Группа Пикарда

В математике группа Пикара кольцевого пространства X , обозначаемая Pic( X ), представляет собой группу классов изоморфизма обратимых пучков (или линейных расслоений ) на X , с групповой операцией , являющейся тензорным произведением . Эта конструкция представляет собой глобальную версию конструкции группы классов дивизоров или группы идеальных классов и широко используется в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий .

Альтернативно, группу Пикара можно определить как группу пучковых когомологий.

H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,

Для интегральных схем группа Пикара изоморфна группе классов дивизоров Картье . Для комплексных многообразий последовательность экспоненциальных пучков дает основную информацию о группе Пикара.

Название дано в честь теорий Эмиля Пикара , в частности, о дивизорах на алгебраических поверхностях .

Примеры

Группа Пикара спектра дедекиндовой области является ее идеальной группой классов .
Обратимые пучки в проективном пространстве Pn ( k ) для k поля являются скручивающими пучками ^, поэтому группа Пикара ^Pn ( k ) изоморфна Z. ${\mathcal {O}}(м),\,$
Группа Пикара аффинной прямой с двумя началами над k изоморфна Z .
Группа Пикара -мерного комплексного аффинного пространства : действительно, экспоненциальная последовательность дает следующую длинную точную последовательность в когомологиях $п$ $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$
$\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n}, {\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{ n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{ \mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

и поскольку ^[1] мы имеем, потому что стягиваемо, то и мы можем применить изоморфизм Дольбо для вычислений по лемме Дольбо-Гротендика .

H^{k}(\mathbb {C} ^{n}, {\underline {\mathbb {Z}}})\simeq H_ {\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}( \mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )

H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z}}})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{ \underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0

\mathbb {C} ^{n}

H^{1}(\mathbb {C} ^{n}, {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb { C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })

H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb { C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^ {n})=0

Схема Пикара

Построение структуры схемы на ( представимой функторной версии) группы Пикара, схемы Пикара , является важным шагом в алгебраической геометрии, в частности в теории двойственности абелевых многообразий . Он был построен Гротендиком (1962), а также описан Мамфордом (1966) и Клейманом (2005).

В наиболее важных для классической алгебраической геометрии случаях для неособого полного многообразия V над полем нулевой характеристики связная компонента единицы в схеме Пикара представляет собой абелево многообразие , называемое многообразием Пикара и обозначаемое Pic ⁰ ( V ). Двойственным многообразию Пикара является многообразие Альбанезе , а в частном случае, когда V — кривая, многообразие Пикара естественным образом изоморфно якобиану многообразия V. Однако для полей положительной характеристики Игуса построил пример гладкой проективной поверхности S с нередуцированным Pic ⁰ ( S ) и, следовательно, не абелевым многообразием .

Фактор Pic( V )/Pic ⁰ ( V ) представляет собой конечно порожденную абелеву группу, обозначаемую NS( V ), группу Нерона – Севери группы V . Другими словами, группа Пикара укладывается в точную последовательность

{\ displaystyle 1 \ to \ mathrm {Pic} ^ {0} (V) \ to \ mathrm {Pic} (V) \ to \ mathrm {NS} (V) \ to 1. \,}

Тот факт, что ранг NS( V ) конечен, является теоремой Франческо Севери о базе ; ранг — это число Пикара V , часто обозначаемое ρ( V ) . Геометрически NS( V ) описывает классы алгебраической эквивалентности дивизоров на V ; то есть, используя более сильное нелинейное отношение эквивалентности вместо линейной эквивалентности делителей , классификация становится подходящей для дискретных инвариантов. Алгебраическая эквивалентность тесно связана с числовой эквивалентностью , по существу топологической классификацией по числам пересечений .

Относительная схема Пикара

Пусть f : X → S — морфизм схем. Относительный функтор Пикара (или относительная схема Пикара , если это схема) определяется следующим образом: ^[2] для любой S -схемы T ,

\operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))

где — базовое изменение f , а f _T^* — откат. $f_{T}:X_{T}\to T$

Мы говорим, что L in имеет степень r, если для любой геометрической точки s → T обратный образ L вдоль s имеет степень r как обратимый пучок над слоем X s ( когда степень определена _для группы Пикара X _s ). $\operatorname {Pic} _{X/S}(T)$ $s^{*}L$

Смотрите также

Примечания