stringtranslate.com

Ричард Шон

Ричард Мелвин Шон (родился 23 октября 1950 г.) — американский математик, известный своими работами в области дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Он наиболее известен решением проблемы Ямабе в 1984 году.

ранняя жизнь и образование

Шон родился в Селине, штат Огайо , 23 октября 1950 года. В 1968 году он окончил среднюю школу Форт-Рекавери. Он получил степень бакалавра математики в Дейтонском университете . Затем он получил докторскую степень в 1977 году в Стэнфордском университете .

Карьера

После преподавательских должностей в Институте Куранта Нью-Йоркского университета , Калифорнийском университете в Беркли и Калифорнийском университете в Сан-Диего он был профессором Стэнфордского университета с 1987 по 2014 год, а с 1992 года — бас-профессором гуманитарных и естественных наук . в настоящее время заслуженный профессор и отличник кафедры преподавания Калифорнийского университета в Ирвайне . [17] Его фамилия произносится как «Шейн».

Шон получил исследовательскую стипендию NSF в 1972 году и исследовательскую стипендию Слоана в 1979 году. [1] Шон - стипендиат Макартура 1983 года . [2] Его трижды приглашали выступить на Международном конгрессе математиков (ICM) , в том числе дважды в качестве пленарного докладчика . [18] В 1983 году он был приглашенным докладчиком на ICM в Варшаве , в 1986 году он был пленарным докладчиком на ICM в Беркли , а в 2010 году он был пленарным спикером на ICM в Хайдарабаде . За работу над проблемой Ямабе Шон был удостоен Мемориальной премии Бошера в 1989 году. [4]

В 1988 году он был избран членом Американской академии искусств и наук и Национальной академии наук в 1991 году, стал членом Американской ассоциации содействия развитию науки в 1995 году и выиграл стипендию Гуггенхайма в 1996 году . 5] [6] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . [7] Он получил Премию декана Стэнфордского университета в 2014–2015 годах за выдающиеся достижения в области преподавания. [8] В 2015 году он был избран вице-президентом Американского математического общества . [19] Он был удостоен звания почетного доктора наук Уорикского университета в 2015 году. [20] Он получил премию Вольфа по математике за 2017 год, которую разделил с Чарльзом Фефферманом . [21] В том же году он был награжден премией Хайнца Хопфа , медалью и премией Лобачевского Казанского федерального университета , а также премией Рольфа Шока . [22] [23] [24]

У него было более 44 докторантов, в том числе Юбер Брей , Хосе Ф. Эскобар , Айлана Фрейзер , Чикако Мезе , Уильям Миникоцци и Андре Невес . [25]

Шен исследовал использование аналитических методов в глобальной дифференциальной геометрии , внес ряд фундаментальных вкладов в теорию регулярности минимальных поверхностей и гармонических отображений.

Гармонические карты

В 1976 году Шон и Шинг-Тунг Яу использовали более ранние теоремы Лиувилля Яу, чтобы распространить явления жесткости, обнаруженные ранее Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, на некомпактные условия. [26] [27] Выявив определенное взаимодействие тождества Бохнера для гармонических карт вместе со вторым вариантом формулы площади для минимальных гиперповерхностей, они также определили некоторые новые условия в области, ведущие к тому же выводу. Эти теоремы о жесткости дополняются теоремой их существования для гармонических отображений в некомпактных областях как простое следствие решения Ричардом Гамильтоном краевой задачи Дирихле. [28] Как следствие, они получили некоторые поразительные геометрические результаты, например, что некоторые некомпактные многообразия не допускают каких-либо полных метрик неотрицательной кривизны Риччи.

В двух статьях 1980-х годов Шен и Карен Уленбек внесли основополагающий вклад в теорию регулярности гармонических карт, минимизирующих энергию . Разработанные ими методы, широко использующие формулы монотонности, оказали большое влияние на область геометрического анализа и были адаптированы для решения ряда других задач. Их фундаментальные выводы включают теоремы о компактности множеств гармонических отображений и контроле над размером соответствующих сингулярных множеств. Леон Саймон применил такие результаты, чтобы получить четкое представление о мелкомасштабной геометрии гармонических карт, минимизирующих энергию. [29]

Позже Михаил Громов понял, что расширение теории гармонических отображений, допускающее значения в метрических пространствах , а не в римановых многообразиях , будет иметь ряд важных приложений, а аналоги классической теоремы Иллса-Сэмпсона о жесткости дадут новые теоремы о жесткости. для решеток . Подробные аналитические детали такой теории были разработаны Шоном. Дальнейшие основы этого нового контекста гармонических карт были заложены Шоном и Николасом Коревааром.

