Когомологии пучков

В математике когомологии пучка — это применение гомологической алгебры для анализа глобальных сечений пучка в топологическом пространстве . В общих чертах, пучковые когомологии описывают препятствия на пути решения геометрической задачи глобально, когда ее можно решить локально. Центральной работой по изучению когомологий пучков является статья Гротендика в Тохоку 1957 года .

Пучки, когомологии пучков и спектральные последовательности были введены Жаном Лере в лагере для военнопленных Офлаг XVII-A в Австрии. ^[1] С 1940 по 1945 год Лере и другие заключенные организовали в лагере «университет в плену».

Определения Лере были упрощены и уточнены в 1950-х годах. Стало ясно, что когомологии пучков — это не только новый подход к когомологиям в алгебраической топологии , но и мощный метод в комплексной аналитической геометрии и алгебраической геометрии . Эти предметы часто включают в себя построение глобальных функций с заданными локальными свойствами, и пучковые когомологии идеально подходят для таких задач. Многие более ранние результаты, такие как теорема Римана-Роха и теорема Ходжа, были обобщены или лучше поняты с использованием пучковых когомологий.

Определение

Категория пучков абелевых групп в топологическом пространстве X является абелевой категорией , поэтому имеет смысл задаться вопросом, когда морфизм пучков f : B → C является инъективным ( мономорфизм ) или сюръективным ( эпиморфизм ). Один из ответов заключается в том, что f инъективен (соответственно сюръективен) тогда и только тогда, когда ассоциированный гомоморфизм на слоях B x _→ C x _{инъективен} ( соответственно сюръективен ) для каждой точки x в X . Отсюда следует, что f инъективен тогда и только тогда, когда гомоморфизм B ( U ) → C ( U ) сечений над U инъективен для любого открытого множества U в X. Однако сюръективность более тонкая: морфизм f сюръективен тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества U в X , каждого сечения s C над U и каждой точки x в U существует открытая окрестность V точки x в U такая, что то, что s ограничено V , является образом некоторого сечения B над V . (На словах: каждая секция C локально поднимается до секции B. )

В результате возникает вопрос: при наличии сюръекции B → C пучков и сечения s пучка C над X , когда s является образом сечения B над X ? Это модель для всех видов локальных и глобальных вопросов геометрии. Когомологии пучков дают удовлетворительный общий ответ. А именно, пусть A — ядро ​​сюръекции B → C , дающее короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

пучков на X . Тогда существует длинная точная последовательность абелевых групп, называемая пучковыми когомологиями:

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to H^{1}(X,A)\to \cdots ,}$

где H0 ( X , A ) ^— группа A ( X ) глобальных сечений A на X. Например, если группа H ¹ ( X , A ) равна нулю, то эта точная последовательность означает, что каждое глобальное сечение C поднимается до глобального сечения B . В более широком смысле, точная последовательность делает знание групп высших когомологий фундаментальным инструментом для понимания участков пучков.

Определение Гротендика пучковых когомологий, ставшее теперь стандартным, использует язык гомологической алгебры. Существенным моментом является фиксирование топологического пространства X и представление когомологий как функтора от пучков абелевых групп на X к абелевым группам. Более подробно, начнем с функтора E ↦ E ( X ) от пучков абелевых групп на X к абелевым группам. Это точно слева , но в целом не точно справа. Тогда группы H ⁱ ( X , E ) для целых чисел i определяются как правые производные функторы функтора E ↦ E ( X ). Это автоматически делает H ⁱ ( X , E ) равным нулю для i < 0 и что H ⁰ ( X , E ) является группой E ( X ) глобальных секций. Длинная точная последовательность, приведенная выше, также прямо следует из этого определения.

