К-стабильность

В математике , и особенно в дифференциальной и алгебраической геометрии , K-устойчивость является алгебро-геометрическим условием устойчивости для комплексных многообразий и комплексных алгебраических многообразий . Понятие K-устойчивости было впервые введено Ган Тянем ^[1] и позже переформулировано более алгебраически Саймоном Дональдсоном . ^[2] Определение было вдохновлено сравнением со устойчивостью геометрической теории инвариантов (GIT). В частном случае многообразий Фано K-устойчивость точно характеризует существование метрик Кэлера–Эйнштейна . В более общем смысле, на любом компактном комплексном многообразии K-устойчивость, как предполагается, эквивалентна существованию метрик Кэлера постоянной скалярной кривизны ( метрики cscK ).

История

В 1954 году Эудженио Калаби сформулировал гипотезу о существовании метрик Кэлера на компактных кэлеровых многообразиях , теперь известную как гипотеза Калаби . ^[3] Одна из формулировок гипотезы состоит в том, что компактное кэлерово многообразие допускает единственную метрику Кэлера–Эйнштейна в классе . В частном случае, когда , такая метрика Кэлера–Эйнштейна была бы плоской по Риччи , что делало бы многообразие многообразием Калаби–Яу . Гипотеза Калаби была решена в случае, когда Тьерри Обеном и Шинг-Тунгом Яу , и когда Яу. ^{[4] [5] [6]} В случае, когда , то есть когда является многообразием Фано , метрика Кэлера–Эйнштейна не всегда существует. А именно, из работ Ёдзо Мацусимы и Андре Лихнеровича было известно , что кэлерово многообразие с может допускать метрику Кэлера–Эйнштейна только в том случае, если алгебра Ли является редуктивной . ^{[7] [8]} Однако можно легко показать, что раздутие комплексной проективной плоскости в одной точке является алгеброй Фано, но не имеет редуктивной алгебры Ли. Таким образом, не все многообразия Фано могут допускать метрику Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ ${\displaystyle {\text{Bl}}_{p}\mathbb {CP} ^{2}}$

После разрешения гипотезы Калаби внимание переключилось на слабо связанную с ней проблему поиска канонических метрик на векторных расслоениях над комплексными многообразиями. В 1983 году Дональдсон представил новое доказательство теоремы Нарасимхана–Сешадри . ^[9] Как доказал Дональдсон, теорема утверждает, что голоморфное векторное расслоение над компактной римановой поверхностью устойчиво тогда и только тогда, когда оно соответствует неприводимой унитарной связности Янга–Миллса . То есть, унитарная связность, которая является критической точкой функционала Янга–Миллса ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (\nabla )=\int _{X}\|F_{\nabla }\|^{2}\,d\operatorname {vol} .}$

На римановой поверхности такая связность является проективно плоской, и ее голономия порождает проективное унитарное представление фундаментальной группы римановой поверхности, тем самым восстанавливая исходное утверждение теоремы М. С. Нарасимхана и Ч. С. Сешадри . ^[10] В 1980-х годах эта теорема была обобщена благодаря работе Дональдсона, Карен Уленбек и Яу, а также Джуна Ли и Яу до соответствия Кобаяши–Хитчина , которое связывает стабильные голоморфные векторные расслоения со связностями Эрмита–Эйнштейна над произвольными компактными комплексными многообразиями. ^{[11] [12] [13]} Ключевое наблюдение в настройке голоморфных векторных расслоений состоит в том, что как только голоморфная структура зафиксирована, любой выбор эрмитовой метрики порождает унитарную связность, связность Черна . Таким образом, можно либо искать связность Эрмита–Эйнштейна, либо соответствующую ей метрику Эрмита–Эйнштейна.

Вдохновленный решением проблемы существования канонических метрик на векторных расслоениях, в 1993 году Яу был мотивирован выдвинуть гипотезу о том, что существование метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано должно быть эквивалентно некоторой форме алгебро-геометрического условия устойчивости на самом многообразии, так же как существование метрики Эрмита–Эйнштейна на голоморфном векторном расслоении эквивалентно его устойчивости. Яу предположил, что это условие устойчивости должно быть аналогом устойчивости наклона векторных расслоений. ^[14]

В 1997 году Тиан предложил такое условие устойчивости, которое он назвал K-устойчивостью в честь функционала K-энергии, введенного Тошики Мабучи . ^{[1] [15]} Первоначально K обозначало kinetic из-за сходства функционала K-энергии с кинетической энергией, а также немецкое kanonisch для канонического расслоения . Определение Тиана было аналитическим по своей природе и специфичным для случая многообразий Фано. Несколько лет спустя Дональдсон ввел алгебраическое условие, описанное в этой статье, называемое K-устойчивостью , которое имеет смысл для любого поляризованного многообразия и эквивалентно аналитическому определению Тиана в случае поляризованного многообразия, где есть Фано. ^[2] ${\displaystyle (X,-K_{X})}$ ${\displaystyle X}$

Определение

В этом разделе мы работаем над комплексными числами , но основные положения определения применимы к любому полю. Поляризованное многообразие — это пара , где — комплексное алгебраическое многообразие , а — обильное линейное расслоение на . Такое поляризованное многообразие снабжено вложением в проективное пространство с использованием конструкции Proj , ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\cong \operatorname {Proj} \bigoplus _{r\geq 0}H^{0}\left(X,L^{kr}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} \left(H^{0}\left(X,L^{k}\right)^{*}\right)}$

где — любое положительное целое число, достаточно большое, которое является очень обильным , и поэтому каждое поляризованное многообразие является проективным . Изменение выбора обильного линейного расслоения на приводит к новому вложению в возможно другое проективное пространство. Поэтому поляризованное многообразие можно рассматривать как проективное многообразие вместе с фиксированным вложением в некоторое проективное пространство . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{k}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$

Критерий Гильберта-Мамфорда

K-устойчивость определяется по аналогии с критерием Гильберта–Мамфорда из конечномерной геометрической теории инвариантов . Эта теория описывает устойчивость точек на поляризованных многообразиях, тогда как K-устойчивость касается устойчивости самого поляризованного многообразия.

