Голоморфное векторное расслоение

Комплексное векторное расслоение на комплексном многообразии

В математике голоморфное векторное расслоение — это комплексное векторное расслоение над комплексным многообразием X такое , что общее пространство E является комплексным многообразием, а отображение проекции π: E → X голоморфно . Фундаментальными примерами являются голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия и его двойственное голоморфное кокасательное расслоение . Голоморфное линейное расслоение — это голоморфное векторное расслоение ранга один.

Согласно GAGA Серра , категория голоморфных векторных расслоений на гладком комплексном проективном многообразии X (рассматриваемом как комплексное многообразие) эквивалентна категории алгебраических векторных расслоений (т. е. локально свободных пучков конечного ранга) на X .

Определение через тривиализацию

В частности, требуется, чтобы отображения тривиализации

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

являются биголоморфными отображениями . Это эквивалентно требованию, чтобы функции перехода

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

являются голоморфными отображениями. Голоморфная структура на касательном расслоении комплексного многообразия гарантируется замечанием, что производная (в соответствующем смысле) векторнозначной голоморфной функции сама голоморфна.

Пучок голоморфных сечений

Пусть E — голоморфное векторное расслоение. Локальный раздел s  : U → E | _U называется голоморфным , если в окрестности каждой точки U он голоморфен в некоторой (эквивалентной любой) тривиализации.

Это условие является локальным, означающим, что голоморфные сечения образуют пучок на X . Этот пучок иногда обозначают или оскорбительно E. Такой пучок всегда локально свободен того же ранга, что и ранг векторного расслоения. Если E — тривиальное линейное расслоение , то этот пучок совпадает со структурным пучком комплексного многообразия X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Основные примеры

Существуют линейные расслоения , глобальные сечения которых соответствуют однородным многочленам степени (для натурального числа). В частности, соответствует тривиальному линейному расслоению. Если мы возьмем покрытие , то мы сможем найти диаграммы, определяемые формулой ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

Мы можем построить функции перехода, определяемые формулой ${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Теперь, если мы рассмотрим тривиальный расслоение, мы можем сформировать индуцированные функции перехода . Если использовать координату на волокне, то можно сформировать функции перехода ${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \psi _{i,j}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

для любого целого числа . Каждый из них связан с линейным пакетом . Поскольку векторные расслоения обязательно возвращаются назад, любое голоморфное подмногообразие имеет связанное линейное расслоение , иногда обозначаемое . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

Операторы Дольбо

Предположим, что E — голоморфное векторное расслоение. Тогда существует выделенный оператор, определяемый следующим образом. При локальной тривиализации E с локальным фреймом любое сечение может быть записано для некоторых гладких функций . Определите оператор локально с помощью ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

где – регулярный оператор Коши–Римана базового многообразия. Этот оператор корректно определен на всем E, поскольку при перекрытии двух тривиализаций с голоморфной переходной функцией , если где - локальный фрейм для E на , то , и так ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle U_{\beta }}$ ${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

поскольку функции перехода голоморфны. Это приводит к следующему определению: оператор Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении является -линейным оператором. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

такой, что

• (условие Коши–Римана) , ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• (Правило Лейбница) Для любого сечения и функции на ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

Применяя теорему Ньюлендера–Ниренберга , получаем обратную конструкцию оператора Дольбо голоморфного расслоения: ^[1]

Теорема: Для данного оператора Дольбо на гладком комплексном векторном расслоении существует уникальная голоморфная структура, которая является ассоциированным оператором Дольбо, построенным выше. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо , гладкое сечение голоморфно тогда и только тогда, когда . С моральной точки зрения это похоже на определение гладкого или комплексного многообразия как кольцевого пространства . А именно, достаточно указать, какие функции на топологическом многообразии являются гладкими или комплексными, чтобы придать ему гладкую или сложную структуру. ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

Оператор Дольбо имеет локальный обратный в терминах гомотопического оператора . ^[2]

Пучки форм со значениями в голоморфном векторном расслоении

Если обозначает пучок C∞ дифференциальных форм типа ( p ^, q ) , то пучок форм типа ( p , q ) со значениями в E можно определить как тензорное произведение ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

