Гармоническая карта

В математической области дифференциальной геометрии гладкое отображение между римановыми многообразиями называется гармоническим , если его координатные представители удовлетворяют некоторому нелинейному уравнению в частных производных . Это уравнение в частных производных для отображения также возникает как уравнение Эйлера-Лагранжа функционала, называемого энергией Дирихле . Таким образом, теория гармонических отображений содержит как теорию геодезических с единичной скоростью в римановой геометрии, так и теорию гармонических функций .

Неформально, энергия Дирихле отображения f из риманова многообразия M в риманово многообразие N может рассматриваться как общая величина, на которую f растягивает M при размещении каждого из его элементов в точке N. Например, нерастянутая резинка и гладкий камень могут естественным образом рассматриваться как римановы многообразия. Любой способ растягивания резинки по камню можно рассматривать как отображение между этими многообразиями, а полное задействованное натяжение представлено энергией Дирихле. Гармоничность такого отображения означает, что при любом гипотетическом способе физической деформации данного растяжения натяжение (рассматриваемое как функция времени) имеет первую производную, равную нулю, когда начинается деформация.

Теория гармонических отображений была инициирована в 1964 году Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном , которые показали, что в определенных геометрических контекстах произвольные отображения могут быть деформированы в гармонические. ^[1] Их работа вдохновила Ричарда Гамильтона на его первоначальную работу о потоке Риччи . Гармонические отображения и связанное с ними гармоническое отображение теплового потока , сами по себе, являются одними из наиболее широко изучаемых тем в области геометрического анализа .

Открытие «пузырения» последовательностей гармонических отображений, сделанное Джонатаном Саксом и Карен Уленбек ^[2] , оказало особое влияние, поскольку их анализ был адаптирован ко многим другим геометрическим контекстам. В частности, параллельное открытие Уленбеком пузырьков полей Янга–Миллса играет важную роль в работе Саймона Дональдсона по четырехмерным многообразиям, а позднее открытие Михаилом Громовым пузырьков псевдоголоморфных кривых играет важную роль в приложениях к симплектической геометрии и квантовым когомологиям . Методы, использованные Ричардом Шоеном и Уленбек для изучения теории регулярности гармонических отображений, также послужили источником вдохновения для разработки многих аналитических методов в геометрическом анализе. ^[3]

Геометрия отображений между многообразиями

Здесь геометрия гладкого отображения между римановыми многообразиями рассматривается через локальные координаты и , что эквивалентно, через линейную алгебру . Такое отображение определяет как первую фундаментальную форму , так и вторую фундаментальную форму. Лапласиан (также называемый полем натяжения ) определяется через вторую фундаментальную форму, и его обращение в нуль является условием для того, чтобы отображение было гармоничным . Определения распространяются без изменений на установку псевдоримановых многообразий .

Местные координаты

Пусть U будет открытым подмножеством ℝ m и пусть V будет открытым подмножеством ℝ ⁿ . Для каждого i и j между 1 и n пусть g _ij будет гладкой вещественной функцией на U такой, что для каждого p в U матрица m × m [ g ij ₍ p ) ] симметрична и положительно определена . Для каждого α и β между 1 и m пусть h _αβ будет гладкой вещественной функцией на V такой, что для каждого q в V матрица n × n [ h αβ ₍ q ) ] симметрична и положительно определена. Обозначим обратные матрицы через [ g ^ij ( p )] и [ h ^αβ ( q )] .

Для каждого i , j , k между 1 и n и каждого α , β , γ между 1 и m определим символы Кристоффеля Γ( g ) ^k _ij  : U → ℝ и Γ( h ) ^γ _αβ  : V → ℝ по ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\end{aligned}}}$

Если задано гладкое отображение f из U в V , его вторая фундаментальная форма определяет для каждого i и j между 1 и m и для каждого α между 1 и n действительную функцию ∇( df ) ^α _ij на U по формуле ^[5]

${\displaystyle \nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.}$

Его лапласиан определяет для каждого α между 1 и n действительную функцию (∆ f ) ^α на U по формуле ^[6]