Критерий Гильберта–Мамфорда показывает, что для проверки устойчивости точки в проективном алгебраическом многообразии под действием редуктивной алгебраической группы достаточно рассмотреть однопараметрические подгруппы ( 1-PS ) группы . Чтобы продолжить, берется 1-PS группы , скажем , и рассматривается предельная точка ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle G\subset \operatorname {GL} (N+1,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {C} ^{*}\hookrightarrow G}$

${\displaystyle x_{0}=\lim _{t\to 0}\lambda (t)\cdot x.}$

Это фиксированная точка действия 1-PS , и поэтому линия над в аффинном пространстве сохраняется действием . Действие мультипликативной группы на одномерном векторном пространстве имеет вес , целое число, которое мы обозначаем , со свойством, что ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N+1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )}$

${\displaystyle \lambda (t)\cdot {\tilde {x}}=t^{\mu (x,\lambda )}{\tilde {x}}}$

для любого в волокне над . Критерий Гильберта-Мамфорда гласит: ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

• Точка полустабильна , если для всех 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )\leq 0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• Точка устойчива , если для всех 1-PS . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )<0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$
• Точка неустойчива , если для любого 1-ПС . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu (x,\lambda )>0}$ ${\displaystyle \lambda <G}$

Если кто-то хочет определить понятие стабильности для многообразий, то критерий Гильберта-Мамфорда предполагает, что достаточно рассмотреть однопараметрические деформации многообразия. Это приводит к понятию тестовой конфигурации.

Тестовые конфигурации

Все общие волокна тестовой конфигурации изоморфны многообразию X, тогда как центральное волокно может быть различным и даже единственным.

Тестовая конфигурация для поляризованного многообразия — это пара , где — схема с плоским морфизмом , а — относительно обильное линейное расслоение для морфизма , такое, что: ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {X}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \pi }$

1. Для каждого многочлен Гильберта волокна равен многочлену Гильберта . Это является следствием плоскостности . ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \pi }$
2. Существует действие на семейство, охватывающее стандартное действие на . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
3. Для любого (и, следовательно, каждого) , как поляризованных многообразий. В частности, вдали от , семейство тривиально: где — проекция на первый множитель. ${\displaystyle t\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t},{\mathcal {L}}_{t})\cong (X,L)}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{t\neq 0},{\mathcal {L}}_{t\neq 0})\cong (X\times \mathbb {C} ^{*},\operatorname {pr} _{1}^{*}L)}$ ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}:X\times \mathbb {C} ^{*}\to X}$

Мы говорим, что тестовая конфигурация является конфигурацией продукта , если , и тривиальной конфигурацией, если действие на является тривиальным для первого фактора. ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}\cong X\times \mathbb {C} }$

Инвариант Дональдсона–Футаки

Чтобы определить понятие устойчивости, аналогичное критерию Гильберта–Мамфорда, необходимо понятие веса на слое над тестовой конфигурации для поляризованного многообразия . По определению это семейство снабжено действием покрытия действия на базе, и поэтому слой тестовой конфигурации над фиксирован. То есть, у нас есть действие на центральном слое . В общем случае это центральное волокно не является гладким или даже многообразием. Существует несколько способов определения веса на центральном слое. Первое определение было дано с использованием версии обобщенного инварианта Футаки Дин-Тяня. ^[1] Это определение является дифференциально-геометрическим и напрямую связано с проблемами существования в геометрии Кэхлера. Алгебраические определения были даны с использованием инвариантов Дональдсона-Футаки и CM-весов, определяемых формулой пересечения. ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0})}$

По определению действие на поляризованной схеме сопровождается действием на обильном линейном расслоении и, следовательно, индуцирует действие на векторных пространствах для всех целых чисел . Действие на комплексном векторном пространстве индуцирует прямую сумму разложения на весовые пространства , где каждое является одномерным подпространством , и действие при ограничении на имеет вес . Определим общий вес действия как целое число . Это то же самое, что и вес индуцированного действия на одномерном векторном пространстве, где . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle w=w_{1}+\cdots +w_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ ${\displaystyle n=\dim V}$

Определим весовую функцию тестовой конфигурации как функцию , где — общий вес действия на векторном пространстве для каждого неотрицательного целого числа . Хотя функция в общем случае не является многочленом, она становится многочленом степени для всех для некоторого фиксированного целого числа , где . Это можно увидеть с помощью эквивариантной теоремы Римана-Роха. Напомним, что многочлен Гильберта удовлетворяет равенству для всех для некоторого фиксированного целого числа , и является многочленом степени . Для таких запишем ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle k>k_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle n=\dim X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=\dim H^{0}(X,L^{k})=\dim H^{0}({\mathcal {X}}_{0},{\mathcal {L}}_{0}^{k})}$ ${\displaystyle k>k_{1}\gg 0}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\gg 0}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2}),\quad w(k)=b_{0}k^{n+1}+b_{1}k^{n}+O(k^{n-1}).}$

Инвариант Дональдсона -Футаки тестовой конфигурации — рациональное число ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {b_{0}a_{1}-b_{1}a_{0}}{a_{0}^{2}}}.}$

В частности, где находится член первого порядка в разложении ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-f_{1}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle {\frac {w(k)}{k{\mathcal {P}}(k)}}=f_{0}+f_{1}k^{-1}+O(k^{-2}).}$

