Тянь Ган ( кит .田刚; родился 24 ноября 1958 г.) [1] — китайский математик. Он является профессором математики в Пекинском университете и почетным профессором Хиггинса в Принстонском университете . Он известен своим вкладом в такие математические области, как геометрия Кэлера , теория Громова-Виттена и геометрический анализ .
По состоянию на 2020 год он является вице-председателем Китайской демократической лиги и президентом Китайского математического общества . С 2017 по 2019 год он занимал должность вице-президента Пекинского университета .
Тянь родился в Нанкине , Цзянсу , Китай. Он получил квалификацию на втором вступительном экзамене в колледж после Культурной революции в 1978 году. Он окончил Нанкинский университет в 1982 году и получил степень магистра в Пекинском университете в 1984 году. В 1988 году он получил степень доктора философии. по математике в Гарвардском университете под руководством Шинг-Тунг Яу .
В 1998 году он был назначен профессором Cheung Kong Scholar в Пекинском университете. Позже его назначение было изменено на должность профессора кафедры Cheung Kong Scholar. Он был профессором математики в Массачусетском технологическом институте с 1995 по 2006 год (с 1996 года занимал должность профессора математики Саймонса). Его работа в Принстоне началась в 2003 году, а позже он был назначен профессором математики Хиггинса. С 2005 года он является директором Пекинского международного центра математических исследований (BICMR); [2] с 2013 по 2017 год он был деканом факультета математических наук Пекинского университета. [3] Он и Джон Милнор — старшие ученые Математического института Клэя (CMI). В 2011 году Тиан стал директором китайско-французской исследовательской программы по математике в Национальном центре научных исследований (CNRS) в Париже . В 2010 году он стал научным консультантом Международного центра теоретической физики в Триесте , Италия. [4]
Тиан работал во многих комитетах, в том числе по Премии Абеля и Премии Лероя П. Стила . [5] Он является членом редколлегий многих журналов, в том числе «Достижения в области математики» и «Журнал геометрического анализа». В прошлом он входил в редколлегии журналов Annals of Mathematics и Journal of the American Mathematical Society .
Среди его наград и почестей:
По крайней мере, с 2013 года он активно участвует в китайской политике, занимая должность заместителя председателя Китайской демократической лиги , второй по численности политической партии в Китае .
Тиан хорошо известен своим вкладом в кэлерову геометрию и, в частности, в изучение метрик Кэлера-Эйнштейна . Шинг-Тунг Яу в своем знаменитом решении гипотезы Калаби разрешил случай замкнутых кэлеровых многообразий с неположительным первым классом Черна. Его работа по применению метода непрерывности показала, что C 0- контроля над потенциалами Кэлера будет достаточно, чтобы доказать существование метрик Кэлера-Эйнштейна на замкнутых кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна, также известных как «многообразия Фано». Тиан и Яу распространили анализ гипотезы Калаби, проведенный Яу, на некомпактные условия, где они получили частичные результаты. [TY90] Они также расширили свою работу, включив в нее орбифолдные особенности. [TY91]
Тиан ввел « α -инвариант», который по сути является оптимальной константой в неравенстве Мозера-Трудингера применительно к кэлеровым потенциалам с супремальным значением 0. Он показал, что если α -инвариант достаточно велик (т.е. если достаточно сильный неравенство Мозера-Трудингера справедливо), то можно достичь управления C 0 в методе непрерывности Яу. [T87b] Это было применено для демонстрации новых примеров поверхностей Кэлера-Эйнштейна. Случай кэлеровых поверхностей был вновь рассмотрен Тианом в 1990 году, что дало полное решение проблемы Кэлера-Эйнштейна в этом контексте. [T90b] Основной метод заключался в изучении возможных геометрических вырождений последовательности метрик Кэлера-Эйнштейна, обнаруживаемых с помощью сходимости Громова-Хаусдорфа . Тиан адаптировал многие технические инновации Карен Уленбек , разработанные для соединений Янга-Миллса, к настройкам метрик Кэлера. Некоторые похожие и влиятельные работы в римановой теории были выполнены в 1989 и 1990 годах Майклом Андерсоном , Сигетоши Бандо, Ацуши Касуэ и Хираку Накадзимой . [6] [7] [8]