В определении производных функторов используется то, что категория пучков абелевых групп в любом топологическом пространстве X имеет достаточно инъектив; т. е. для каждого пучка E существует инъективный пучок I с инъекцией E → I. ^[2] Отсюда следует, что каждый пучок E имеет инъективную резольвенту :

${\displaystyle 0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .}$

Тогда пучковые группы когомологий H ⁱ ( X , E ) являются группами когомологий (ядро одного гомоморфизма по модулю образа предыдущего) цепного комплекса абелевых групп:

${\displaystyle 0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .}$

Стандартные аргументы в гомологической алгебре подразумевают, что эти группы когомологий не зависят от выбора инъективного разрешения E .

Это определение редко используется непосредственно для вычисления пучковых когомологий. Тем не менее, он является мощным, поскольку работает в большой общности (любой пучок абелевых групп в любом топологическом пространстве) и легко подразумевает формальные свойства пучковых когомологий, такие как длинная точная последовательность, приведенная выше. Для определенных классов пространств или пучков существует множество инструментов для вычисления когомологий пучков, некоторые из которых обсуждаются ниже.

Функциональность

Для любого непрерывного отображения f : X → Y топологических пространств и любого пучка E абелевых групп на Y существует гомоморфизм обратного образа

${\displaystyle f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}(X,f^{*}(E))}$

для каждого целого числа j , где f *( E ) обозначает пучок обратного образа или пучок обратного образа . ^[3] Если f является включением подпространства X в Y , f * ( E ) является ограничением E на X , часто снова называемым просто E , а возврат сечения s из Y в X называется ограничением s. | _ИКС .

Гомоморфизмы обратного хода используются в последовательности Майера – Виеториса , что является важным вычислительным результатом. А именно, пусть X — топологическое пространство, являющееся объединением двух открытых подмножеств U и V , и пусть E — пучок на X. Тогда существует длинная точная последовательность абелевых групп: ^[4]

${\displaystyle 0\to H^{0}(X,E)\to H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\to H^{0}(U\cap V,E)\to H^{1}(X,E)\to \cdots .}$

Пучковые когомологии с постоянными коэффициентами

Для топологического пространства и абелевой группы постоянный пучок означает пучок локально постоянных функций со значениями в . Группы пучков когомологий с постоянными коэффициентами часто записываются просто как , если только это не может вызвать путаницу с другой версией когомологий, такой как сингулярные когомологии . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{X}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H^{j}(X,A_{X})}$ ${\displaystyle H^{j}(X,A)}$

Для непрерывного отображения f : X → Y и абелевой группы A пучок обратного образа f *( A _Y ) изоморфен A _X . В результате гомоморфизм обратного образа превращает когомологии пучков с постоянными коэффициентами в контравариантный функтор из топологических пространств в абелевы группы.

Для любых пространств X и Y и любой абелевой группы A два гомотопических отображения f и g из X в Y индуцируют один и тот же гомоморфизм на пучковых когомологиях: ^[5]

${\displaystyle f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\to H^{j}(X,A).}$

Отсюда следует, что два гомотопически эквивалентных пространства имеют изоморфные пучковые когомологии с постоянными коэффициентами.

Пусть X — паракомпактное хаусдорфово пространство , локально стягиваемое даже в том слабом смысле, что каждая открытая окрестность U точки x содержит открытую окрестность V точки x такую, что включение V → U гомотопно постоянному отображению. Тогда группы сингулярных когомологий X с коэффициентами из абелевой группы A изоморфны пучковым когомологиям с постоянными коэффициентами H *( X , A _X ). ^[6] Например, это справедливо для топологического многообразия X или комплекса CW .

В результате многие основные вычисления пучковых когомологий с постоянными коэффициентами такие же, как и вычисления сингулярных когомологий. См. статью о когомологиях когомологий сфер, проективных пространств, торов и поверхностей.