Инвариант Дональдсона-Футаки не меняется, если заменить его на положительную степень , поэтому в литературе K-устойчивость часто обсуждается с использованием -линейных расслоений . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Инвариант Дональдсона-Футаки можно описать в терминах теории пересечений , и именно такой подход использовал Тиан при определении CM-веса. ^[1] Любая тестовая конфигурация допускает естественную компактификацию над (например, см. ^{[16] [17]} ), тогда CM-вес определяется как ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle ({\bar {\mathcal {X}}},{\bar {\mathcal {L}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle CM({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)\cdot L^{n}}}\left(\mu \cdot n{({\bar {\mathcal {L}}})}^{n+1}+(n+1){K}_{{\bar {\mathcal {X}}}/{\mathbb {P} }^{1}}\cdot {({\bar {\mathcal {L}}})}^{n}\right)}$

где . Это определение по формуле пересечения теперь часто используется в алгебраической геометрии. ${\displaystyle \mu =-{\frac {L^{n-1}\cdot K_{X}}{L^{n}}}}$

Известно, что совпадает с , поэтому мы можем взять вес равным или . Вес также может быть выражен в терминах формы Чжоу и гипердискриминанта. ^[18] В случае многообразий Фано существует интерпретация веса в терминах нового -инварианта оценок, найденного Чи Ли ^[19] и Кенто Фудзитой. ^[20] ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {CM} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \beta }$

К-стабильность

Чтобы определить K-стабильность, нам нужно сначала исключить некоторые тестовые конфигурации. Первоначально предполагалось, что следует просто игнорировать тривиальные тестовые конфигурации, определенные выше, инвариант Дональдсона-Футаки которых всегда равен нулю, но Ли и Сю заметили, что в определении требуется больше внимания. ^{[21] [22]} Один изящный способ определения K-стабильности дан Секейхиди с использованием нормы тестовой конфигурации, которую мы сначала опишем. ^[23]

Для тестовой конфигурации определим норму следующим образом. Пусть будет бесконечно малым генератором действия на векторном пространстве . Тогда . Аналогично полиномам и , функция является полиномом для достаточно больших целых чисел , в данном случае степени . Запишем ее разложение как ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k})=w(k)}$ ${\displaystyle w(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n+2}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A_{k}^{2})=c_{0}k^{n+2}+O(k^{n+1}).}$

Норма тестовой конфигурации определяется выражением

${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|^{2}=c_{0}-{\frac {b_{0}^{2}}{a_{0}}}.}$

По аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда, имея понятие деформации (конфигурация теста) и веса на центральном волокне (инвариант Дональдсона-Футаки), можно определить условие устойчивости, называемое К-устойчивостью .

Пусть будет поляризованным алгебраическим многообразием. Мы говорим, что это : ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

• K-полустабильный , если для всех тестовых конфигураций для . ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$
• K-устойчиво , если для всех тестовых конфигураций для , и дополнительно всякий раз, когда . ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|>0}$
• K-полистабильно, если является K-полустабильным, и, кроме того, всякий раз , когда , тестовая конфигурация является конфигурацией произведения. ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \operatorname {\mu } ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K-нестабильно, если оно не является K-полустабильным.

Гипотеза Яу–Тяня–Дональдсона

K-устойчивость была первоначально введена как алгебро-геометрическое условие, которое должно характеризовать существование метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано. Это стало известно как гипотеза Яу–Тяня–Дональдсона (для многообразий Фано). Гипотеза была разрешена в 2010-х годах в работах Сюсюна Чена , Саймона Дональдсона и Сонг Сана , ^{[24] [25] [26 ] [27 ] [28] [29]} Стратегия основана на методе непрерывности относительно угла конуса метрики Кэлера–Эйнштейна с особенностями конуса вдоль фиксированного антиканонического дивизора, а также на глубоком использовании теории Чигера–Колдинга–Тяна пределов Громова–Хаусдорфа многообразий Кэлера с границами Риччи.

Теорема (гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона для метрик Кэлера–Эйнштейна) : Многообразие Фано допускает метрику Кэлера–Эйнштейна в классе тогда и только тогда, когда пара является K-полистабильной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle (X,-K_{X})}$

Чен, Дональдсон и Сан утверждают, что утверждение Тяня о равном приоритете доказательства неверно, и обвиняют его в академической халатности. ^[a] Тянь оспорил их утверждения. ^[b] Чен, Дональдсон и Сан были признаны Американским математическим обществом в качестве авторов, разрешивших эту гипотезу, престижной премией Веблена 2019 года. ^[30] Премия Breakthrough Prize присудила Дональдсону премию Breakthrough Prize в области математики , а Сану — премию Breakthrough Prize New Horizons , отчасти основанную на их работе с Ченом над этой гипотезой. ^{[31] [32]}

Совсем недавно доказательство, основанное на «классическом» методе непрерывности, было предоставлено Ведом Датаром и Габором Секейхиди ^{[33] [34]} , за которым последовало доказательство Чена, Сана и Бин Вана с использованием потока Кэлера–Риччи. ^[35] Роберт Берман, Себастьен Буксом и Маттиас Йонссон также предоставили доказательство с использованием вариационного подхода. ^[36]

Расширение до постоянной скалярной кривизны Келеровых метрик

Ожидается, что гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона должна применяться более широко к метрикам cscK над произвольными гладкими поляризованными многообразиями. Фактически, гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона относится к этой более общей ситуации, причем случай многообразий Фано является частным случаем, который ранее был выдвинут Яу и Тианом. Дональдсон построил гипотезу Яу и Тиана на основе случая Фано после того, как было введено его определение K-стабильности для произвольных поляризованных многообразий. ^[2]

Гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона для метрик постоянной скалярной кривизны : гладкое поляризованное многообразие допускает кэлерову метрику постоянной скалярной кривизны в классе тогда и только тогда, когда пара является K-полистабильной. ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle c_{1}(L)}$ ${\displaystyle (X,L)}$

Как обсуждалось, гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона была разрешена в условиях Фано. В 2009 году Дональдсон доказал, что гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона верна для торических многообразий комплексной размерности 2. ^{[37] [38] [39]} Для произвольных поляризованных многообразий Стоппа доказал, также используя работу Ареццо и Пакара, что существование метрики cscK подразумевает K-полистабильность. ^{[40] [41]} Это в некотором смысле легкое направление гипотезы, поскольку оно предполагает существование решения сложного уравнения в частных производных и приводит к сравнительно легкому алгебраическому результату. Значительная проблема состоит в доказательстве обратного направления, что чисто алгебраическое условие подразумевает существование решения уравнения в частных производных.

Примеры

Плавные кривые

Со времен оригинальной работы Пьера Делиня и Дэвида Мамфорда было известно , что гладкие алгебраические кривые асимптотически устойчивы в смысле геометрической теории инвариантов, и в частности, что они являются K-устойчивыми. ^[42] В этой ситуации гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона эквивалентна теореме об униформизации . А именно, каждая гладкая кривая допускает метрику Кэлера–Эйнштейна постоянной скалярной кривизны либо в случае проективной прямой , либо в случае эллиптических кривых , либо в случае компактных римановых поверхностей рода . ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle g>1}$

сорта Фано

Настройка, где достаточно, так что является многообразием Фано, имеет особое значение, и в этой настройке известно много инструментов для проверки K-стабильности многообразий Фано. Например, используя чисто алгебраические методы, можно доказать, что все гиперповерхности Ферма ${\displaystyle L=-K_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{n,d}=\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots z_{n+1}^{d}=0\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}}$

являются K-стабильными многообразиями Фано для . ^{[43] [44] [45]} ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$

Торические разновидности

K-устойчивость была первоначально введена Дональдсоном в контексте торических многообразий . ^[2] В торической постановке многие из сложных определений K-устойчивости упрощаются, чтобы быть заданными данными о многограннике моментов поляризованного торического многообразия . Во-первых, известно, что для проверки K-устойчивости достаточно рассмотреть торические тестовые конфигурации , где полное пространство тестовой конфигурации также является торическим многообразием. Любая такая торическая тестовая конфигурация может быть элегантно описана выпуклой функцией на многограннике моментов, и Дональдсон первоначально определил K-устойчивость для таких выпуклых функций. Если торическая тестовая конфигурация для задается выпуклой функцией на , то инвариант Дональдсона-Футаки можно записать как ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X_{P},L_{P})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}(f)={\frac {1}{2}}\left(\int _{\partial P}f\,d\sigma -a\int _{P}f\,d\mu \right),}$

где — мера Лебега на , — каноническая мера на границе , возникающая из ее описания как многогранника моментов (если ребро задано линейным неравенством для некоторого аффинного линейного функционала h на с целыми коэффициентами, то ), и . Кроме того, норма тестовой конфигурации может быть задана как ${\displaystyle d\mu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h(x)\leq a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\mu =\pm dh\wedge d\sigma }$ ${\displaystyle a=\operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )/\operatorname {Vol} (P,d\mu )}$

${\displaystyle \left\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\right\|=\left\|f-{\bar {f}}\right\|_{L^{2}},}$

где — среднее значение по относительно . ${\displaystyle {\bar {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\mu }$

Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить выпуклые функции особенно простого вида. Мы говорим, что выпуклая функция на является кусочно-линейной , если ее можно записать как максимум для некоторых аффинных линейных функционалов . Обратите внимание, что по определению константы инвариант Дональдсона-Футаки инвариантен относительно добавления аффинного линейного функционала, поэтому мы всегда можем взять одну из в качестве постоянной функции . Мы говорим, что выпуклая функция является простой кусочно-линейной, если она является максимумом из двух функций, и поэтому задается для некоторой аффинной линейной функции , и простой рациональной кусочно-линейной, если имеет рациональные коэффициенты. Дональдсон показал, что для торических поверхностей достаточно проверить K-устойчивость только на простых рациональных кусочно-линейных функциях. Такой результат является мощным, поскольку позволяет легко вычислить инварианты Дональдсона-Футаки для таких простых тестовых конфигураций и, следовательно, вычислительно определить, когда данная торическая поверхность является K-устойчивой. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f=\max(h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f=\max(0,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Примером K-неустойчивого многообразия является торическая поверхность , первая поверхность Хирцебруха , которая является раздутием комплексной проективной плоскости в точке относительно поляризации, заданной выражением , где — раздутие и исключительный дивизор. ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}=\operatorname {Bl} _{0}\mathbb {CP} ^{2}}$ ${\textstyle L={\frac {1}{2}}(\pi ^{*}{\mathcal {O}}(2)-E)}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {F} _{1}\to \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Многогранник моментов первой поверхности Хирцебруха .

Мера на горизонтальных и вертикальных граничных гранях многогранника равна и . На диагональной грани мера задается выражением . Рассмотрим выпуклую функцию на этом многограннике. Тогда ${\displaystyle d\sigma }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle x+y=2}$ ${\displaystyle (dx-dy)/2}$ ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$

${\displaystyle \int _{P}f\,d\mu ={\frac {11}{6}},\qquad \int _{\partial P}f\,d\sigma =6,}$

и

${\displaystyle \operatorname {Vol} (P,d\mu )={\frac {3}{2}},\qquad \operatorname {Vol} (\partial P,d\sigma )=5,}$

Таким образом

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=6-{\frac {55}{9}}=-{\frac {1}{9}}<0,}$

и поэтому первая поверхность Хирцебруха является K-неустойчивой. ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$

Альтернативные Понятия

Устойчивость Гильберта и Чжоу

K-устойчивость возникает из аналогии с критерием Гильберта-Мамфорда для конечномерной геометрической инвариантной теории. Можно использовать геометрическую инвариантную теорию напрямую, чтобы получить другие понятия устойчивости для многообразий, которые тесно связаны с K-устойчивостью.

