Правильный морфизм

В алгебраической геометрии собственный морфизм схем является аналогом правильного отображения комплексных аналитических пространств .

Некоторые авторы называют собственное многообразие над полем k полным многообразием . Например, каждое проективное многообразие над полем k является собственным над k . Схема X конечного типа над комплексными числами (например, многообразие) является собственной над C тогда и только тогда, когда пространство X ( C ) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактно и хаусдорфово .

Закрытое погружение является правильным. Морфизм конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный .

Определение

Морфизм f : X → Y схем называется универсально замкнутым, если для каждой схемы Z с морфизмом Z → Y проекция из расслоенного произведения

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

является замкнутым отображением лежащих в основе топологических пространств . Морфизм схем называется собственным, если он отделим , конечного типа и универсально замкнут ([EGA] II, 5.4.1 [1]). Также говорят, что X является собственным над Y . В частности, многообразие X над полем k называется собственным над k , если морфизм X → Spec( k ) является собственным.

Примеры

Для любого натурального числа n проективное пространство Pn ^над коммутативным кольцом R является собственным над R. Проективные морфизмы являются собственными, но не все собственные морфизмы проективны. Например, существует гладкое собственное комплексное многообразие размерности 3 , не проективное над C. ^[1] Аффинные многообразия положительной размерности над полем k никогда не являются собственными над k . В более общем смысле, собственный аффинный морфизм схем должен быть конечным. ^[2] Например, нетрудно увидеть, что аффинная прямая A ¹ над полем k не является собственной над k , поскольку морфизм A ¹ → Spec( k ) не является универсально замкнутым. Действительно, обратный морфизм

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

(заданное ( x , y ) ↦ y ) не является замкнутым, поскольку образ замкнутого подмножества xy = 1 в A ¹ × A ¹ = A ² равен A ¹ − 0, который не замкнут в A ¹ .

Свойства и характеристики собственных морфизмов

Пусть далее f : X → Y — морфизм схем.

• Композиция двух собственных морфизмов правильная.
• Любая замена базы собственного морфизма f : X → Y является собственной. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то полученный морфизм X × _Y Z → Z является собственным.
• Правильность — локальное свойство на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрыта некоторыми открытыми подсхемами Y _i и ограничение f на все f ⁻¹ (Y _i ) является правильным, то то же самое относится и к f .
• Более строго: правильность локальна на базе топологии fpqc . Например, если X — схема над полем k , а E — расширение поля k , то X является правильным над k тогда и только тогда, когда замена базы X _E является правильной над E. ^[3]
• Закрытое погружение допустимо.
• В более общем смысле конечные морфизмы являются собственными. Это следствие теоремы о повышении .
• По Делиню морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. ^[4] Это было показано Гротендиком , если морфизм f : X → Y локально конечного представления , что следует из других предположений, если Y нётеров . ^[5]
• Для собственного X над схемой S и Y , разделенного над S , образ любого морфизма X → Y над S является замкнутым подмножеством Y . ^[6] Это аналогично топологической теореме о том, что образ непрерывного отображения компакта в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
• Теорема факторизации Стейна утверждает, что любой правильный морфизм локально нетеровой схемы может быть факторизован как X → Z → Y , где X → Z является собственным, сюръективным и имеет геометрически связные слои, а Z → Y конечен. ^[7]
• Лемма Чоу говорит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективными морфизмами . Одна из версий такова: если X является собственным над квазикомпактной схемой Y и X имеет только конечное число неприводимых компонентов (что автоматически для нетеровой схемы Y ), то существует проективный сюръективный морфизм g : W → X такой, что W проективна над Ю. ​Более того, можно сделать так, чтобы g был изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U в X и что g ⁻¹ ( U ) плотно в W. Можно также сделать так, чтобы W было целым, если X было целым. ^[8]
• Теорема о компактификации Нагаты , обобщенная Делинем, гласит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактными и квазиотделенными схемами действует как открытое погружение, за которым следует собственный морфизм. ^[9]
• Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что высшие прямые образы R ⁱ f _∗ ( F ) (в частности, прямой образ f _∗ ( F )) когерентного пучка F когерентны (EGA III, 3.2. 1). (Аналогично, для правильного отображения между комплексными аналитическими пространствами Грауэрт и Реммерт показали, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) В качестве совершенно частного случая: кольцо регулярных функций на правильной схеме X над полем k имеет конечную размерность. как k -векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k — это кольцо многочленов k [ x ], которое не имеет конечной размерности как k -векторное пространство.
• Существует также несколько более сильное утверждение на этот счет: (EGA III, 3.2.4) пусть – морфизм конечного типа, S локально нетеров и -модуль . Если носитель F собственный над S , то для каждого высший прямой образ когерентен.ошибка harv: нет цели: CITEREFEGA_III ( справка ) ${\displaystyle f\colon X\to S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$
• Для схемы X конечного типа над комплексными числами множество X ( C ) комплексных точек представляет собой комплексное аналитическое пространство , использующее классическую (евклидову) топологию. Для X и Y , разделенных и конечного типа над C , морфизм f : X → Y над C является собственным тогда и только тогда, когда непрерывное отображение f : X ( C ) → Y ( C ) является собственным в том смысле, что прообраз любого компакта компактно. ^[10]
• Если f : X → Y и g : Y → Z таковы, что gf собственный и g отделим, то f правильный. Это можно, например, легко доказать, используя следующий критерий.

