В математике экспоненциальная последовательность пучков — это фундаментальная короткая точная последовательность пучков, используемая в комплексной геометрии .
Пусть M — комплексное многообразие , и обозначим O M пучок голоморфных функций на M. Пусть O M * — подпучок, состоящий из неисчезающих голоморфных функций. Оба они являются пучками абелевых групп . Экспоненциальная функция задает гомоморфизм пучка
потому что для голоморфной функции f , exp( f ) является неисчезающей голоморфной функцией, и exp( f + g ) = exp( f )exp( g ). Ее ядром является пучок 2π i Z локально постоянных функций на M, принимающих значения 2π в , где n — целое число . Последовательность экспоненциального пучка , таким образом,
Экспоненциальное отображение здесь не всегда является сюръективным отображением на сечениях; это можно увидеть, например, когда M — проколотый диск в комплексной плоскости. Экспоненциальное отображение сюръективно на стеблях : если задан росток g голоморфной функции в точке P такой, что g ( P ) ≠ 0, можно взять логарифм g в окрестности P . Длинная точная последовательность когомологий пучков показывает, что у нас есть точная последовательность
для любого открытого множества U из M. Здесь H 0 означает просто сечения над U , а когомологии пучков H 1 (2π i Z | U ) являются сингулярными когомологиями U.
Можно думать о H 1 (2π i Z | U ) как о сопоставлении целого числа с каждой петлей в U . Для каждого сечения O M * связывающий гомоморфизм с H 1 (2π i Z | U ) дает число витков для каждой петли. Таким образом, этот гомоморфизм является обобщенным числом витков и измеряет неспособность U быть стягиваемым . Другими словами, существует потенциальное топологическое препятствие для взятия глобального логарифма неисчезающей голоморфной функции, что всегда локально возможно.
Еще одним следствием последовательности является точность
Здесь H 1 ( O M *) можно отождествить с группой Пикара голоморфных линейных расслоений на M. Связывающий гомоморфизм переводит линейное расслоение в его первый класс Черна .