Для произвольных топологических пространств сингулярные когомологии и когомологии пучков (с постоянными коэффициентами) могут быть разными. Это происходит даже для H ⁰ . Сингулярные когомологии H ⁰ ( X , Z ) — это группа всех функций из множества компонентов путей X до целых чисел Z , тогда как пучковые когомологии H ⁰ ( X , Z X ₎ — это группа локально постоянных функций от X до целых чисел Z . З. _ Они различны, например, когда X является множеством Кантора . Действительно, пучковые когомологии H ⁰ ( X , Z _X ) в этом случае являются счетной абелевой группой, тогда как сингулярные когомологии H ⁰ ( X , Z ) представляют собой группу всех функций от X до Z , имеющую мощность

${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}.}$

Для паракомпактного хаусдорфова пространства X и любого пучка E абелевых групп на X группы когомологий H ^j ( X , E ) равны нулю для j, большего, чем размерность покрытия X. ^{[7] (В той же} общности это не справедливо для сингулярных когомологий: например, существует компактное подмножество евклидова пространства R3 , которое имеет ненулевые сингулярные когомологии в бесконечном числе степеней. ^[8] ) Размерность покрытия согласуется с обычной понятие размерности топологического многообразия или комплекса CW.

Дряблые и мягкие связки

Пучок E абелевых групп в топологическом пространстве X называется ациклическим, если H ^j ( X , E ) = 0 для всех j > 0. С помощью длинной точной последовательности когомологий пучка когомологии любого пучка можно вычислить из любого ациклического разрешение E (а не инъективное разрешение). Инъективные пучки ацикличны, но для вычислений полезно иметь другие примеры ациклических пучков.

Пучок E на X называется дряблым (по-французски: lasque ), если каждое сечение E на открытом подмножестве X продолжается до сечения E на всем X . Дряблые связки ацикличны. ^[9] Годеман определил пучковые когомологии через каноническое дряблое разрешение любого пучка; поскольку дряблые пучки ацикличны, определение Годемента согласуется с приведенным выше определением когомологий пучка. ^[10]

Пучок E на паракомпактном хаусдорфовом пространстве X называется мягким , если каждое сечение ограничения E на замкнутое подмножество X продолжается до сечения E на всем X . Каждый мягкий пучок ацикличен. ^[11]

Некоторыми примерами мягких пучков являются пучок вещественнозначных непрерывных функций на любом паракомпактном хаусдорфовом пространстве или пучок гладких ( C ^∞ ) функций на любом гладком многообразии . ^[12] В более общем смысле, любой пучок модулей над мягким пучком коммутативных колец является мягким; например, пучок гладких сечений векторного расслоения над гладким многообразием является мягким. ^[13]

Например, эти результаты составляют часть доказательства теоремы де Рама . Для гладкого многообразия X лемма Пуанкаре гласит, что комплекс де Рама является резольвентой постоянного пучка R _X :

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{1}\to \cdots ,}$

где Ω _X ^j — пучок гладких j -форм , а отображение Ω _X ^j → Ω _X ^{j +1} — внешняя производная d . По результатам вышеизложенного пучки Ω _X ^j являются мягкими и, следовательно, ациклическими. Отсюда следует, что пучковые когомологии X с вещественными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама X , определяемым как когомологии комплекса вещественных векторных пространств :

${\displaystyle 0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .}$

Другая часть теоремы де Рама состоит в отождествлении пучковых когомологий и сингулярных когомологий X с действительными коэффициентами; это справедливо в более широком смысле, как обсуждалось выше.

Чешские когомологии

Чеховские когомологии — это приближение к пучковым когомологиям, которое часто бывает полезно для вычислений. А именно, пусть – открытое покрытие топологического пространства X и E – пучок абелевых групп на X . Запишите открытые множества в обложке как U _i для элементов i множества I и зафиксируйте порядок I . Тогда когомологии Чеха определяются как когомологии явного комплекса абелевых групп с j- й группой ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

${\displaystyle C^{j}({\mathcal {U}},E)=\prod _{i_{0}<\cdots <i_{j}}E(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{j}}).}$

Существует естественный гомоморфизм . Таким образом, когомологии Чеха являются приближением к пучковым когомологиям, использующим только сечения E на конечных пересечениях открытых множеств U _i . ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)\to H^{j}(X,E)}$