${\displaystyle (\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.}$

Формализм связок

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — римановы многообразия . Для данного гладкого отображения f из M в N можно рассматривать его дифференциал df как сечение векторного расслоения T ^* M ⊗ f ^* TN над M ; это означает, что для каждого p из M имеется линейное отображение df _p между касательными пространствами T _p M → T _f(p) N . ^[7] Вектор расслоения T ^* M ⊗ f ^* TN имеет связность , индуцированную связностями Леви-Чивиты на M и N . ^[8] Поэтому можно взять ковариантную производную ∇( df ) , которая является сечением векторного расслоения T ^* M ⊗ T ^* M ⊗ f ^* TN над M ; это означает, что для каждого p в M имеется билинейное отображение (∇( df )) _p касательных пространств T _p M × T _p M → T _f(p) N . ^[9] Это сечение известно как гессиан f .

Используя g , можно проследить гессиан f , чтобы получить лапласиан f , который является сечением расслоения f ^* TN над M ; это говорит о том, что лапласиан f назначает каждому p в M элемент касательного пространства T _{f ( p )} N . ^[10] По определению оператора следа лапласиан можно записать как

${\displaystyle (\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})}$

где e ₁ , ..., e _m — любой g _p -ортонормированный базис T _p M .

Энергия Дирихле и формулы ее изменения

С точки зрения локальных координат, как указано выше, плотность энергии отображения f является действительной функцией на U , заданной формулой ^[11]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).}$

Альтернативно, в формализме расслоения римановы метрики на M и N индуцируют метрику расслоения на T ^* M ⊗ f ^* TN , и поэтому можно определить плотность энергии как гладкую функцию ⁠1/2⁠ | df | ² на M . ^[12] Также можно рассматривать плотность энергии как заданную (половиной) g -следа первой фундаментальной формы. ^[13] Независимо от выбранной точки зрения, плотность энергии e ( f ) является функцией на M , которая является гладкой и неотрицательной. Если M ориентировано и M компактно , энергия Дирихле fопределяется как

${\displaystyle E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}}$

где dμ _g — объемная форма на M, индуцированная g . ^[14] Поскольку любая неотрицательная измеримая функция имеет хорошо определенный интеграл Лебега , нет необходимости накладывать ограничение, что M является компактным; однако тогда энергия Дирихле может быть бесконечной.

Формулы вариации для энергии Дирихле вычисляют производные энергии Дирихле E ( f ) при деформации отображения f . Для этого рассмотрим однопараметрическое семейство отображений f _s  : M → N с f ₀ = f , для которого существует предкомпактное открытое множество K из M такое, что f _s | _{M − K} = f | _{M − K} для всех s ; предполагается, что параметризованное семейство является гладким в том смысле, что связанное с ним отображение (−ε, ε) × M → N , заданное формулой ( s , p ) ↦ f _s ( p ), является гладким.

• Первая вариационная формула гласит, что ^[15]

${\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}}$

Существует также версия для многообразий с границей. ^[16]

• Существует также вторая вариационная формула. ^[17]

В силу первой вариационной формулы лапласиан функции f можно рассматривать как градиент энергии Дирихле; соответственно, гармоническое отображение является критической точкой энергии Дирихле. ^[18] Это можно сделать формально на языке глобального анализа и банаховых многообразий .

Примеры гармонических карт

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие римановы многообразия. Обозначение g _stan используется для обозначения стандартной римановой метрики на евклидовом пространстве.

• Всякое полностью геодезическое отображение ( M , g ) → ( N , h ) является гармоническим; это следует непосредственно из приведенных выше определений. Как частные случаи:
  • Для любого q из N постоянное отображение ( M , g ) → ( N , h ) со значением в q является гармоническим.
  • Тождественное отображение ( M , g ) → ( M , g ) является гармоническим.
• Если f  : M → N — погружение , то f :  ( M , f ^* h ) → ( N , h ) является гармоничным тогда и только тогда, когда f минимально относительно h . Как частный случай:
  • Если f  : ℝ → ( N , h ) — погружение с постоянной скоростью, то f  : (ℝ, g _stan ) → ( N , h ) является гармоничным тогда и только тогда, когда f решает геодезическое дифференциальное уравнение.

