В математике , в области алгебраической геометрии , отображение периодов связывает семейства кэлеровых многообразий с семействами структур Ходжа .
Пусть f : X → B — голоморфный субмерсивный морфизм. Для точки b из B мы обозначаем слой f над b через X b . Зафиксируем точку 0 в B . Теорема Эресмана гарантирует , что существует малая открытая окрестность U вокруг 0, в которой f становится расслоением . То есть f −1 ( U ) диффеоморфно X 0 × U . В частности, составное отображение
является диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм не является единственным, поскольку он зависит от выбора тривиализации. Тривиализация строится из гладких путей в U , и можно показать, что гомотопический класс диффеоморфизма зависит только от выбора гомотопического класса путей из b в 0. В частности, если U стягиваемо, то существует хорошо определенный диффеоморфизм с точностью до гомотопии.
Диффеоморфизм из X b в X 0 индуцирует изоморфизм групп когомологий
и поскольку гомотопные отображения индуцируют тождественные отображения на когомологиях, этот изоморфизм зависит только от гомотопического класса пути от b до 0.
Предположим, что f является собственным и что X 0 является кэлеровым многообразием. Условие кэлера открыто, поэтому после возможного сжатия U , X b компактно и кэлерово для всех b из U . После дальнейшего сжатия U мы можем предположить, что оно стягиваемо. Тогда существует хорошо определенный изоморфизм между группами когомологий X 0 и X b . Эти изоморфизмы групп когомологий в общем случае не сохранят структуры Ходжа X 0 и X b , поскольку они индуцируются диффеоморфизмами, а не биголоморфизмами . Пусть F p H k ( X b , C ) обозначает p -й шаг фильтрации Ходжа . Числа Ходжа X b такие же, как и у X 0 , [ 1] поэтому число b p , k = dim F p H k ( X b , C ) не зависит от b . Отображение периодов — это отображение
где F — флаговое многообразие цепей подпространств размерностей b p , k для всех p , которое посылает
Поскольку X b является кэлеровым многообразием, фильтрация Ходжа удовлетворяет билинейным соотношениям Ходжа–Римана . Из этого следует, что
Не все флаги подпространств удовлетворяют этому условию. Подмножество многообразия флагов, удовлетворяющее этому условию, называется неполяризованной локальной областью периодов и обозначается . является открытым подмножеством многообразия флагов F .
Предположим теперь, что не только каждое X b является кэлеровым, но и что существует кэлеров класс, который изменяется голоморфно по b . Другими словами, предположим, что существует класс ω в H 2 ( X , Z ) такой, что для каждого b ограничение ω b класса ω на X b является кэлеровым классом. ω b определяет билинейную форму Q на H k ( X b , C ) по правилу
Эта форма изменяется голоморфно по b , и, следовательно, образ отображения периода удовлетворяет дополнительным ограничениям, которые снова вытекают из билинейных соотношений Ходжа–Римана. Это:
Поляризованная локальная периодическая область является подмножеством неполяризованной локальной периодической области, флаги которой удовлетворяют этим дополнительным условиям. Первое условие является замкнутым условием, а второе — открытым условием, и, следовательно, поляризованная локальная периодическая область является локально замкнутым подмножеством неполяризованной локальной периодической области и многообразия флагов F . Отображение периодов определяется таким же образом, как и ранее.
Поляризованная локальная область периода и поляризованное отображение периода по-прежнему обозначаются и соответственно.
Сосредоточение внимания только на локальных отображениях периодов игнорирует информацию, присутствующую в топологии базового пространства B . Глобальные отображения периодов строятся так, чтобы эта информация по-прежнему была доступна. Трудность построения глобальных отображений периодов возникает из-за монодромии B : больше не существует единственного гомотопического класса диффеоморфизмов, связывающих волокна X b и X 0 . Вместо этого различные гомотопические классы путей в B индуцируют , возможно, различные гомотопические классы диффеоморфизмов и, следовательно, возможно, различные изоморфизмы групп когомологий. Следовательно, больше не существует четко определенного флага для каждого волокна. Вместо этого флаг определяется только с точностью до действия фундаментальной группы .
В неполяризованном случае определим группу монодромии Γ как подгруппу GL( H k ( X 0 , Z )), состоящую из всех автоморфизмов, индуцированных гомотопическим классом кривых в B, как указано выше. Многообразие флагов является фактором группы Ли по параболической подгруппе, а группа монодромии является арифметической подгруппой группы Ли. Глобальная неполяризованная область периодов является фактором локальной неполяризованной области периодов по действию Γ (таким образом, это набор двойных смежных классов ). В поляризованном случае элементы группы монодромии также должны сохранять билинейную форму Q , и глобальная поляризованная область периодов строится как фактор по Γ тем же способом. В обоих случаях отображение периодов переводит точку B в класс фильтрации Ходжа на X b .