Если каждое конечное пересечение V открытых множеств в не имеет высших когомологий с коэффициентами из E , что означает, что H ^j ( V , E ) = 0 для всех j > 0, то гомоморфизм когомологий Чеха в когомологии пучка является изоморфизмом. ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$

Другой подход к соотнесению когомологий Чеха с когомологиями пучков заключается в следующем. Группы когомологий Чеха определяются как прямой предел по всем открытым покрытиям X (где открытые покрытия упорядочены путем уточнения ) . Существует гомоморфизм когомологий Чеха в когомологии пучков, который является изоморфизмом при j ≤ 1. Для произвольных топологических пространств когомологии Чеха могут отличаться от когомологий пучков в более высоких степенях. Однако удобно, что когомологии Чеха изоморфны пучковым когомологиям для любого пучка в паракомпактном хаусдорфовом пространстве. ^[15] ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)}$ ${\displaystyle H^{j}({\mathcal {U}},E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)}$

Изоморфизм подразумевает описание H1 ⁽ X , E ) для любого пучка E абелевых групп на топологическом пространстве X : эта группа классифицирует E - торсоры (также называемые главными E -расслоениями ) над X с точностью до изоморфизма. (Это утверждение обобщается на любой пучок групп G , не обязательно абелев, с использованием неабелева множества когомологий H 1 ⁽ X , G ) .) По определению, E -торсор над X — это пучок S множеств вместе с действием E на X такой, что каждая точка в X имеет открытую окрестность, на которой S изоморфна E , причем E действует на себя путем переноса. Например, на кольцевом пространстве ( X , O _X ) отсюда следует, что группа Пикара обратимых пучков на X изоморфна группе пучков когомологий H ¹ ( X , O _X *), где O _X * — пучок единицы в O _X . ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,E)\cong H^{1}(X,E)}$

Относительные когомологии

Для подмножества Y топологического пространства X и пучка E абелевых групп на X можно определить группы относительных когомологий ^{: [16]}

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)=H^{j}(X,X-Y;E)}$

для целых чисел j . Другие названия — когомологии X с носителем в Y или (когда Y замкнуто в X ) локальные когомологии . Длинная точная последовательность связывает относительные когомологии с пучковыми когомологиями в обычном смысле:

${\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)\to H^{j}(X-Y,E)\to H_{Y}^{j+1}(X,E)\to \cdots .}$

Когда Y замкнуто в X , когомологии с носителем в Y можно определить как производные функторы функтора

${\displaystyle H_{Y}^{0}(X,E):=\{s\in E(X):s|_{X-Y}=0\},}$

группа разделов E , которые поддерживаются Y .

Есть несколько изоморфизмов, известных как вырезание . Например, если X — топологическое пространство с подпространствами Y и U такими, что замыкание Y содержится внутри U , а E — пучок на X , то ограничение

${\displaystyle H_{Y}^{j}(X,E)\to H_{Y}^{j}(U,E)}$

является изоморфизмом. ^[17] (Таким образом, когомологии с носителем в замкнутом подмножестве Y зависят только от поведения пространства X и пучка E вблизи Y .) Кроме того, если X - паракомпактное хаусдорфово пространство, которое является объединением замкнутых подмножеств A и B , и E — пучок на X , то ограничение

${\displaystyle H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B;E)}$

является изоморфизмом. ^[18]

Когомологии с компактным носителем

Пусть X — локально компактное топологическое пространство. (В этой статье под локально компактным пространством понимается хаусдорфово пространство.) Для пучка E абелевых групп на X можно определить когомологии с компактным носителем H _c ^j ( X , E ). ^[19] Эти группы определяются как производные функторы функтора сечений с компактным носителем:

${\displaystyle H_{c}^{0}(X,E)=\{s\in E(X):{\text{there is a compact subset }}K{\text{ of }}X{\text{ with }}s|_{X-K}=0\}.}$

Существует естественный гомоморфизм H _c ^j ( X , E ) → H ^j ( X , E ), который является изоморфизмом компакта X.