Ценностный критерий правильности

Ценностный критерий правильности

Существует очень интуитивный критерий правильности, восходящий к Шевалле . Его принято называть оценочным критерием правильности . Пусть f : X → Y — морфизм нётеровых схем конечного типа . Тогда f является правильным тогда и только тогда, когда для всех колец дискретного нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), определенную над R , существует единственная подъем x до . (EGA II, 7.3.8). В более общем смысле, квазиразделенный морфизм f : X → Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактный) «любых» схем X , Y является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец нормирования R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), которая определена над R , существует единственный подъем x до . (Объединяет теги проекта 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K является общей точкой Spec R , а кольца дискретного нормирования являются в точности регулярными локальными одномерными кольцами, можно перефразировать критерий: дана регулярная кривая на Y (соответствующая морфизму s : Spec R → Y ) и при подъеме общей точки этой кривой до X функция f является правильной тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую. ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

Аналогично, f является разделенным тогда и только тогда, когда в каждой такой диаграмме существует не более одного подъема . ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

Например, при наличии оценочного критерия легко проверить, что проективное пространство ^Pn является собственным над полем (или даже над Z ). Просто можно заметить _, что для кольца дискретного нормирования R с полем дробей K каждая K -точка [ x0 ,..., xn ] проективного пространства происходит из R -точки путем масштабирования координат так, чтобы все они лежали _в R. и хотя бы один из них является единицей в R.

Геометрическая интерпретация с дисками

Одним из мотивирующих примеров ценностного критерия правильности является трактовка как бесконечно малого круга, или комплексно-аналитически, как круга . Это происходит из-за того, что каждый степенной ряд ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}$ ${\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}$

сходится в некотором круге радиуса вокруг начала координат. Тогда, используя замену координат, это можно выразить в виде степенного ряда на единичном круге. Затем, если мы инвертируем , это кольцо представляет собой степенной ряд, который может иметь полюс в начале координат. Топологически это представляется как открытый диск с удаленным началом координат. Для морфизма схем над это задается коммутативной диаграммой ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}$

Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение точки в образе . ${\displaystyle 0\in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{*}}$

Пример

Поучительно рассмотреть контрпример, чтобы понять, почему оценочный критерий правильности должен выполняться в пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем и , то морфизм факторизуется через аффинную диаграмму , сводя диаграмму к ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}$ ${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}$

где находится диаграмма в центре . Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}$

Тогда подъем диаграммы схем , , будет означать наличие морфизма, посылающего из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может случиться. Поэтому это не правильно . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}$ ${\displaystyle t\mapsto t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Геометрическая интерпретация с помощью кривых

Есть еще один похожий пример оценочного критерия правильности, который отражает некоторую часть интуитивного понимания того, почему эта теорема должна выполняться. Рассмотрим кривую и дополнение к точке . Тогда оценочный критерий правильности можно было бы представить в виде диаграммы. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-\{p\}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

с подъемом . Геометрически это означает, что каждую кривую на схеме можно дополнить до компактной кривой. Эта интуиция согласуется с теоретико-схемной интерпретацией морфизма топологических пространств с компактными слоями, согласно которой последовательность в одном из слоев должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация является локальной проблемой, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца , которое является DVR, и его дробного поля . Тогда задача подъема дает коммутативную диаграмму ${\displaystyle C\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

где схема представляет собой локальный диск вокруг с удаленной замкнутой точкой . ${\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Правильный морфизм формальных схем

Пусть – морфизм между локально нётеровыми формальными схемами . Мы говорим, что f является собственным или правильным , если (i) f является адическим морфизмом (т. е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение является собственным, где и K является идеалом определения. (EGA III, 3.4.1) Определение не зависит от выбора K . ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ harv error: no target: CITEREFEGA_III (help)

Например, если g : Y → Z — собственный морфизм локально нетеровых схем, Z ₀ — замкнутое подмножество в Z , а Y ₀ — замкнутое подмножество в Y такое, что g ( Y ₀ ) ⊂ Z ₀ , то морфизм о формальных пополнениях является собственным морфизмом формальных схем. ${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$

Гротендик доказал теорему когерентности в этой ситуации. А именно, пусть – собственный морфизм локально нётеровых формальных схем. Если F — когерентный пучок на , то высшие прямые образы когерентны. ^[11] ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$

Смотрите также

• Теорема о правильной замене базы
• Факторизация Штейна

Рекомендации

1. Хартсхорн (1977), Приложение B, Пример 3.4.1.
2. Лю (2002), Лемма 3.3.17.
3. Проект Stacks, тег 02YJ.
4. Гротендик, EGA IV, Часть 4, Следствие 18.12.4; Проект стеков, тег 02LQ.
5. Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.
6. Проект Stacks, тег 01W0.
7. Проект Stacks, тег 03GX.
8. Гротендик, EGA II, следствие 5.6.2.
9. Конрад (2007), Теорема 4.1.
10. SGA 1, XII Предложение 3.2. harvnb error: no target: CITEREFSGA_1 (help)
11. Гротендик, EGA III, Часть 1, Теорема 3.4.2.

• Конрад, Брайан (2007), «Заметки Делиня о компактификациях Нагаты» (PDF) , Журнал Математического общества Рамануджана , 22 : 205–257, MR  2356346
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. дои : 10.1007/bf02699291. МР  0217084., раздел 5.3. (определение правильности), раздел 7.3. (ценностный критерий правильности)
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 :5–167. дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 :5–255. дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086., раздел 15.7. (обобщение оценочных критериев на не обязательно нётеровы схемы)
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Quatrième partie». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. дои : 10.1007/bf02732123. МР  0238860.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 9780191547805, МР  1917232

Внешние ссылки

• В.И. Данилов (2001) [1994], «Правильный морфизм», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project