Минимальные поверхности, положительная скалярная кривизна и теорема о положительной массе

В 1979 году Шен и его бывший научный руководитель Шинг-Тунг Яу внесли ряд весьма влиятельных вкладов в изучение положительной скалярной кривизны . С помощью элементарной, но новой комбинации уравнения Гаусса , формулы второй вариации площади и теоремы Гаусса-Бонне Шен и Яу смогли исключить существование нескольких типов стабильных минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях положительных скалярная кривизна. Сопоставляя этот результат с их аналитически глубокой теоремой, устанавливающей существование таких поверхностей, они смогли добиться ограничений, при которых многообразия могут допускать метрику положительной скалярной кривизны. Позже Шон и Дорис Фишер-Колбри предприняли более широкое исследование стабильных минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях, используя вместо этого анализ оператора устойчивости и его спектральных свойств.

Индуктивный аргумент, основанный на существовании стабильных минимальных гиперповерхностей, позволил им распространить свои результаты на более высокие измерения. Дальнейшие аналитические методы облегчили применение топологических операций на многообразиях, допускающих метрики положительной скалярной кривизны, показав, что класс таких многообразий топологически богат. Михаил Громов и Х. Блейн Лоусон получили аналогичные результаты другими методами, также предприняв более глубокий анализ топологических последствий. [30] [31]

Распространив свои методы на некомпактные многообразия, Шон и Яу смогли решить важный римановский случай теоремы о положительной массе в общей теории относительности , которую можно рассматривать как утверждение о геометрическом поведении вблизи бесконечности некомпактных многообразий с положительной скалярной кривизной. . Как и их первоначальные результаты, этот аргумент основан на противоречии. Более конструктивный аргумент, использующий теорию гармонических спиноров вместо минимальных гиперповерхностей, был позже найден Эдвардом Виттеном . [32] [33] [34]

Шон, Яу и Леон Саймон определили простую комбинацию формулы Саймонса с формулой для второй вариации площади, которая дает важные оценки кривизны для стабильных минимальных гиперповерхностей малых размеров. В 1983 году Шон получил аналогичные оценки в частном случае двумерных поверхностей, используя существование изотермических координат . Несколько более слабые оценки были получены Шоном и Саймоном, хотя и без каких-либо ограничений на размерность. Фундаментальные следствия оценок Шёна-Саймона включают теоремы о компактности для стабильных минимальных гиперповерхностей, а также контроль над размером «сингулярных множеств». В частности, оценки Шона-Саймона являются важным инструментом в мин-макс-теории Альмгрена-Питтса , которая нашла ряд приложений.

Возможное наличие сингулярных множеств ограничивает размерности, в которых можно легко провести индуктивные аргументы Шона и Яу. Между тем существенное использование Виттеном спиноров ограничивает его результаты топологически частными случаями. Таким образом, общий случай теоремы о положительной массе в более высоких измерениях остался основной открытой проблемой в работе Шена и Яу 1979 года. В 1988 году они решили проблему в произвольной размерности в особом случае, когда тензор Вейля равен нулю; это имело важное значение в конформной геометрии. В 2017 году они выпустили препринт, в котором рассматривается общий случай, в котором они имеют дело непосредственно с сингулярными множествами минимальных гиперповерхностей.