Для пучка E на локально компактном пространстве X когомологии X × R с компактным носителем с коэффициентами в обратном образе E являются сдвигом когомологий X с компактным носителем : ^[20]

${\displaystyle H_{c}^{j+1}(X\times \mathbf {R} ,E)\cong H_{c}^{j}(X,E).}$

Отсюда следует, например, что H _c ^j ( R ⁿ , Z ) изоморфно Z , если j = n , и равно нулю в противном случае.

Компактные когомологии не функториальны относительно произвольных непрерывных отображений. Однако для правильного отображения f : Y → X локально компактных пространств и пучка E на X существует гомоморфизм обратного образа

${\displaystyle f^{*}\colon H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,f^{*}(E))}$

о когомологиях с компактным носителем. Кроме того, для открытого подмножества U локально компактного пространства X и пучка E на X существует гомоморфизм прямого распространения, известный как расширение нулем : ^[21]

${\displaystyle H_{c}^{j}(U,E)\to H_{c}^{j}(X,E).}$

Оба гомоморфизма встречаются в длинной точной последовательности локализации для когомологий с компактным носителем, для локально компактного пространства X и замкнутого подмножества Y : ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{j}(X-Y,E)\to H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,E)\to H_{c}^{j+1}(X-Y,E)\to \cdots .}$

Кубок продукта

Для любых пучков A и B абелевых групп в топологическом пространстве X существует билинейное отображение, чашечное произведение

${\displaystyle H^{i}(X,A)\times H^{j}(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),}$

для всех я и j . ^[23] Здесь A ⊗ B обозначает тензорное произведение над Z , но если A и B — пучки модулей над некоторым пучком коммутативных колец O _X , то из H ^{i + j} (X, A ⊗ _Z B ) можно отобразить далее в H ^{i + j} (X, A ⊗ _{O X} B ). В частности, для пучка коммутативных колец O _X произведение чашки составляет прямую сумму

${\displaystyle H^{*}(X,O_{X})=\bigoplus _{j}H^{j}(X,O_{X})}$

в градуированное коммутативное кольцо, что означает, что

${\displaystyle vu=(-1)^{ij}uv}$

для всех u в H ⁱ и v в H ^j . ^[24]

Комплексы связок

Определение пучковых когомологий как производного функтора распространяется на определение когомологий топологического пространства X с коэффициентами в любом комплексе E пучков:

${\displaystyle \cdots \to E_{j}\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots }$

В частности, если комплекс E ограничен снизу (пучок E _j равен нулю при достаточно отрицательном j ), то E имеет инъективную резольвенту I , как и одиночный пучок. (По определению I — ограниченный снизу комплекс инъективных пучков с цепным отображением E → I , которое является квазиизоморфизмом .) Тогда группы когомологий H ^j ( X , E ) определяются как когомологии комплекса абелевых групп

${\displaystyle \cdots \to I_{j}(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to \cdots .}$

Когомологии пространства с коэффициентами в комплексе пучков раньше назывались гиперкогомологиями , но сейчас обычно просто «когомологиями».

В более общем смысле, для любого комплекса пучков E (не обязательно ограниченного снизу) в пространстве X группа когомологий H ^j ( X , E ) определяется как группа морфизмов в производной категории пучков на X :

${\displaystyle H^{j}(X,E)=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} _{X},E[j]),}$

где Z _X — постоянный пучок, связанный с целыми числами, а E [ j ] означает комплекс E, сдвинутый на j шагов влево.

Двойственность Пуанкаре и обобщения

Центральным результатом топологии является теорема двойственности Пуанкаре : для замкнутого ориентированного связного топологического многообразия X размерности n и поля k группа H ⁿ ( X , k ) изоморфна k , а чашечное произведение

${\displaystyle H^{j}(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^{n}(X,k)\cong k}$

является идеальной парой для всех целых чисел j . То есть результирующее отображение H ^j ( X , k ) в двойственное пространство H ^{n − j} ( X , k )* является изоморфизмом. В частности, векторные пространства H ^j ( X , k ) и H ^{n − j} ( X , k )* имеют одинаковую (конечную) размерность .