Возьмем поляризованное многообразие с многочленом Гильберта и зафиксируем такое , которое очень обильно с исчезающими высшими когомологиями. Затем пару можно отождествить с точкой в ​​схеме Гильберта подсхем с многочленом Гильберта . ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle L^{r}}$ ${\displaystyle (X,L^{r})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\mathcal {P}}(r)-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}'(K)={\mathcal {P}}(Kr)}$

Эта схема Гильберта может быть вложена в проективное пространство как подсхема грассманиана (который проективен посредством вложения Плюккера ). Общая линейная группа действует на эту схему Гильберта, и две точки в схеме Гильберта эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие поляризованные многообразия изоморфны. Таким образом, можно использовать геометрическую теорию инвариантов для этого группового действия, чтобы дать понятие устойчивости. Эта конструкция зависит от выбора , поэтому говорят, что поляризованное многообразие асимптотически устойчиво по Гильберту, если оно устойчиво относительно этого вложения для всех достаточно больших, для некоторого фиксированного . ${\displaystyle \operatorname {GL} ({\mathcal {P}}(r),\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r>r_{0}\gg 0}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Существует еще одно проективное вложение схемы Гильберта, называемое вложением Чжоу, которое обеспечивает другую линеаризацию схемы Гильберта и, следовательно, другое условие устойчивости. Таким образом, можно аналогично определить асимптотическую устойчивость Чжоу . Явно вес Чжоу для фиксированного может быть вычислен как ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{r}({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {rb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(r)}{{\mathcal {P}}(r)}}}$

для достаточно больших. ^[46] В отличие от инварианта Дональдсона-Футаки, вес Чжоу изменяется, если линейное расслоение заменяется некоторой мощностью . Однако из выражения ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}})={\frac {krb_{0}}{a_{0}}}-{\frac {w(kr)}{{\mathcal {P}}(kr)}}}$

можно заметить, что

${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=\lim _{k\to \infty }\operatorname {Chow} _{rk}({\mathcal {X}},{\mathcal {L^{k}}}),}$

и поэтому К-стабильность в некотором смысле является пределом стабильности Чжоу, поскольку размерность проективного пространства стремится к бесконечности. ${\displaystyle X}$

Аналогичным образом можно определить асимптотическую полуустойчивость Чжоу и асимптотическую полуустойчивость Гильберта, а различные понятия устойчивости связаны следующим образом:

Асимптотически устойчивый по Чжоу Асимптотически устойчивый по Гильберту Асимптотически полуустойчивый по Гильберту Асимптотически полуустойчивый по Чжоу K-полуустойчивый ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Однако неизвестно, подразумевает ли K-устойчивость асимптотическую устойчивость Чжоу. ^[47]

Устойчивость склона по К-критерию

Первоначально Яу предсказал, что правильное понятие устойчивости для многообразий должно быть аналогично устойчивости наклона для векторных расслоений. Джулиус Росс и Ричард Томас разработали теорию устойчивости наклона для многообразий, известную как устойчивость наклона K. Росс и Томас показали, что любая тестовая конфигурация по существу получается путем раздутия многообразия вдоль последовательности инвариантных идеалов, поддерживаемых на центральном слое. ^[47] Этот результат по существу принадлежит Дэвиду Мамфорду. ^[48] Явно, каждая тестовая конфигурация доминируется раздутием вдоль идеала вида ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$

${\displaystyle I=I_{0}+tI_{1}+t^{2}I_{2}+\cdots +t^{r-1}I_{r-1}+(t^{r})\subset {\mathcal {O}}_{X}\otimes \mathbb {C} [t],}$

где - координата на . Принимая во внимание поддержку идеалов, это соответствует раздуванию вдоль флага подсхем ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle Z_{r-1}\subset \cdots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}\subset X}$

внутри копии . Это разложение получается по существу путем взятия весового пространства разложения инвариантного идеала под действием. ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

В особом случае, когда этот флаг подсхем имеет длину один, инвариант Дональдсона-Футаки может быть легко вычислен, и мы приходим к наклонной K-устойчивости. При наличии подсхемы, определенной идеальным пучком , тестовая конфигурация задается как ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle I_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Bl} _{Z\times \{0\}}(X\times \mathbb {C} ),}$

что является деформацией нормального конуса вложения . ${\displaystyle Z\hookrightarrow X}$

Если многообразие имеет полином Гильберта , то определите наклон как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(k)=a_{0}k^{n}+a_{1}k^{n-1}+O(k^{n-2})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (X)={\frac {a_{1}}{a_{0}}}.}$

Чтобы определить наклон подсхемы , рассмотрим полином Гильберта-Самуэля подсхемы , ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \chi (L^{r}\otimes I_{Z}^{xr})=a_{0}(x)r^{n}+a_{1}(x)r^{n-1}+O(r^{n-2}),}$

для и рационального числа такого, что . Коэффициенты являются полиномами степени , а К-наклон относительно определяется как ${\displaystyle r\gg 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xr\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle I_{Z}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})={\frac {\int _{0}^{c}{\big (}a_{1}(x)+{\frac {a_{0}'(x)}{2}}{\big )}\,dx}{\int _{0}^{c}a_{0}(x)\,dx}}.}$

