положительной постоянной кривизной сечения . То есть каждая связная риманова поверхность допускает единственную полную двумерную действительную метрику Римана с постоянной кривизной, равной или принадлежащей конформному классу римановых метрик, определяемому ее структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермических координат .
В комплексных аналитических терминах теорема униформизации Пуанкаре – Кебе (обобщение теоремы об отображении Римана ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одному из следующих:
Риманова поверхность является эллиптической, параболической или гиперболической в зависимости от того, изоморфно ли ее универсальное накрытие , или . Элементы каждого класса допускают более точное описание.
Сфера Римана является единственным примером, поскольку не существует группы , действующей на нее биголоморфными преобразованиями свободно и правильно разрывно, и поэтому любая риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно, сама должна быть изоморфна ей.
Если — риманова поверхность, универсальное накрытие которой изоморфно комплексной плоскости, то она изоморфна одной из следующих поверхностей:
Топологически их всего три типа: плоскость, цилиндр и тор . Но если в первых двух случаях структура (параболической) римановой поверхности уникальна, то в третьем случае изменение параметра дает неизоморфные римановы поверхности. Описание параметром дает пространство Тейхмюллера «маркированных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «маркировки», которую можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм тора). Чтобы получить аналитическое пространство модулей (забывая об маркировке), факторизуется пространство Тейхмюллера по группе классов отображений . В данном случае это модульная кривая .
В остальных случаях это гиперболическая риманова поверхность, изоморфная фактору верхней полуплоскости по фуксовой группе (иногда это называют фуксовой моделью поверхности). Топологическим типом может быть любая ориентируемая поверхность, кроме тора и сферы .
Особый интерес представляет случай, когда компактно. Тогда его топологический тип описывается его родом . Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей -мерны. Можно дать аналогичную классификацию римановых поверхностей конечного типа (то есть гомеоморфных замкнутой поверхности за вычетом конечного числа точек). Однако, вообще говоря, пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допустить такое описание.
Геометрическая классификация отражена в отображениях между римановыми поверхностями, как подробно описано в теореме Лиувилля и теореме Литтла Пикара : отображения от гиперболического к параболическому и эллиптическому просты, но отображения от эллиптического к параболическому или от параболического к гиперболическому очень ограничены (действительно, обычно постоянны). !). В сфере имеются включения диска в плоскости: но любое голоморфное отображение сферы в плоскость постоянно, любое голоморфное отображение плоскости в единичный диск постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение из плоскость в плоскость минус две точки постоянна (теорема Маленького Пикара)!
Эти утверждения проясняются рассмотрением типа сферы Римана с рядом проколов. Без проколов это эллиптическая сфера Римана. С одним проколом, который можно разместить на бесконечности, это комплексная плоскость, имеющая параболическую форму. При двух проколах это проколотая плоскость или, альтернативно, кольцо или цилиндр, который является параболическим. При трёх и более проколах это гиперболично – сравните пару штанов . Можно сопоставить один прокол с двумя с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определено на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображения от нуля проколов до одного или нескольких, или постоянны от одного-двух проколов до трех и более.
Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться в поверхности более низкого рода, но не в более высокий род, за исключением постоянных отображений. Это связано с тем, что голоморфные и мероморфные карты ведут себя локально так, что непостоянные карты являются разветвленными накрывающими картами , а для компактных римановых поверхностей они ограничены формулой Римана-Гурвица в алгебраической топологии , которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленное накрытие. .
Например, гиперболические римановы поверхности представляют собой разветвленные накрывающие пространства сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не покрывает и не отображает иным образом поверхности более высокого рода, за исключением константы.
Группа изометрий униформизированной римановой поверхности (эквивалентно группе конформных автоморфизмов ) отражает ее геометрию:
Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которую обычно используют специалисты по комплексной аналитике. Он использует другое определение слов «параболический» и «гиперболический». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболической, если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, и в противном случае называется гиперболической . [5] [6] Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, вырождены ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, например, римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны или на которых все ограниченные гармонические функции являются константами. постоянная, или на которой постоянны все положительные гармонические функции и т. д.
Во избежание путаницы классификацию, основанную на метрике постоянной кривизны, будем называть геометрической классификацией , а основанную на вырождении функциональных пространств — теоретико-функциональной классификацией . Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в теоретико-функциональной классификации, но гиперболической в геометрической классификации.