Проблема Ямабе и конформная геометрия

В 1960 году Хидехико Ямабе представил «функционал Ямабе» для конформного класса римановых метрик и продемонстрировал, что критическая точка будет иметь постоянную скалярную кривизну . [35] Он добился частичного прогресса в доказательстве того, что критические точки должны существовать, что было развито Нилом Трудингером и Тьерри Обеном . [36] [37] Работа Обена, в частности, урегулировала случаи большой размерности или когда существует точка, где тензор Вейля не равен нулю. В 1984 году Шон урегулировал случаи, оставшиеся открытыми благодаря работе Обена, решающим моментом которой стало изменение масштаба метрики с помощью функции Грина оператора Лапласа -Бельтрами . Это позволило применить теорему Шена и Яу о положительной массе к полученной метрике, дав важную асимптотическую информацию об исходной метрике. Работы Ямабе, Трудингера, Обина и Шена вместе составляют решение проблемы Ямабе , которая утверждает, что в каждом конформном классе существует метрика постоянной скалярной кривизны.

В 1989 году Шен также смог адаптировать анализ пузырьков Карен Уленбек , разработанный для других геометрическо-аналитических задач, к условиям постоянной скалярной кривизны. [38] [39] Единственность критических точек функционала Ямабе и, в более общем плане, компактность множества всех критических точек — это тонкий вопрос, впервые исследованный Шоном в 1991 году. Более полные результаты были позже получены Саймоном Брендлом и Маркусом. Хури, Фернандо Кода Маркес и Шон.

Теорема о дифференцируемой сфере

В 1980-х годах Ричард Гамильтон представил поток Риччи и доказал ряд результатов о сходимости, особенно для двумерных и трехмерных пространств. [40] [41] Хотя он и другие нашли частичные результаты в больших размерностях, прогресс был заблокирован трудностью понимания сложного тензора кривизны Римана . [42] Саймон Брендл и Шон смогли доказать, что положительность «изотропной кривизны» Марио Микаллефа и Джона Мура сохраняется потоком Риччи в любом измерении, факт, независимо доказанный Хай Нгуеном. [43] [44] Брендл и Шон также смогли связать свое условие положительности с положительностью секционной кривизны и оператора кривизны , что позволило им использовать недавние на тот момент алгебраические идеи Кристофа Бема и Буркхарда Вилкинга, тем самым получив новую сходимость теорема для потока Риччи. [45] Особым случаем их теоремы о сходимости является простая теорема о дифференцируемой сфере , которая была хорошо известной гипотезой при изучении положительной секционной кривизны в течение последних пятидесяти лет.