Напомним, что если M одномерно, то минимальность f эквивалентна тому, что f является геодезической, хотя это не означает, что это параметризация с постоянной скоростью, и, следовательно, не означает, что f решает геодезическое дифференциальное уравнение.

• Гладкое отображение f  : ( M , g ) → (ℝ ⁿ , g _stan ) является гармоничным тогда и только тогда, когда каждая из его n компонентных функций является гармоничной как отображения ( M , g ) → (ℝ, g _stan ) . Это совпадает с понятием гармоничности, предоставляемым оператором Лапласа-Бельтрами .
• Каждое голоморфное отображение между кэлеровыми многообразиями является гармоничным.
• Каждый гармонический морфизм между римановыми многообразиями является гармоническим.

Гармоническая карта теплового потока

Хорошо поставленный

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие римановы многообразия. Гармоническое отображение теплового потока на интервале ( a , b ) сопоставляет каждому t в ( a , b ) дважды дифференцируемое отображение f _t  : M → N таким образом, что для каждого p в M отображение ( a , b ) → N , заданное формулой t ↦ f _t ( p ), является дифференцируемым, а его производная при заданном значении t равна, как вектор в T _{f t ( p )} N , (∆ f _t ) _p . Обычно это сокращается до:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.}$

Иллс и Сэмпсон представили гармоническую карту теплового потока и доказали следующие фундаментальные свойства:

• Регулярность. Любое гармоническое отображение теплового потока является гладким, как отображение ( a , b ) × M → N , заданное как ( t , p ) ↦ f _t ( p ) .

Теперь предположим, что M — замкнутое многообразие, а ( N , h ) — геодезически полное.

• Существование. При заданном непрерывно дифференцируемом отображении f из M в N существует положительное число T и гармоническое отображение теплового потока f _t на интервале (0, T ) такое, что f _t сходится к f в топологии C ¹ при уменьшении t до 0. ^[19]
• Уникальность. Если { f _t  : 0 < t < T } и { f _t  : 0 < t < T } — два гармонических тепловых потока, как в теореме существования, то f _t = f _t всякий раз, когда 0 < t < min( T , T ) .

Вследствие теоремы единственности существует максимальный гармонический тепловой поток с начальными данными f , что означает, что имеется гармонический тепловой поток { f _t  : 0 < t < T }, как в формулировке теоремы существования, и он однозначно определяется при дополнительном критерии, что T принимает максимально возможное значение, которое может быть бесконечным.

Теорема Иллса и Сэмпсона

Основной результат статьи Иллса и Сэмпсона 1964 года следующий: ^[1]

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие и замкнутые римановы многообразия, и предположим, что секционная кривизна ( N , h ) неположительна. Тогда для любого непрерывно дифференцируемого отображения f из M в N максимальное гармоническое отображение теплового потока { f _t  : 0 < t < T } с начальными данными f имеет T = ∞ , и при увеличении t до ∞ отображения f _t последовательно сходятся в топологии C ^∞ к гармоническому отображению.

В частности, это показывает, что при предположениях относительно ( M , g ) и ( N , h ) каждое непрерывное отображение гомотопно гармоническому отображению. ^[1] Само существование гармонического отображения в каждом гомотопическом классе, которое неявно утверждается, является частью результата. Это доказывается построением уравнения теплопроводности и демонстрацией того, что для любого отображения в качестве начального условия существует решение, которое существует для всех времен, и решение равномерно сходится к гармоническому отображению.

Результат Иллса и Сэмпсона был адаптирован Ричардом Гамильтоном к постановке краевой задачи Дирихле , когда M вместо этого компактно с непустой границей. ^[20]

Вскоре после работы Иллса и Сэмпсона Филип Хартман расширил их методы для изучения уникальности гармонических отображений в гомотопических классах, дополнительно показав, что сходимость в теореме Иллса-Сэмпсона является сильной, без необходимости выбора подпоследовательности. ^[21] То есть, если два отображения изначально близки, расстояние между соответствующими решениями уравнения теплопроводности не увеличивается в течение всего времени, таким образом: ^[22]

• множество полностью геодезических отображений в каждом гомотопическом классе линейно связно;
• все гармонические карты минимизируют энергию и являются полностью геодезическими.