Многие обобщения возможны, используя язык пучковых когомологий. Если X — ориентированное n -многообразие, не обязательно компактное или связное, и k — поле, то когомологии являются двойственными когомологиям с компактным носителем:

${\displaystyle H^{j}(X,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Для любого многообразия X и поля k существует пучок X на _X , ориентационный пучок , который локально (но , возможно, не глобально) изоморфен постоянному пучку k . Одной из версий двойственности Пуанкаре для произвольного n -многообразия X является изоморфизм: ^[25]

${\displaystyle H^{j}(X,o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

В более общем смысле, если E — локально постоянный пучок k -векторных пространств на n -многообразии X и слои E имеют конечную размерность, то существует изоморфизм

${\displaystyle H^{j}(X,E^{*}\otimes o_{X})\cong H_{c}^{n-j}(X,E)^{*}.}$

С коэффициентами в произвольном коммутативном кольце, а не в поле, двойственность Пуанкаре естественным образом формулируется как изоморфизм когомологий в гомологии Бореля – Мура .

Двойственность Вердье — это обширное обобщение. Для любого локально компактного пространства X конечной размерности и любого поля k существует объект D _X в производной категории D ( X ) пучков на X , называемый дуализирующим комплексом (с коэффициентами из k ). Одним из случаев двойственности Вердье является изоморфизм: ^[26]

${\displaystyle H^{j}(X,D_{X})\cong H_{c}^{-j}(X,k)^{*}.}$

Для n -многообразия X дуализирующий комплекс D _X изоморфен сдвигу o _X [ n ] ориентационного пучка. В результате двойственность Вердье включает двойственность Пуанкаре как частный случай.

Дуальность Александера — еще одно полезное обобщение двойственности Пуанкаре. Для любого замкнутого подмножества X ориентированного n -многообразия M и любого поля k существует изоморфизм: ^[27]

${\displaystyle H_{X}^{j}(M,k)\cong H_{c}^{n-j}(X,k)^{*}.}$

Это интересно уже для X , компактного подмножества M = R ⁿ , где говорится (грубо говоря), что когомологии R ⁿ − X являются двойственными пучковым когомологиям X . В этом утверждении важно рассматривать пучковые когомологии, а не сингулярные когомологии, если не делать дополнительных предположений о X , таких как локальная сжимаемость.

Высшие прямые изображения и спектральная последовательность Лере

Пусть f : X → Y — непрерывное отображение топологических пространств и E — пучок абелевых групп на X . Пучок прямых изображений f _* E — это пучок на Y , определяемый формулой

${\displaystyle (f_{*}E)(U)=E(f^{-1}(U))}$

для любого открытого подмножества U из Y . Например, если f — отображение X в точку, то f * _E — пучок в точке, соответствующий группе E ( X ) глобальных сечений E.

Функтор f _* от пучков на X к пучкам на Y точен слева, но, вообще говоря, не точен справа. Высшие пучки прямых изображений R ⁱ f _* E на Y определяются как правые производные функторы функтора f _* . Другое описание состоит в том, что R ⁱ f _* E — это пучок, связанный с предпучком.

${\displaystyle U\mapsto H^{i}(f^{-1}(U),E)}$

на Ю. _ ^[28] Таким образом, высшие пучки прямых образов описывают когомологии прообразов малых открытых множеств в Y , грубо говоря.

Спектральная последовательность Лере связывает когомологии на X с когомологиями на Y . А именно, для любого непрерывного отображения f : X → Y и любого пучка E на X существует спектральная последовательность

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,R^{j}f_{*}E)\Rightarrow H^{i+j}(X,E).}$

Это очень общий результат. Частный случай, когда f — расслоение , а E — постоянный пучок, играет важную роль в теории гомотопий под названием спектральной последовательности Серра . В этом случае высшие пучки прямых изображений локально постоянны, а стебли - группы когомологий слоев F f , и поэтому спектральную последовательность Серра можно записать как

${\displaystyle E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,H^{j}(F,A))\Rightarrow H^{i+j}(X,A)}$

для абелевой группы A .