Избранные публикации

Учебники

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ ab «База данных стипендиатов | Фонд Альфреда П. Слоана» . Слоан.орг .
  2. ^ ab "Ричард М. Шон". www.macfound.org .
  3. ^ ab "Ричард Мелвин Шон". Американская академия искусств и наук .
  4. ^ ab «Обзор призов и наград». Американское математическое общество .
  5. ^ ab "Ричард М. Шон". www.nasonline.org .
  6. ^ ab "Ричард М. Шон". Мемориальный фонд Джона Саймона Гуггенхайма .
  7. ^ ab Список членов Американского математического общества, получено 14 июля 2013 г.
  8. ^ ab «Награды декана H&S за преподавание | Стэнфордские гуманитарные науки и науки» . humsci.stanford.edu .
  9. ^ «Уорик в честь лауреатов Нобелевской премии, ведущего кинорежиссера, журналиста, глав CBI и TUC, индонезийского писателя, гуру путешествий и руководителя Британской библиотеки» . Warwick.ac.uk .
  10. ^ «Список всех почетных выпускников и медалистов канцлера» . Warwick.ac.uk .
  11. ^ "Ричард Шон". 12 декабря 2018 г.
  12. ^ "Премия Хайнца Хопфа и лекции" . math.ethz.ch.​
  13. ^ «Ричард Шен объявлен лауреатом медали и премии Лобачевского 2017 года» .
  14. ^ "Рольф Шокпризен". Кунгл. Ветенскапсакадемия .
  15. ^ "Ричард Мелвин Шон". Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 6 января 2017 г.
  16. ^ "Профиль Ричарда Шона | Стэнфордские профили" . Profiles.stanford.edu .
  17. ^ "Ричард Шон | Математика UCI" . www.math.uci.edu .
  18. ^ «Пленарное заседание ICM и приглашенные докладчики | Международный математический союз (IMU)» . www.mathunion.org .
  19. ^ "Комитеты AMS". Американское математическое общество .
  20. ^ «Почетный выпускник и речи - лето 2015 г.» . warwick.ac.uk .
  21. ^ «Фонд Вольфа - «Ричард Шон, лауреат премии Вольфа по математике - 2017»» .
  22. ^ "Лауреат 2017". math.ethz.ch.​
  23. ^ "Объявлено имя лауреата медали Н.И. Лобачевского и премии - Медали Н.И. Лобачевского". Медаль им. Н.И. Лобачевского . 23 октября 1950 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
  24. ^ "Цитата на премию Рольфа Шока для Ричарда Шона" .
  25. ^ "Ричард Шон - Проект математической генеалогии" . www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu . Проверено 12 марта 2019 г.
  26. ^ Яу, Шинг Тунг. Некоторые теоретико-функциональные свойства полного риманова многообразия и их приложения к геометрии. Университет Индианы. Математика. Дж. 25 (1976), вып. 7, 659–670.
  27. ^ Иллс, Джеймс-младший; Сэмпсон, Дж. Х. Гармонические отображения римановых многообразий. амер. Дж. Математика. 86 (1964), 109–160.
  28. ^ Гамильтон, Ричард С. Гармонические карты многообразий с краем. Конспекты лекций по математике, Vol. 471. Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1975. i+168 стр.
  29. ^ Саймон, Леон. Асимптотика одного класса нелинейных эволюционных уравнений с приложениями к геометрическим задачам. Анна. математики. (2) 118 (1983), вып. 3, 525–571.
  30. ^ Громов, Михаил; Лоусон, Х. Блейн-младший. Классификация односвязных многообразий положительной скалярной кривизны. Анна. математики. (2) 111 (1980), вып. 3, 423–434.
  31. ^ Громов, Михаил; Лоусон, Х. Блейн-младший. Положительная скалярная кривизна и оператор Дирака на полных римановых многообразиях. Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. № 58 (1983), 83–196.
  32. ^ Виттен, Эдвард Новое доказательство теоремы о положительной энергии. Комм. Математика. Физ. 80 (1981), вып. 3, 381–402.
  33. ^ Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. Проблема Ямабе. Бык. амер. Математика. Соц. (НС) 17 (1987), вып. 1, 37–91.
  34. ^ Бартник, Роберт. Масса асимптотически плоского многообразия. Комм. Чистое приложение. Математика. 39 (1986), вып. 5, 661–693.
  35. ^ Ямабе, Хидехико. О деформации римановых структур на компактных многообразиях. Осака Математика. Дж. 12 (1960), 21–37.
  36. ^ Трудингер, Нил С. Замечания относительно конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях. Анна. Скуола Норм. Как дела. Пиза Кл. наук. (3) 22 (1968), 265–274.
  37. ^ Обен, Тьерри. Нелинейные дифференциальные уравнения и проблемы Ямабе, касающиеся скалярного курса. Дж. Математика. Приложение Pures. (9) 55 (1976), вып. 3, 269–296.
  38. ^ Сакс, Дж.; Уленбек, К. Существование минимальных погружений 2-сфер. Анна. математики. (2) 113 (1981), вып. 1, 1–24.
  39. ^ Уленбек, Карен К. Связи с ограничениями кривизны Lp. Комм. Математика. Физ. 83 (1982), вып. 1, 31–42.
  40. ^ Гамильтон, Ричард С. Трехмногообразия с положительной кривизной Риччи. Дж. Дифференциальная геометрия 17 (1982), вып. 2, 255–306.
  41. ^ Гамильтон, Ричард С. Поток Риччи на поверхностях. Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986), 237–262, Contemp. матем., 71, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1988.
  42. ^ Гамильтон, Ричард С. Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны. Дж. Дифференциальная геометрия. 24 (1986), вып. 2, 153–179.
  43. ^ Микаллеф, Марио Дж.; Мур, Джон Дуглас. Минимальные две сферы и топология многообразий положительной кривизны на вполне изотропных двух плоскостях. Анна. математики. (2) 127 (1988), вып. 1, 199–227.
  44. ^ Нгуен, Хай Т. Изотропная кривизна и поток Риччи. Межд. Математика. Рез. Нет. ИМСР 2010, вып. 3, 536–558.
  45. ^ Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард. Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами. Анна. математики. (2) 167 (2008), вып. 3, 1079–1097.

Внешние ссылки