^[23] отмечает, что каждое отображение из произведения в гомотопно отображению, так что отображение является полностью геодезическим при ограничении каждым -волокном. ${\displaystyle W\times M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Сингулярности и слабые решения

В течение многих лет после работы Иллса и Сэмпсона было неясно, в какой степени предположение о секционной кривизне для ( N , h ) было необходимо. После работы Кунг-Чинг Чанга, Вэй-Юэ Дина и Руганга Йе в 1992 году широко признано, что максимальное время существования гармонического картографического теплового потока не может «обычно» быть бесконечным. ^[24] Их результаты убедительно свидетельствуют о том, что существуют гармонические картографические тепловые потоки с «конечным временным взрывом», даже когда и ( M , g ), и ( N , h ) рассматриваются как двумерная сфера с ее стандартной метрикой. Поскольку эллиптические и параболические уравнения в частных производных особенно гладкие, когда область имеет два измерения, результат Чанга-Динга-Йе считается указывающим на общий характер потока.

Смоделированный на основе фундаментальных работ Сакса и Уленбека, Михаэль Струве рассмотрел случай, когда не делается никаких геометрических предположений относительно ( N , h ) . В случае, когда M двумерно, он установил безусловное существование и единственность слабых решений гармонического отображения теплового потока. ^[25] Более того, он обнаружил, что его слабые решения являются гладкими вдали от конечного числа точек пространства-времени, в которых концентрируется плотность энергии. На микроскопических уровнях поток вблизи этих точек моделируется пузырем , т. е. гладким гармоническим отображением из круглой 2-сферы в цель. Вэйюэ Дин и Ган Тянь смогли доказать квантование энергии в сингулярные времена, что означает, что энергия Дирихле слабого решения Струве в сингулярный момент времени падает точно на сумму полных энергий Дирихле пузырьков, соответствующих сингулярностям в это время. ^[26]

Позднее Струве удалось адаптировать свои методы к более высоким размерностям, в случае, когда многообразие области является евклидовым пространством ; ^{[27] он и Юнь Мэй Чэнь также рассматривали} замкнутые многообразия более высоких размерностей . ^[28] Их результаты были ниже, чем в низких размерностях, и они смогли доказать существование слабых решений, которые являются гладкими на открытых плотных подмножествах.

Формула Бохнера и жесткость

Основной вычислительной точкой в ​​доказательстве теоремы Иллса и Сэмпсона является адаптация формулы Бохнера к заданию гармонического отображения теплового потока { f _t  : 0 < t < T } . Эта формула гласит ^[29]

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

Это также представляет интерес при анализе гармонических карт. Предположим, что f  : M → N является гармонической; любую гармоническую карту можно рассматривать как постоянное по t решение теплового потока гармонической карты, и поэтому из приведенной выше формулы следует, что ^[30]

${\displaystyle \Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

Если кривизна Риччи g положительна, а секционная кривизна h неположительна, то это означает, что ∆ e ( f ) неотрицательна. Если M замкнуто, то умножение на e ( f ) и однократное интегрирование по частям показывают, что e ( f ) должно быть постоянным, и, следовательно, равным нулю; следовательно, f само должно быть постоянным. ^[31] Ричард Шоен и Шинг-Тунг Яу отметили, что это рассуждение можно распространить на некомпактное M , используя теорему Яу, утверждающую, что неотрицательные субгармонические функции , которые ограничены L 2 , должны быть постоянными. ^[32] Подводя итог, согласно этим результатам, можно сказать:

Пусть ( M , g ) и ( N , h ) — гладкие и полные римановы многообразия, а f — гармоническое отображение из M в N. Предположим, что кривизна Риччи g положительна, а секционная кривизна h неположительна.

• Если M и N оба замкнуты, то f должна быть постоянной.
• Если N замкнуто и f имеет конечную энергию Дирихле, то она должна быть постоянной.