Гриффитс доказал , что отображение периодов голоморфно. Его теорема трансверсальности ограничивает область отображения периодов.
Фильтрация Ходжа может быть выражена в координатах с использованием матриц периодов. Выберем базис δ 1 , ..., δ r для части без кручения k -й целочисленной группы гомологий H k ( X , Z ) . Зафиксируем p и q с p + q = k , и выберем базис ω 1 , ..., ω s для гармонических форм типа ( p , q ) . Матрица периодов X 0 относительно этих базисов есть матрица
Элементы матрицы периодов зависят от выбора базиса и комплексной структуры. δs можно варьировать выбором матрицы Λ в SL( r , Z ) , а ωs можно варьировать выбором матрицы A в GL( s , C ) . Матрица периодов эквивалентна Ω , если ее можно записать как A ΩΛ для некоторого выбора A и Λ.
Рассмотрим семейство эллиптических кривых
где λ — любое комплексное число, не равное нулю или единице. Фильтрация Ходжа на первой группе когомологий кривой имеет два шага, F 0 и F 1 . Однако F 0 — это вся группа когомологий, поэтому единственный интересный член фильтрации — это F 1 , то есть H 1,0 , пространство голоморфных гармонических 1-форм .
H 1,0 одномерна, поскольку кривая эллиптическая, и для всех λ она натянута на дифференциальную форму ω = dx / y . Чтобы найти явных представителей группы гомологий кривой, отметим, что кривая может быть представлена в виде графика многозначной функции
на сфере Римана . Точки ветвления этой функции находятся в нуле, единице, λ и бесконечности. Сделайте два разреза ветвления, один из которых идет от нуля к единице, а другой — от λ к бесконечности. Они исчерпывают точки ветвления функции, поэтому они разрезают многозначную функцию на два однозначных листа. Зафиксируйте малое ε > 0. На одном из этих листов проведите кривую γ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2πi t ) . При достаточно малом ε эта кривая охватывает разрез ветвления [0, 1] и не пересекает разрез ветвления [λ, ∞] . Теперь проследим другую кривую δ( t ), которая начинается на одном листе как δ( t ) = 1 + 2(λ − 1) t для 0 ≤ t ≤ 1/2 и продолжается на другом листе как δ( t ) = λ + 2(1 − λ)( t − 1/2) для 1/2 ≤ t ≤ 1 . Каждая половина этой кривой соединяет точки 1 и λ на двух листах римановой поверхности . Из теоремы Зейферта–ван Кампена группа гомологии кривой свободна от ранга два. Поскольку кривые встречаются в одной точке, 1 + ε , ни один из их классов гомологии не является собственным кратным некоторого другого класса гомологии, и, следовательно, они образуют базис H 1 . Матрица периодов для этого семейства, таким образом, равна
Первую запись этой матрицы мы будем сокращать как A , а вторую как B.
Билинейная форма √ −1 Q положительно определена, поскольку локально мы всегда можем записать ω как f dz , следовательно,
По двойственности Пуанкаре, γ и δ соответствуют классам когомологий γ * и δ * , которые вместе являются базисом для H 1 ( X 0 , Z ) . Отсюда следует, что ω можно записать как линейную комбинацию γ * и δ * . Коэффициенты задаются путем оценки ω относительно двойственных базисных элементов γ и δ:
Когда мы переписываем положительную определенность Q в этих терминах, мы имеем
Поскольку γ * и δ * являются целыми числами, они не изменяются при сопряжении. Более того, поскольку γ и δ пересекаются в одной точке, а одна точка является генератором H 0 , произведение чашек γ * и δ * является фундаментальным классом X 0 . Следовательно, этот интеграл равен . Интеграл строго положителен, поэтому ни A , ни B не могут быть равны нулю.
После перемасштабирования ω мы можем предположить, что матрица периодов равна (1 τ) для некоторого комплексного числа τ со строго положительной мнимой частью. Это устраняет неоднозначность, возникающую из-за действия GL(1, C ) . Действие SL(2, Z ) тогда является обычным действием модулярной группы на верхней полуплоскости. Следовательно, область периодов является сферой Римана. Это обычная параметризация эллиптической кривой как решетки.