Самый известный вклад Тиана в проблему Кэлера-Эйнштейна был сделан в 1997 году. В 1980-х годах Яу выдвинул гипотезу, частично основанную на аналогии с теоремой Дональдсона-Уленбека-Яу , что существование метрики Кэлера-Эйнштейна должно соответствовать стабильности лежащей в ее основе кэлеровой метрики. многообразие в определенном смысле геометрической теории инвариантов . Было общепринято, особенно после работы Акито Футаки [9] , что существование голоморфных векторных полей должно служить препятствием для существования метрик Кэлера-Эйнштейна. Тянь и Вэй Юэ Дин установили, что этого препятствия недостаточно в классе кэлеровых орбифолдов . [DT92] Тиан в своей статье 1997 года привел конкретные примеры кэлеровых многообразий (а не орбифолдов), которые не имели голоморфных векторных полей, а также метрик Кэлера-Эйнштейна, показывая, что искомый критерий лежит глубже. [T97] Яу предположил, что вместо голоморфных векторных полей на самом многообразии важно изучать деформации проективных вложений кэлеровых многообразий под голоморфными векторными полями в проективном пространстве. Эту идею модифицировал Тиан, введя понятие K-стабильности и показав, что любое многообразие Кэлера-Эйнштейна должно быть K-стабильным . [Т97]
Саймон Дональдсон в 2002 году изменил и расширил определение K-стабильности, данное Тианом. [10] Гипотеза о том, что K-стабильности будет достаточно для обеспечения существования метрики Кэлера-Эйнштейна, стала известна как гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона . В 2015 году Сюсюн Чен , Дональдсон и Сун Сунь опубликовали доказательство гипотезы, получив за свою работу премию Освальда Веблена в области геометрии . [11] [12] [13] Тиан опубликовал доказательство гипотезы в том же году, хотя Чен, Дональдсон и Сунь обвинили Тиана в академических и математических нарушениях в отношении его статьи. [Т15] [14] [15]
В одной из своих первых статей Тиан исследовал пространство метрик Калаби-Яу на кэлеровом многообразии. [T87a] Он показал, что любая бесконечно малая деформация структуры Калаби-Яу может быть «интегрирована» в однопараметрическое семейство метрик Калаби-Яу; это доказывает, что «пространство модулей» метрик Калаби-Яу на данном многообразии имеет структуру гладкого многообразия. Ранее это также изучалось Андреем Тодоровым, и результат известен как теорема Тиана-Тодорова. [16] В качестве приложения Тиан нашел формулу для метрики Вейля-Петерссона в пространстве модулей метрик Калаби-Яу в терминах отображения периода . [Т87а] [17]
Вдохновленный проблемой Кэлера-Эйнштейна и гипотезой Яу, касающейся метрик Бергмана , Тиан изучил следующую проблему. Пусть L — линейное расслоение над кэлеровым многообразием M и зафиксировали метрику эрмитового расслоения, форма кривизны которой является кэлеровой формой на M. Предположим, что для достаточно большого m ортонормированный набор голоморфных сечений линейного расслоения L ⊗ m определяет проективное вложение M . Можно отодвинуть метрику Фубини-Исследования , чтобы определить последовательность метрик на M по мере увеличения m . Тиан показал, что определенное масштабирование этой последовательности обязательно сходится в топологии C 2 к исходной метрике Кэлера. [T90a] Уточненная асимптотика этой последовательности была использована в ряде влиятельных последующих статей других авторов и особенно важна в программе Саймона Дональдсона по экстремальным метрикам. [18] [19] [20] [21] [22] Аппроксимируемость кэлеровой метрики кэлеровой метрикой, индуцированной из проективных вложений, также имеет отношение к картине Яу гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона, как указано выше.
В высокотехнологичной статье Сюсюн Чен и Тянь изучили теорию регулярности некоторых комплексных уравнений Монжа-Ампера с приложениями к изучению геометрии экстремальных кэлеровых метрик. [CT08] Хотя их статья очень широко цитируется, Юлиус Росс и Дэвид Витт Нистрем нашли контрпримеры к результатам Чена и Тиана о регулярности в 2015 году. [23] Неясно, какие результаты статьи Чена и Тиана остаются в силе.
В 1985 году Михаил Громов показал, что псевдоголоморфные кривые являются мощным инструментом симплектической геометрии . [24] В 1991 году Эдвард Виттен предположил использование теории Громова для определения перечислительных инвариантов . [25] Тянь и Юнбин Жуан нашли детали такой конструкции, доказав, что различные пересечения образов псевдоголоморфных кривых не зависят от многих вариантов выбора и, в частности, дают ассоциативное полилинейное отображение гомологии некоторых симплектических многообразий. [RT95] Эта структура известна как квантовые когомологии ; современный и столь же влиятельный подход принадлежит Дусе Макдафф и Дитмару Саламону . [26] Результаты Жуана и Тиана носят несколько более общий характер.