В сочетании с теоремой Иллса-Сэмпсона это показывает (например), что если ( M , g ) — замкнутое риманово многообразие с положительной кривизной Риччи, а ( N , h ) — замкнутое риманово многообразие с неположительной секционной кривизной, то каждое непрерывное отображение из M в N гомотопно константе.

Общая идея деформации общего отображения в гармоническое отображение, а затем демонстрация того, что любое такое гармоническое отображение должно автоматически принадлежать к весьма ограниченному классу, нашла множество приложений. Например, Юм-Тонг Сиу нашел важную комплексно-аналитическую версию формулы Бохнера, утверждающую, что гармоническое отображение между кэлеровыми многообразиями должно быть голоморфным, при условии, что целевое многообразие имеет соответственно отрицательную кривизну. ^[33] В качестве приложения, используя теорему существования Иллса-Сэмпсона для гармонических отображений, он смог показать, что если ( M , g ) и ( N , h ) являются гладкими и замкнутыми кэлеровыми многообразиями, и если кривизна ( N , h ) соответственно отрицательна, то M и N должны быть биголоморфными или антибиголоморфными, если они гомотопны друг другу; биголоморфизм (или антибиголоморфизм) — это именно гармоническое отображение, полученное как предел гармонического отображения теплового потока с начальными данными, заданными гомотопией. С помощью альтернативной формулировки того же подхода Сиу удалось доказать вариант все еще нерешенной гипотезы Ходжа , хотя и в ограниченном контексте отрицательной кривизны.

Кевин Корлетт нашел существенное расширение формулы Бохнера Сиу и использовал ее для доказательства новых теорем жесткости для решеток в определенных группах Ли . ^[34] После этого Михаил Громов и Ричард Шен расширили большую часть теории гармонических отображений, чтобы позволить заменить ( N , h ) метрическим пространством . ^[35] Путем расширения теоремы Иллса-Сэмпсона вместе с расширением формулы Бохнера Сиу-Корлетта они смогли доказать новые теоремы жесткости для решеток.

Проблемы и приложения

• Результаты существования гармонических отображений между многообразиями имеют последствия для их кривизны .
• Как можно явно построить гармоническую карту, если существование известно? (Один плодотворный метод использует теорию твисторов .)
• В теоретической физике квантовая теория поля , действие которой задается энергией Дирихле, известна как сигма-модель . В такой теории гармонические отображения соответствуют инстантонам .
• Одной из первоначальных идей в методах генерации сеток для вычислительной гидродинамики и вычислительной физики было использование либо конформного, либо гармонического отображения для генерации регулярных сеток.

Отображение между римановыми многообразиями является вполне геодезическим, если всякий раз, когда является геодезическим, композиция является геодезическим. ${\displaystyle u:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle \gamma :(a,b)\rightarrow M}$ ${\displaystyle u\circ \gamma }$

Гармонические отображения между метрическими пространствами

Интеграл энергии можно сформулировать в более слабой постановке для функций u  : M → N между двумя метрическими пространствами . Интеграл энергии вместо этого является функцией вида

${\displaystyle e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}}$

в котором μ^ε
_хпредставляет собой семейство мер, прикрепленных к каждой точке M. ^[36]