Это определение имеет смысл для любого выбора действительного числа, где — константа Сешадри для . Обратите внимание, что, взяв , мы восстанавливаем наклон . Пара является наклоном K-полустабильной, если для всех собственных подсхем , для всех (можно также определить наклон K-стабильности и наклон K-полистабильности, потребовав, чтобы это неравенство было строгим, с некоторыми дополнительными техническими условиями). ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$ ${\displaystyle \epsilon (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z=\emptyset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \mu _{c}(I_{Z})\leq \mu (X)}$ ${\displaystyle c\in (0,\epsilon (Z)]}$

Росс и Томас показали, что K-полуустойчивость влечет наклонную K-полуустойчивость. ^[49] Однако, в отличие от случая векторных расслоений, это не тот случай, когда наклонная K-устойчивость влечет K-устойчивость. В случае векторных расслоений достаточно рассматривать только отдельные подпучки, но для многообразий необходимо также рассматривать флаги длины больше единицы. Несмотря на это, наклонная K-устойчивость все еще может использоваться для идентификации K-неустойчивых многообразий, и, следовательно, по результатам Стоппы, создает препятствия для существования метрик cscK. Например, Росс и Томас используют наклонную K-устойчивость, чтобы показать, что проективизация нестабильного векторного расслоения над K-устойчивой базой является K-неустойчивой и, следовательно, не допускает метрику cscK. Это является обратным к результатам Хонга, которые показывают, что проективизация стабильного расслоения над базой, допускающей метрику cscK, также допускает метрику cscK и, следовательно, является K-устойчивой. ^[50]

Фильтрация K-Стабильность

Работа Апостолова–Калдербанка–Годушона–Тённесена–Фридмана показывает существование многообразия, которое не допускает никакой экстремальной метрики, но, по-видимому, не дестабилизируется никакой тестовой конфигурацией. ^[51] Это говорит о том, что определение K-устойчивости, данное здесь, может быть недостаточно точным, чтобы подразумевать гипотезу Яу–Тяна–Дональдсона в целом. Однако этот пример дестабилизируется пределом тестовых конфигураций. Это было уточнено Секейхиди , который ввел фильтрацию K-устойчивости . ^{[46] [23]} Фильтрация здесь является фильтрацией координатного кольца

${\displaystyle R=\bigoplus _{k\geq 0}H^{0}(X,L^{k})}$

поляризованного многообразия . Рассматриваемые фильтрации должны быть совместимы с градуировкой на координатном кольце в следующем смысле: Фильтрация представляет собой цепочку конечномерных подпространств ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {C} =F_{0}R\subset F_{1}R\subset F_{2}R\subset \dots \subset R}$

таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Фильтрация мультипликативна . То есть, для всех . ${\displaystyle (F_{i}R)(F_{j}R)\subset F_{i+j}R}$ ${\displaystyle i,j\geq 0}$
2. Фильтрация совместима с градуировкой, исходя из градуированных частей . То есть, если , то каждая однородная часть находится в . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{k}=H^{0}(X,L^{k})}$ ${\displaystyle f\in F_{i}R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{i}R}$
3. Фильтрация исчерпывает . То есть, у нас есть . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\geq 0}F_{i}R=R}$

При наличии фильтрации ее алгебра Риса определяется как ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \operatorname {Rees} (\chi )=\bigoplus _{i\geq 0}(F_{i}R)t^{i}\subset R[t].}$

Мы говорим, что фильтрация конечно порождена, если ее алгебра Риса конечно порождена. Дэвид Витт Нистрём доказал, что фильтрация конечно порождена тогда и только тогда, когда она возникает из тестовой конфигурации, а Секейхиди — что любая фильтрация является пределом конечно порожденных фильтраций. ^[52] Объединяя эти результаты, Секейхиди заметил, что пример Апостолова-Колдербанка-Годушона-Тённесена-Фридмана не нарушит гипотезу Яу–Тяна–Дональдсона, если K-устойчивость заменить на K-устойчивость фильтрации. Это говорит о том, что определение K-устойчивости, возможно, необходимо отредактировать, чтобы учесть эти ограничивающие примеры.

Смотрите также

• кэлерово многообразие
• Метрика Кэлера–Эйнштейна
• K-устойчивость многообразий Фано
• Геометрическая инвариантная теория
• гипотеза Калаби
• Переписка Кобаяши–Хитчина
• Стабильная кривая