Простой, но полезный случай спектральной последовательности Лере состоит в том, что для любого замкнутого подмножества X топологического пространства Y и любого пучка E на X , обозначая включение f : X → Y , существует изоморфизм ^[29]

${\displaystyle H^{i}(Y,f_{*}E)\cong H^{i}(X,E).}$

В результате любой вопрос о пучковых когомологиях в замкнутом подпространстве можно перевести к вопросу о пучке прямых изображений в объемлющем пространстве.

Конечность когомологий

Имеется сильный результат о конечности пучковых когомологий. Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, а R — область главных идеалов , например поле или кольцо Z целых чисел. Пусть E — пучок R -модулей на X , и предположим, что E имеет «локально конечно порожденные когомологии», что означает, что для каждой точки x в X , каждого целого числа j и каждой открытой окрестности U точки x существует открытая окрестность V ⊂ U элемента x такой, что образ H ^j ( U , E ) → H ^j ( V , E ) является конечно порожденным R -модулем. Тогда группы когомологий H ^j ( X , E ) являются конечно порожденными R -модулями. ^[30]

Например, для компакта X , локально сжимаемого (в слабом смысле, обсуждаемом выше), группа пучков когомологий H ^j ( X , Z ) конечно порождена для каждого целого числа j .

Одним из случаев, когда применим результат конечности, является случай конструктивного пучка . Пусть X — топологически стратифицированное пространство . В частности, X поставляется с последовательностью замкнутых подмножеств.

${\displaystyle X=X_{n}\supset X_{n-1}\supset \cdots \supset X_{-1}=\emptyset }$

такая, что каждая разность X _i − X _{i −1} является топологическим многообразием размерности i . Пучок E R -модулей на X конструктивен относительно данной стратификации, если ограничение E на каждый страт X _i − X _{i −1} локально постоянно, причем слой представляет собой конечно порожденный R -модуль. Пучок E на X , конструктивный относительно данной стратификации, имеет локально конечно порожденные когомологии. ^[31] Если X компактно, то группы когомологий H ^j ( X , E ) X с коэффициентами в конструктивном пучке конечно порождены.

В более общем смысле, предположим, что X компактифицируемо, что означает, что существует компактное стратифицированное пространство W , содержащее X как открытое подмножество, причем W – X является объединением связных компонентов стратов. Тогда для любого конструктивного пучка ^E R -модулей на X R -модули H j ⁽ X , E ) и H _c j ( X , E ) конечно порождены. ^[32] Например, любое комплексное алгебраическое многообразие X с его классической (евклидовой) топологией компактифицируемо в этом смысле.

Когомологии когерентных пучков

В алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии когерентные пучки представляют собой класс пучков особой геометрической важности. Например, алгебраическое векторное расслоение (на локально нетеровой схеме ) или голоморфное векторное расслоение (на комплексном аналитическом пространстве ) можно рассматривать как когерентный пучок, но когерентные пучки имеют преимущество перед векторными расслоениями, заключающееся в том, что они образуют абелеву категорию. На схеме полезно также рассмотреть квазикогерентные пучки, к которым относятся локально свободные пучки бесконечного ранга.

Многое известно о группах когомологий схемы или комплексного аналитического пространства с коэффициентами в связном пучке. Эта теория является ключевым техническим инструментом в алгебраической геометрии. Среди основных теорем - результаты об исчезновении когомологий в различных ситуациях, результаты о конечномерности когомологий, сравнения между когерентными пучковыми когомологиями и сингулярными когомологиями, такие как теория Ходжа , а также формулы об эйлеровых характеристиках в когерентных пучковых когомологиях, такие как формулы Римана – Теорема Роха .