Вместе с Цзюнь Ли Тянь дал чисто алгебраическую адаптацию этих результатов к ситуации алгебраических многообразий . [LT98b] Это было сделано одновременно с Каем Берендом и Барбарой Фантечи , используя другой подход. [27]
Затем Ли и Тиан адаптировали свою алгебро-геометрическую работу обратно к аналитической ситуации в симплектических многообразиях, расширив более раннюю работу Жуана и Тиана. [LT98a] Тиан и Ган Лю использовали эту работу для доказательства известной гипотезы Арнольда о числе неподвижных точек гамильтоновых диффеоморфизмов. [LT98c] Однако эти статьи Ли-Тиана и Лю-Тиана по симплектической теории Громова-Виттена подверглись критике со стороны Дусы Макдафф и Катрин Верхайм как неполные или неправильные, заявив, что в статье Ли и Тиана [LT98a] «не хватает почти всех подробностей». «по некоторым вопросам и что статья Лю и Тиана [LT98c] содержит «серьезные аналитические ошибки». [28]
В 1995 году Тянь и Вэйюэ Дин изучили тепловой поток гармонического отображения двумерного замкнутого риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие N. [DT95] В плодотворной работе 1985 года, последовавшей за прорывом Джонатана Сакса и Карен Уленбек в 1982 году , Майкл Струве изучил эту проблему и показал, что существует слабое решение, которое существует для любого положительного времени. Более того, Струве показал, что решение u является гладким вдали от конечного числа точек пространства-времени; учитывая любую последовательность точек пространства-времени, в которых решение является гладким и которые сходятся к данной особой точке ( p , T ) , можно выполнить некоторые изменения масштаба, чтобы (последовательно) определить конечное число гармонических отображений из круглой двумерной сферы в N , называемые «пузырями». Динг и Тиан доказали определенное «квантование энергии», означающее, что дефект между энергией Дирихле u ( T ) и пределом энергии Дирихле u ( t ) , когда t приближается к T , точно измеряется суммой энергий Дирихле. из пузырей. Такие результаты важны для геометрического анализа, поскольку они следуют оригинальному результату квантования энергии Юм-Тонг Сиу и Шинг-Тунг Яу в их доказательстве гипотезы Франкеля. [29] Аналогичная проблема для гармонических карт , в отличие от рассмотрения Дином и Тианом потока гармонических карт, рассматривалась Чанъю Ваном примерно в то же время. [30]
Основная статья Тиана была посвящена уравнениям Янга – Миллса . [T00a] Помимо распространения большей части анализа Карена Уленбека на более высокие измерения, он изучал взаимодействие теории Янга-Миллса с калиброванной геометрией . Уленбек показал в 1980-х годах, что, если задана последовательность связей Янга-Миллса с равномерно ограниченной энергией, они будут плавно сходиться к дополнению подмножества коразмерности не менее четырех, известному как дополнение «сингулярного набора». Тиан показал, что особое множество является спрямляемым множеством . В случае, если коллектор оснащен калибровкой, можно ограничить интерес соединениями Янга-Миллса, которые являются самодвойственными относительно калибровки. В этом случае Тиан показал, что сингулярный набор калибруется. Например, сингулярное множество последовательности эрмитовых связностей Янга-Миллса с равномерно ограниченной энергией будет голоморфным циклом. Это важная геометрическая особенность анализа связей Янга-Миллса.
В 2006 году Тянь и Чжоу Чжан изучили поток Риччи в особом случае замкнутых кэлеровых многообразий . [TZ06] Их главным достижением было показать, что максимальное время существования можно охарактеризовать в чисто когомологических терминах. Это представляет собой один из смыслов, в котором поток Кэлера-Риччи значительно проще, чем обычный поток Риччи, где нет (известного) вычисления максимального времени существования из данного геометрического контекста. Доказательство Тиана и Чжана состоит из использования скалярного принципа максимума применительно к различным геометрическим эволюционным уравнениям в терминах кэлерова потенциала, параметризованного линейной деформацией форм, когомологичного самому потоку Кэлера-Риччи. В известной работе с Цзянь Суном Тиан проанализировал поток Кэлера Риччи на некоторых двумерных комплексных многообразиях. [ST07]
В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман опубликовал на arXiv три статьи , целью которых было доказать гипотезу Пуанкаре и гипотезу геометризации в области трехмерной геометрической топологии . [31] [32] [33] Статьи Перельмана сразу же получили признание благодаря многим новым идеям и результатам, хотя технические детали многих его аргументов считались труднопроверяемыми. В сотрудничестве с Джоном Морганом Тиан опубликовал в 2007 году изложение статей Перельмана, дополнив многие детали. [MT07] Другие экспозиции, которые также широко изучались, были написаны Хуай-Дун Цао и Си-Пин Чжу , а также Брюсом Кляйнером и Джоном Лоттом . [34] [35] Изложение Моргана и Тиана — единственное из трех, посвященное третьей статье Перельмана, [33] которая не имеет отношения к анализу гипотезы геометризации, но использует поток, сокращающий кривую, чтобы обеспечить более простой аргумент для частного случая. гипотезы Пуанкаре. Через восемь лет после публикации книги Моргана и Тиана Аббас Бахри указал на то, что часть изложения этой статьи ошибочна, поскольку они опирались на неправильные вычисления эволюционных уравнений. [36] Ошибка, касавшаяся деталей, отсутствующих в статье Перельмана, вскоре была исправлена Морганом и Тианом. [37]
В сотрудничестве с Наташей Шешум Тиан также опубликовал изложение работы Перельмана о потоке Риччи кэлеровых многообразий, которое Перельман не публиковал ни в какой форме. [38]
Исследовательские статьи.
Книги.