Ссылки

1. Tian, ​​Gang (1997). «Метрики Кэлера–Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Inventiones Mathematicae . 130 (1): 1–37. Bibcode :1997InMat.130....1T. doi :10.1007/s002220050176. MR  1471884. S2CID  122529381.
2. Дональдсон, Саймон К. (2002). «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 62 (2): 289–349. doi : 10.4310/jdg/1090950195 .
3. Калаби, Эухенио (1956), «Пространство метрик Кэлера», Труды Международного конгресса математиков 1954 г. (PDF) , т. 2, Гронинген: EP Noordhoff , стр. 206–207
4. Обен, Тьерри (1976). «Уравнения типа Монжа-Ампера для разнообразных компактных элементов». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Серия А. 283 : 119–121. Збл  0333.53040.
5. Яу, Шинг-Тунг (1977). «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии». Труды Национальной академии наук . 74 (5): 1798–1799. Bibcode :1977PNAS...74.1798Y. doi :10.1073/PNAS.74.5.1798. PMC 431004 . PMID  16592394. S2CID  9401039. 
6. Яу, Шинг-Тунг (1978). «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера, I». Сообщения по чистой и прикладной математике . 31 (3): 339–411. doi :10.1002/CPA.3160310304. S2CID  62804423.
7. Мацусима, Ёзо (1957). «Сур ла Структура группы аналитических гомеоморфизмов определенного разнообразия Кэлеринн». Нагойский математический журнал . 11 : 145–150. дои : 10.1017/S0027763000002026 . S2CID  31531037.
8. Лихнерович, Андре (1958). «Геометрия групп преобразований». Travaux et Recherches Mathématiques (на французском языке). 3 . Дюно, Париж. МР  0124009. OCLC  911753544. Збл  0096.16001.
9. Дональдсон, СК (1983). «Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Шешадри». Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2): 269–277. doi : 10.4310/jdg/1214437664 .
10. Нарасимхан, М.С.; Сешадри, Ч.С. (1965). «Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности». Annals of Mathematics . 82 (3): 540–567. doi :10.2307/1970710. JSTOR  1970710.
11. Дональдсон, СК (1985). «Антисамодвойственные связи Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильные векторные расслоения». Труды Лондонского математического общества : 1–26. doi :10.1112/plms/s3-50.1.1.
12. Uhlenbeck, K.; Yau, ST (1986). «О существовании связей Эрмита-Янга-Миллса в стабильных векторных расслоениях, в Frontiers of Mathematical Sciences: 1985 (Нью-Йорк, 1985)». Сообщения по чистой и прикладной математике . 39 : S257–S293. doi :10.1002/cpa.3160390714.
13. Ли, Джун; Яу, Шинг Тунг (1987). «Связь Эрмита-Янга-Миллса на некэлеровых многообразиях». Математические аспекты теории струн . стр. 560–573. doi :10.1142/9789812798411_0027. ISBN 978-9971-5-0273-7.
14. Яу, Шинг-Тунг (1993). «Открытые проблемы геометрии». Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990) . Труды симпозиумов по чистой математике. Т. 54. С. 1–28. doi :10.1090/pspum/054.1/1216573. ISBN 9780821814949. МР  1216573.
15. Мабучи, Тошики (1986). «Отображения K-энергии, интегрирующие инварианты Футаки». Tohoku Mathematical Journal . 38 (4): 575–593. doi : 10.2748/tmj/1178228410 . S2CID  122723602.
16. Одака, Юдзи (март 2013 г.). «Обобщение теории наклона Росса--Томаса». Osaka Journal of Mathematics . 50 (1): 171–185. MR  3080636.
17. Ван, Сяовэй (2012). «Рост и вес ЖКТ». Mathematical Research Letters . 19 (4): 909–926. doi : 10.4310/MRL.2012.V19.N4.A14 . S2CID  11990163.
18. Пол, Шон Тимоти (2012). «Гипердискриминантные многогранники, многогранники Чжоу и асимптотика энергии Мабучи». Annals of Mathematics . 175 (1): 255–296. arXiv : 0811.2548 . doi : 10.4007/annals.2012.175.1.7 . JSTOR  41412137. S2CID  8871401.
19. Ли, Чи (2017). «K-полуустойчивость — это минимизация эквивариантного объема». Duke Mathematical Journal . 166 (16): 3147–3218. arXiv : 1512.07205 . doi : 10.1215/00127094-2017-0026. S2CID  119164357.
20. Фудзита, Кенто (2019). «Оценочный критерий равномерной K-стабильности многообразий Q-Фано». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 2019 (751): 309–338. doi : 10.1515/crelle-2016-0055. S2CID  125279282.
21. Ли, Чи; Сюй, Чэньян (2014). «Специальная тестовая конфигурация и K-устойчивость многообразий Фано». Annals of Mathematics . 180 (1): 197–232. arXiv : 1111.5398 . doi : 10.4007/annals.2014.180.1.4. JSTOR  24522921. S2CID  54927428.
22. Стоппа, Якопо (2011). «Заметка об определении K-стабильности». arXiv : 1111.5826 [math.AG].
23. Введение в экстремальные кэлеровы метрики . Аспирантура по математике. Том 152. 2014. doi :10.1090/gsm/152. ISBN 9781470410476.
24. Чэнь, Сюсюн; Дональдсон, Саймон; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера–Эйнштейна и устойчивость». Международные уведомления по математическим исследованиям . 2014 (8): 2119–2125. arXiv : 1210.7494 . doi : 10.1093/IMRN/RNS279. S2CID  119165036.
25. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями». Журнал Американского математического общества . 28 : 183–197. arXiv : 1211.4566 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. S2CID  119641827.
26. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π». Журнал Американского математического общества . 28 : 199–234. arXiv : 1212.4714 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. S2CID  119140033.
27. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Пределы при приближении угла конуса к 2π и завершение основного доказательства». Журнал Американского математического общества . 28 : 235–278. arXiv : 1302.0282 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. S2CID  119575364.