Смотрите также

• Геометрический поток

Ссылки

Сноски

1. Eells & Sampson 1964, Раздел 11A.
2. Сакс и Уленбек 1981.
3. Шен и Уленбек 1982; Шен и Уленбек 1983.
4. Aubin 1998, стр. 6; Hélein 2002, стр. 6; Jost 2017, стр. 489; Lin & Wang 2008, стр. 2.
5. Обин 1998, стр. 349; Иллс и Лемэр 1978, стр. 9; Иллс и Лемэр 1983, стр. 15; Гамильтон 1975, стр. 4.
6. Aubin 1998, Определение 10.2; Eells & Lemaire 1978, стр.9; Eells & Lemaire 1983, стр.15; Eells & Sampson 1964, Раздел 2B; Hamilton 1975, стр.4; Lin & Wang 2008, стр.3.
7. Иллс и Лемэр 1978, стр. 8; Иллс и Лемэр 1983, стр. 13; Гамильтон 1975, стр. 3.
8. Иллс и Лемэр 1983, стр.4.
9. Иллс и Лемэр 1978, стр. 8; Иллс и Сэмпсон 1964, раздел 3B; Гамильтон 1975, стр. 4.
10. Иллс и Лемэр 1978, стр. 9; Гамильтон 1975, стр. 4; Джост 2017, стр. 494.
11. Обин 1998, Определение 10.1; Илс и Лемэр, 1978, стр. 10; Иллс и Лемэр, 1983, стр. 13; Хелейн, 2002 г., стр. 7; Йост 2017, стр. 489; Линь и Ван, 2008 г., стр. 1; Шен и Яу, 1997, стр.1.
12. Иллс и Лемэр 1978, стр. 10; Иллс и Лемэр 1983, стр. 13; Йост 2017, стр. 490-491.
13. Aubin 1998, Определение 10.1; Eells & Lemaire 1978, стр.10; Eells & Lemaire 1983, стр.13; Eells & Sampson 1964, Раздел 1A; Jost 2017, стр.490-491; Schoen & Yau 1997, стр.1.
14. Aubin 1998, Определение 10.1; Eells & Lemaire 1978, стр.10; Eells & Lemaire 1983, стр.13; Eells & Sampson 1964, Раздел 1A; Hélein 2002, стр.7; Jost 2017, стр.491; Lin & Wang 2008, стр.1; Schoen & Yau 1997, стр.2.
15. Aubin 1998, Предложение 10.2; Eells & Lemaire 1978, стр.11; Eells & Lemaire 1983, стр.14; Eells & Sampson 1964, Раздел 2B; Jost 2017, Формула 9.1.13.
16. Гамильтон 1975, стр.135.
17. Иллс и Лемэр 1978, стр. 10; Иллс и Лемэр 1983, стр. 28; Лин и Ванг 2008, Предложение 1.6.2.
18. Обин 1998, Определение 10.3; Иллс и Лемэр 1978, стр.11; Иллс и Лемэр 1983, стр.14.
19. Это означает, что относительно любых локальных координатных карт имеет место равномерная сходимость на компактных множествах функций и их первых частных производных.
20. Гамильтон 1975, стр.157-161.
21. Хартман 1967, Теорема B.
22. Диббл, Джеймс (июнь 2019 г.). «Полностью геодезические отображения в многообразия без фокальных точек». Бюллетень Лондонского математического общества . 51 (3): 443–458. arXiv : 1807.08236 . doi : 10.1112/blms.12241. ISSN  0024-6093.
23. Cao, Jianguo; Cheeger, Jeff; Rong, Xiaochun (январь 2004 г.). «Локальные структуры расщепления на неположительно искривленных многообразиях и полужесткость в размерности 3». Communications in Analysis and Geometry . 12 (1): 389–415. doi :10.4310/CAG.2004.v12.n1.a17. ISSN  1944-9992.
24. Чанг, Дин и Йе 1992; Линь и Ван 2008, раздел 6.3.
25. Струве 1985.
26. Дин и Тянь 1995.
27. Струве 1988.
28. Чен и Струве 1989.
29. Иллс и Сэмпсон 1964, раздел 8A; Гамильтон 1975, стр. 128-130; Лин и Ван 2008, лемма 5.3.3.
30. Aubin 1998, Лемма 10.11; Eells & Sampson 1964, Раздел 3C; Jost 1997, Формула 5.1.18; Jost 2017, Формула 9.2.13; Lin & Wang 2008, Теорема 1.5.1.
31. Aubin 1998, Следствие 10.12; Eells & Sampson 1964, Раздел 3C; Jost 1997, Теорема 5.1.2; Jost 2017, Следствие 9.2.3; Lin & Wang 2008, Предложение 1.5.2.
32. Шоен и Яу 1976, стр. 336-337.
33. Сиу 1980.
34. Корлетт 1992.
35. Громов и Шён 1992.
36. Йост 1994, Определение 1.1.

