В математике якобиево многообразие J ( C ) неособой алгебраической кривой C рода g является пространством модулей линейных расслоений степени 0. Это связная компонента единицы в группе Пикара кривой C , следовательно, абелево многообразие .
Якобианское многообразие названо в честь Карла Густава Якоби , который доказал полную версию теоремы Абеля–Якоби , превратив утверждение об инъективности Нильса Абеля в изоморфизм. Это главно поляризованное абелево многообразие размерности g , и, следовательно, над комплексными числами это комплексный тор . Если p — точка C , то кривая C может быть отображена в подмногообразие J с заданной точкой p , отображающейся в единицу J , и C порождает J как группу .
Над комплексными числами якобиево многообразие можно реализовать как факторпространство V / L , где V — двойственное векторное пространство всех глобальных голоморфных дифференциалов на C , а L — решетка всех элементов V вида
где γ — замкнутый путь в C. Другими словами,
с встроенным в через карту выше. Это можно сделать явно с использованием тета-функций . [1]
Якобиан кривой над произвольным полем был построен Вейлем (1948) как часть его доказательства гипотезы Римана для кривых над конечным полем.
Теорема Абеля–Якоби утверждает, что построенный таким образом тор является многообразием, классическим якобианом кривой, который действительно параметризует линейные расслоения степени 0, то есть его можно отождествить с его многообразием Пикара делителей степени 0 по модулю линейной эквивалентности.
Как группа, якобианское многообразие кривой изоморфно фактору группы делителей нулевой степени по подгруппе главных делителей, т.е. делителей рациональных функций. Это справедливо для полей, которые не являются алгебраически замкнутыми , при условии, что рассматриваются делители и функции, определенные над этим полем.
Теорема Торелли утверждает, что сложная кривая определяется своим якобианом (с его поляризацией).
Задача Шоттки заключается в том, какие главнополяризованные абелевы многообразия являются якобианами кривых.
Многообразие Пикара , многообразие Альбанезе , обобщенный якобиан и промежуточные якобианы являются обобщениями якобиана для многообразий большей размерности. Для многообразий большей размерности построение многообразия якобиана как фактор пространства голоморфных 1-форм обобщается, давая многообразие Альбанезе , но в общем случае оно не обязательно должно быть изоморфно многообразию Пикара.
![{\displaystyle [\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _ {\gamma }\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5f223d670027d1ab1596db1fce4c457f489f9f)