28. Tian, ​​Gang (2015). «K-устойчивость и метрики Кэлера-Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (7): 1085–1156. arXiv : 1211.4669 . doi : 10.1002/cpa.21578. S2CID  119303358.
29. Tian, ​​Gang (2015). «Исправление: K-устойчивость и метрики Кэлера-Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (11): 2082–2083. doi : 10.1002/cpa.21612 . S2CID  119666069.
30. "Премия Освальда Веблена по геометрии 2019 года — Сюсюн Чену, Саймону Дональдсону и Сун Суню". Американское математическое общество . 2018-11-19 . Получено 2019-04-09 .
31. Саймон Дональдсон «За новые революционные инварианты четырехмерных многообразий и за изучение связи между устойчивостью в алгебраической геометрии и глобальной дифференциальной геометрии, как для расслоений, так и для многообразий Фано».
32. Премия за прорыв в области математики 2021 г.
33. Székelyhidi, Gábor (2016). «Частичная 𝐶⁰-оценка по методу непрерывности». Журнал Американского математического общества . 29 (2): 537–560. arXiv : 1310.8471 . doi : 10.1090/jams/833 .
34. Datar, Ved; Székelyhidi, Gábor (2016). «Метрики Кэлера–Эйнштейна вдоль метода гладкой непрерывности». Геометрический и функциональный анализ . 26 (4): 975–1010. arXiv : 1506.07495 . doi :10.1007/s00039-016-0377-4. S2CID  253643887.
35. Чэнь, Сюсюн; Сан, Сун; Ван, Бин (2018). «Поток Кэлера–Риччи, метрика Кэлера–Эйнштейна и K–устойчивость». Геометрия и топология . 22 (6): 3145–3173. arXiv : 1508.04397 . doi :10.2140/gt.2018.22.3145. MR  3858762. S2CID  5667938.
36. Берман, Роберт; Боуксом, Себастьен; Йонссон, Маттиас (2021). «Вариационный подход к гипотезе Яу–Тиана–Дональдсона». Журнал Американского математического общества . 34 (3): 605–652. arXiv : 1509.04561 . doi : 10.1090/jams/964. MR  4334189. S2CID  119323049.
37. Дональдсон, Саймон К. (2005). «Внутренние оценки решений уравнения Абреу». Collectanea Mathematica . 56 (2): 103–142. arXiv : math/0407486 . Zbl  1085.53063.
38. Дональдсон, СК (2008). «Экстремальные метрики на торических поверхностях: метод непрерывности». Журнал дифференциальной геометрии . 79 (3): 389–432. doi : 10.4310/jdg/1213798183 .
39. Дональдсон, Саймон К. (2009). «Постоянные скалярные метрики кривизны на торических поверхностях». Геометрический и функциональный анализ . 19 : 83–136. arXiv : 0805.0128 . doi :10.1007/s00039-009-0714-y. S2CID  17765416.
40. Stoppa, Jacopo (2009). «K-устойчивость кэлеровых многообразий постоянной скалярной кривизны». Advances in Mathematics . 221 (4): 1397–1408. arXiv : 0803.4095 . doi : 10.1016/j.aim.2009.02.013 . S2CID  6554854.
41. Ареццо, Клаудио; Пакар, Франк (2006). «Раздувание и десингуляризация кэлеровых многообразий постоянной скалярной кривизны». Acta Mathematica . 196 (2): 179–228. arXiv : math/0411522 . doi : 10.1007/s11511-006-0004-6 . S2CID  14605574.
42. Делинь, П.; Мамфорд , Д. (1969). «Неприводимость пространства кривых данного рода». Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75–109. doi : 10.1007/BF02684599 .
43. Tian, ​​Gang (1987). «О метриках Кэлера-Эйнштейна на некоторых кэлеровых многообразиях с C1 (M)> 0». Inventiones Mathematicae . 89 (2): 225–246. Bibcode :1987InMat..89..225T. doi :10.1007/BF01389077. S2CID  122352133.
44. Чжуан, Цзыцюань (2021). «Оптимальные дестабилизирующие центры и эквивариантная K-стабильность». Inventiones Mathematicae . 226 (1): 195–223. arXiv : 2004.09413 . Bibcode : 2021InMat.226..195Z. doi : 10.1007/s00222-021-01046-0. S2CID  215827850.
45. Тиан, Банда (2000). Канонические метрики в кэлеровой геометрии. Заметки сделаны Майке Аквельдом . Лекции по математике. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. дои : 10.1007/978-3-0348-8389-4. ISBN 978-3-7643-6194-5. S2CID  120250582.
46. Секелихиди, Габор (2015). «Фильтрация и тестовые конфигурации. С приложением Себастьяна Буксома». Математические Аннален . 362 (1–2): 451–484. arXiv : 1111.4986 . дои : 10.1007/s00208-014-1126-3. S2CID  253716855.
47. Росс, Джулиус; Томас, Ричард (2006). «Исследование критерия Гильберта-Мамфорда для стабильности проективных многообразий». Журнал алгебраической геометрии . 16 (2): 201–255. arXiv : math/0412519 . doi : 10.1090/S1056-3911-06-00461-9 . MR  2274514. S2CID  15621023.
48. Мамфорд, Дэвид (1977). «Устойчивость проективных многообразий». Enseignement Math . 22 (2): 39–110. doi :10.5169/seals-48919.
49. Росс, Юлиус; Томас, Ричард (2006). «Препятствие к существованию кэлеровых метрик постоянной скалярной кривизны». Журнал дифференциальной геометрии . 72 (3): 429–466. arXiv : math/0412518 . doi : 10.4310/jdg/1143593746 . MR  2219940. S2CID  15411889.
50. Хонг, Ин-Джи (1999). «Уравнения постоянной эрмитовой скалярной кривизны на линейчатых многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии . 53 (3): 465–516. doi : 10.4310/jdg/1214425636 .
51. Апостолов, Вестислав; Кальдербанк, Дэвид М.Дж.; Годушон, Пол; Тённесен-Фридман, Кристина В. (2008). «Гамильтоновы 2-формы в кэлеровой геометрии, III экстремальные метрики и устойчивость». Inventiones Mathematicae . 173 (3): 547–601. arXiv : math/0511118 . Bibcode :2008InMat.173..547A. doi :10.1007/s00222-008-0126-x. S2CID  17821805.
52. Витт Нюстрём, Дэвид (2012). «Тестовые конфигурации и тела Окунькова». Compositio Mathematica . 148 (6): 1736–1756. arXiv : 1001.3286 . doi : 10.1112/S0010437X12000358 .

Примечания

1. Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон, Сун Сан. «О некоторых последних достижениях в геометрии Кэлера».
2. Ган Тянь. «Ответ на CDS» и «Еще комментарии по CDS».