Статьи

• Чан, Кун-Чин; Дин, Вэй Юэ; Йе, Руган (1992). «Конечновременное разрушение теплового потока гармонических отображений с поверхностей». Журнал дифференциальной геометрии . 36 (2): 507–515. doi : 10.4310/jdg/1214448751 . MR  1180392. Zbl  0765.53026.
• Чен, Юн Мэй; Струве, Майкл (1989). «Результаты существования и частичной регулярности теплового потока для гармонических карт». Mathematische Zeitschrift . 201 (1): 83–103. дои : 10.1007/BF01161997. МР  0990191. S2CID  11210055. Збл  0652.58024.
• Корлетт, Кевин (1992). «Архимедова сверхжесткость и гиперболическая геометрия». Annals of Mathematics . Вторая серия. 135 (1): 165–182. doi :10.2307/2946567. JSTOR  2946567. MR  1147961. Zbl  0768.53025.
• Дин, Вэйюэ; Тянь, Ган (1995). «Энергетическая идентичность для класса приближенных гармонических отображений с поверхностей». Communications in Analysis and Geometry . 3 (3–4): 543–554. doi : 10.4310/CAG.1995.v3.n4.a1 . MR  1371209. Zbl  0855.58016.
• Иллс, Джеймс младший ; Сэмпсон, Дж. Х. (1964). «Гармонические отображения римановых многообразий». American Journal of Mathematics . 86 (1): 109–160. doi :10.2307/2373037. JSTOR  2373037. MR  0164306. Zbl  0122.40102.
• Громов, Михаил ; Шон, Ричард (1992). «Гармонические отображения в сингулярные пространства и p-адическая сверхжесткость решеток в группах ранга один». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 76 : 165–246. дои : 10.1007/bf02699433. MR  1215595. S2CID  118023776. Збл  0896.58024.
• Хартман, Филип (1967). «О гомотопических гармонических отображениях». Канадский журнал математики . 19 : 673–687. doi : 10.4153/cjm-1967-062-6 . MR  0214004. S2CID  13381249. Zbl  0148.42404.
• Йост, Юрген (1994). «Равновесные отображения между метрическими пространствами». Вариационное исчисление и уравнения с частными производными . 2 (2): 173–204. doi :10.1007/BF01191341. MR  1385525. S2CID  122184265. Zbl  0798.58021.
• Сакс, Дж.; Уленбек, К. (1981). «Существование минимальных погружений 2-сфер». Annals of Mathematics . Вторая серия. 113 (1): 1–24. doi :10.2307/1971131. JSTOR  1971131. MR  0604040. Zbl  0462.58014.
• Шен, Ричард ; Уленбек, Карен (1982). «Теория регулярности для гармонических отображений». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 307–335. doi : 10.4310/jdg/1214436923 . MR  0664498. Zbl  0521.58021. (Ошибка:  doi : 10.4310/jdg/1214437667)
• Шен, Ричард ; Уленбек, Карен (1983). «Граничная регулярность и задача Дирихле для гармонических отображений». Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2): 253–268. doi : 10.4310/jdg/1214437663 . MR  0710054. Zbl  0547.58020.
• Шен, Ричард ; Яу, Шинг Тунг (1976). «Гармонические отображения и топология устойчивых гиперповерхностей и многообразий с неотрицательной кривизной Риччи». Commentarii Mathematici Helvetici . 51 (3): 333–341. doi :10.1007/BF02568161. MR  0438388. S2CID  120845708. Zbl  0361.53040.
• Сиу, Юм Тонг (1980). «Комплексная аналитичность гармонических отображений и сильная жесткость компактных кэлеровых многообразий». Annals of Mathematics . Вторая серия. 112 (1): 73–111. doi :10.2307/1971321. JSTOR  1971321. MR  0584075. Zbl  0517.53058.
• Струве, Майкл (1985). «Об эволюции гармонических отображений римановых поверхностей». Комментарии по математике Helvetici . 60 (4): 558–581. дои : 10.1007/BF02567432. MR  0826871. S2CID  122295509. Збл  0595.58013.
• Struwe, Michael (1988). «Об эволюции гармонических отображений в высших измерениях». Журнал дифференциальной геометрии . 28 (3): 485–502. doi : 10.4310/jdg/1214442475 . MR  0965226. Zbl  0631.58004.