Связки на сайте

В 1960-х годах Гротендик определил понятие сайта , означающее категорию, оснащенную топологией Гротендика . Сайт C аксиоматизирует понятие множества морфизмов V _α → U в C , являющихся покрытием U . Топологическое пространство X определяет сайт естественным образом: в категории C есть объекты - открытые подмножества X , морфизмы которых являются включениями, а набор морфизмов V _α → U называется покрытием U тогда и только тогда, когда U объединение открытых подмножеств V _α . Мотивирующим примером топологии Гротендика за пределами этого случая была этальная топология схем. С тех пор в алгебраической геометрии использовались многие другие топологии Гротендика: топология fpqc , топология Нисневича и так далее.

Определение связки работает на любом сайте. Таким образом, можно говорить о пучке множеств на сайте, пучке абелевых групп на сайте и так далее. Определение пучковых когомологий как производного функтора также работает на сайте. Таким образом , для любого объекта X узла и любого пучка E абелевых групп существуют группы пучков когомологий H ^j ( X , E ). Для этальной топологии это дает понятие этальных когомологий , что привело к доказательству гипотезы Вейля . Кристаллические когомологии и многие другие теории когомологий в алгебраической геометрии также определяются как когомологии пучков на соответствующем узле.

Примечания

1. (Миллер 2000)
2. (Иверсен 1986, Теорема II.3.1.)
3. (Иверсен 1986, II.5.1.)
4. (Иверсен 1986, II.5.10.)
5. (Иверсен 1986, Теорема IV.1.1.)
6. (Бредон 1997, Теорема III.1.1.)
7. (Годемент 1973, II.5.12.)
8. (Барратт и Милнор, 1962)
9. (Иверсен 1986, Теорема II.3.5.)
10. (Иверсен 1986, II.3.6.)
11. (Бредон 1997, Теорема II.9.11.)
12. (Бредон 1997, пример II.9.4.)
13. (Бредон 1997, Теорема II.9.16.)
14. (Годемент 1973, раздел II.5.4.)
15. (Годемент 1973, раздел II.5.10.)
16. (Бредон 1997, раздел II.12.)
17. (Бредон 1997, Теорема II.12.9.)
18. (Бредон 1997, следствие II.12.5.)
19. (Иверсен 1986, Определение III.1.3.)
20. (Бредон 1997, Теорема II.15.2.)
21. (Иверсен 1986, II.7.4.)
22. (Иверсен 1986, II.7.6.)
23. (Иверсен 1986, II.10.1.)
24. (Иверсен 1986, II.10.3.)
25. (Иверсен 1986, Теорема V.3.2.)
26. (Иверсен 1986, IX.4.1.)
27. (Иверсен 1986, теорема IX.4.7 и раздел IX.1.)
28. (Иверсен 1986, Предложение II.5.11.)
29. (Иверсен 1986, II.5.4.)
30. (Бредон 1997, Теорема II.17.4), (Борел 1984, V.3.17.)
31. (Борел 1984, Предложение V.3.10.)
32. (Борел 1984, Лемма V.10.13.)

Рекомендации

• Барратт, Миннесота; Милнор, Джон (1962), «Пример аномальной сингулярной гомологии», Труды Американского математического общества , 13 (2): 293–297, doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0137110-9 , MR  0137110
• Борель, Арманд (1984), Когомологии пересечений , Биркхойзер , ISBN 0-8176-3274-3, МР  0788171
• Бредон, Глен Э. (1997) [1967], Теория пучка , Тексты для выпускников по математике, том. 170 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN 978-0-387-94905-5, МР  1481706
• Годеман, Роджер (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, MR  0345092.
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978], Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классиков Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, МР  1288523
• Гротендик, А. (1957), «Sur quelques points d'algèbre homologique», Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR  0102537. Английский перевод.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157, OCLC  13348052
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, МР  0842190
• Миллер, Хейнс (2000). «Лере в Oag XVIII: Истоки теории пучков, когомологий пучков и спектральных последовательностей» (PDF) . S2CID  13024093.

Внешние ссылки

• Тема «Когомологии пучков и инъективные разрешения» на MathOverflow
• «Когомологии пучка» на Stack Exchange