Эти пучки хороши , а это означает, что они допускают разбиения единицы . Фундаментальное различие между гладкими и голоморфными векторными расслоениями состоит в том, что в последних существует канонический дифференциальный оператор, заданный оператором Дольбо, определенным выше:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

Когомологии голоморфных векторных расслоений

Если E — голоморфное векторное расслоение, когомологии E определяются как пучковые когомологии . В частности, у нас есть ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

пространство глобальных голоморфных сечений E . У нас также есть это параметризует группу расширений тривиального линейного расслоения X с помощью E , то есть точные последовательности голоморфных векторных расслоений 0 → E → F → X × C → 0 . О структуре группы см. также сумму Бэра и расширение пучка . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

По теореме Дольбо эти когомологии пучков можно альтернативно описать как когомологии цепного комплекса , определенного пучками форм со значениями в голоморфном расслоении . А именно у нас есть ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

Группа Пикарда

В контексте комплексной дифференциальной геометрии группа Пикара Pic( X ) комплексного многообразия X представляет собой группу классов изоморфизма голоморфных линейных расслоений с групповым законом, заданным тензорным произведением, и инверсией, заданной дуализацией. Ее можно эквивалентно определить как первую группу когомологий пучка ненулевых голоморфных функций. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

Эрмитова метрика на голоморфном векторном расслоении

Пусть E — голоморфное векторное расслоение на комплексном многообразии M и на E существует эрмитова метрика ; то есть волокна E _x снабжены плавно изменяющимися скалярными произведениями <·,·>. Тогда существует единственная связность ∇ на E , совместимая как с комплексной структурой, так и с метрической структурой, называемая связностью Черна ; то есть ∇ — связность такая, что

(1) Для любых гладких сечений s пространства E , где π _0,1 принимает (0, 1)-компоненту E -значной 1-формы . ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

(2) Для любых гладких сечений s , t пространства E и векторного поля X на M ,

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

где мы писали для сокращения на X . (Это эквивалентно тому, что параллельный перенос по ∇ сохраняет метрику <·,·>.) ${\displaystyle \nabla _{X}s}$ ${\displaystyle \nabla s}$

Действительно, если u = ( e ₁ , …, en ) — голоморфный репер, то пусть _и определим ω _u уравнением , которое проще запишем как: ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

Если u' = ug — другой фрейм с голоморфной заменой базиса g , то

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

и поэтому ω действительно является формой связности , порождающей ∇ посредством ∇ s = ds + ω · s . Теперь, поскольку , ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

То есть ∇ совместим с метрической структурой. Наконец, поскольку ω является (1,0)-формой, (0,1)-компонентом является . ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

Пусть – форма кривизны ∇. Поскольку по определению оператора Дольбо Ω стремится к нулю, Ω не имеет (0, 2)-компоненты и поскольку легко показать, что Ω является косоэрмитовым, ^[3] у него также нет (2, 0)-компоненты. Следовательно, Ω является (1, 1)-формой, заданной формулой ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$ ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

Кривизна Ω появляется заметно в теоремах об исчезновении для высших когомологий голоморфных векторных расслоений; например, теорема об исчезновении Кодайры и теорема об исчезновении Накано .

Смотрите также

• Теорема Биркгофа – Гротендика.
• Метрика Квиллена
• Двойственность Серра

Примечания

1. Кобаяши, С. (2014). Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений (т. 793). Издательство Принстонского университета.
2. Киция, Радослав Антоний (2020). «Лемма Пуанкаре, антиточные формы и фермионный квантовый гармонический осциллятор». Результаты по математике . 75 (3): 122. arXiv : 1908.02349 . дои : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383.
3. Например, существование эрмитовой метрики на E означает, что структурная группа расслоения фреймов может быть сведена к унитарной группе , а Ω имеет значения в алгебре Ли этой унитарной группы, которая состоит из косоэрмитовых метрик.

Рекомендации

• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, МР  1288523
• «Векторное расслоение, аналитическое», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Принцип расщепления голоморфных векторных расслоений