Книги и обзоры

• Обен, Тьерри (1998). Некоторые нелинейные проблемы римановой геометрии . Springer Monographs in Mathematics. Берлин: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. MR  1636569. Zbl  0896.53003.
• Иллс, Джеймс ; Лемэр, Люк (1983). Избранные темы в гармонических картах . Серия региональных конференций CBMS по математике. Том 50. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . doi : 10.1090/cbms/050. ISBN 0-8218-0700-5. MR  0703510. Zbl  0515.58011.
• Иллс, Джеймс ; Лемэр, Люк (1995). Два отчета о гармонических картах . River Edge, NJ: World Scientific . doi : 10.1142/9789812832030. ISBN 981-02-1466-9. MR  1363513. Zbl  0836.58012.Состоит из переизданий:
  • Иллс, Дж.; Лемэр, Л. (1978). «Отчет о гармонических отображениях». Бюллетень Лондонского математического общества . 10 (1): 1–68. doi :10.1112/blms/10.1.1. MR  0495450. Zbl  0401.58003.
  • Иллс, Дж.; Лемэр, Л. (1988). «Еще один отчет о гармонических отображениях». Бюллетень Лондонского математического общества . 20 (5): 385–524. doi :10.1112/blms/20.5.385. MR  0956352. Zbl  0669.58009.
• Джаквинта, Мариано ; Мартинацци, Лука (2012). Введение в теорию регулярности эллиптических систем, гармонических отображений и минимальных графов . Аппунти. Scuola Normale Superiore di Pisa (Новая серия). Том. 11 (Второе издание оригинальной редакции 2005 г.). Пиза: Edizioni della Normale. дои : 10.1007/978-88-7642-443-4. ISBN 978-88-7642-442-7. MR  3099262. Zbl  1262.35001.
• Гамильтон, Ричард С. (1975). Гармонические отображения многообразий с границей . Конспект лекций по математике . Том 471. Берлин–Нью-Йорк: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0087227. ISBN 978-3-540-07185-3. MR  0482822. Zbl  0308.35003.
• Hélein, Frédéric (2002). Гармонические отображения, законы сохранения и подвижные системы отсчета. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 150. С предисловием Джеймса Иллса (Второе издание оригинальной редакции 1997 года). Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511543036. ISBN 0-521-81160-0. Збл  1010.58010.
• Йост, Юрген (1997). Неположительная кривизна: геометрические и аналитические аспекты . Лекции по математике ETH Zürich. Базель: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-0348-8918-6. ISBN 3-7643-5736-3. MR  1451625. Zbl  0896.53002.
• Йост, Юрген (2017). Риманова геометрия и геометрический анализ . Universitext (Седьмое издание оригинального издания 1995 года). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3. MR  3726907. Zbl  1380.53001.
• Линь, Фанхуа ; Ван, Чанъю (2008). Анализ гармонических карт и их тепловых потоков . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific . doi :10.1142/9789812779533. ISBN 978-981-277-952-6. MR  2431658. Zbl  1203.58004.
• Шен, Р.; Яу , СТ (1997). Лекции по гармоническим отображениям . Труды конференций и заметки лекций по геометрии и топологии. Том 2. Кембридж, Массачусетс: International Press. ISBN 1-57146-002-0. MR  1474501. Zbl  0886.53004.
• Simon, Leon (1996). Теоремы о регулярности и сингулярности отображений, минимизирующих энергию . Лекции по математике ETH Zürich. Основано на записях лекций Норберта Хунгербюлера. Базель: Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-0348-9193-6. ISBN 3-7643-5397-X. MR  1399562. Zbl  0864.58015.
• Яу, Шинг Тунг (1982). «Обзор дифференциальных уравнений с частными производными в дифференциальной геометрии». В Яу, Шинг-Тунг (ред.). Семинар по дифференциальной геометрии . Анналы математических исследований. Том 102. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. 3–71. doi :10.1515/9781400881918-002. ISBN 9781400881918. MR  0645729. Zbl  0478.53001.

Внешние ссылки

• MathWorld: Гармоническая карта
• Библиография гармонических карт
• Библиография гармонических морфизмов