K-устойчивость многообразий Фано

В математике , и в частности в алгебраической геометрии , K-устойчивость является алгебро-геометрическим условием устойчивости для проективных алгебраических многообразий и комплексных многообразий . K-устойчивость имеет особое значение для случая многообразий Фано , где она является правильным условием устойчивости, допускающим образование пространств модулей , и где она точно характеризует существование метрик Кэлера–Эйнштейна .

K-устойчивость была впервые определена для многообразий Фано Гангом Тианом в 1997 году в ответ на гипотезу Шинг-Тунг Яу от 1993 года о том, что должно существовать условие устойчивости, которое характеризует существование метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано. ^{[1] [2]} Она была определена относительно функционала K-энергии, ранее введенного Тошики Мабучи . ^[3] Определение K-устойчивости Тиана было переформулировано Саймоном Дональдсоном в 2001 году чисто алгебро-геометрическим способом. ^[4]

K-устойчивость стала важным понятием в изучении и классификации многообразий Фано. В 2012 году Сюсюн Чэнь , Дональдсон и Сун Сан , а также независимо Ган Тянь ^[5] доказали, что гладкое многообразие Фано является K-полистабильным тогда и только тогда, когда оно допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. ^{[6] [7] [8]} Позднее это было обобщено на сингулярные K-полистабильные многообразия Фано благодаря работам Бермана–Боаксома–Йонссона и других. K-устойчивость важна при построении пространств модулей многообразий Фано, где наблюдения, восходящие к первоначальному развитию геометрической теории инвариантов, показывают, что необходимо ограничиться классом стабильных объектов, чтобы сформировать хорошие модули. Теперь известно благодаря работам Чэньяна Сюй и других, что существует проективное грубое пространство модулей K-полистабильных многообразий Фано конечного типа. Эта работа опирается на доказательство Кошера Биркара ограниченности многообразий Фано, за которое он был награжден медалью Филдса 2018 года . Благодаря переформулировкам условия K-устойчивости Фудзитой–Ли и Одакой, K-устойчивость многообразий Фано может быть явно вычислена на практике. Какие многообразия Фано являются K-устойчивыми, хорошо понятно в размерности один, два и три.

Определение и характеристики

Понятие K-устойчивости для многообразий Фано изначально было определено с помощью дифференциальной геометрии Тианом, который расширил чисто аналитическое понятие инварианта Футаки векторного поля на случай некоторых нормальных многообразий с орбифолдными особенностями. ^[1] Позднее это было переформулировано в чисто алгебро-геометрической форме Дональдсоном, но это общее определение потеряло прямую связь с геометрией многообразий Фано, вместо этого имея смысл для более широкого класса всех проективных многообразий. ^[4] Работа Тиана показывает, что инвариант Дональдсона–Футаки, задающий вес -действия на центральном слое тестовой конфигурации, может быть вычислен в терминах определенных чисел пересечения (соответствующих весу действия на так называемом линейном расслоении CM). В случае Фано этим числам пересечения, которые включают антиканонический делитель многообразия и его тестовую конфигурацию, можно дать мощные альтернативные характеристики в терминах алгебраической и бирациональной геометрии многообразия Фано. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Таким образом, в случае многообразий Фано существует множество различных, но эквивалентных характеристик К-стабильности, и некоторые из этих характеристик поддаются явному вычислению или более простым доказательствам результатов.

В этом разделе все определения сформулированы в общности многообразия -Фано, которое является многообразием Фано с обильным - Картье антиканоническим дивизором и в худшем случае логтерминальными (klt) особенностями Каваматы. Определения K-стабильности могут быть сделаны для любого - Горенштейна Фано многообразия (то есть любого многообразия Фано, где антиканонический дивизор - Картье), однако Одака доказал, что каждое K-полустабильное многообразие Фано имеет в худшем случае klt особенности, поэтому для изучения K-стабильности достаточно предположить в худшем случае klt особенности. ^[9] Каждое определение может быть расширено простым способом до - логпар Фано , пары klt многообразия X и klt дивизора, такой что является обильным и -Картье. ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$ ${\displaystyle -(K_{X}+\Delta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Традиционное определение

Определение K-устойчивости для многообразия Фано или, в более общем смысле , -многообразия Фано может быть дано во многих формах. Общее определение K-устойчивости в терминах тестовых конфигураций (см. K-устойчивость для более подробной информации) может быть упрощено, если тип рассматриваемой тестовой конфигурации может быть упрощен. Например, в случае торических многообразий всегда можно взять тестовые конфигурации, которые также являются торическими, и это приводит к перехарактеризации K-устойчивости в терминах выпуклых функций на многограннике моментов торического многообразия, как было отмечено Дональдсоном в его первой статье о K-устойчивости. ^[4] В случае многообразий Фано уже в работе Тиана ^[1] подразумевалось , что можно ограничиться тестовыми конфигурациями с упрощенным центральным слоем, в том случае, когда центральный слой является нормальным многообразием . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В этом случае существует теоретико-пересеченная формула для инварианта Дональдсона–Футаки нормальной тестовой конфигурации для . Явно, тестовая конфигурация расширяется до тестовой конфигурации над комплексной проективной прямой тривиально в точке , получается формула ^{[11] [12] [13]} Относительно этого инварианта, если является -многообразием Фано, мы говорим, что является ^[10] ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,-rK_{X})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ $${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)(-K_{X})^{n}}}\left(n\left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n+1}+(n+1)K_{{\mathcal {X}}/\mathbb {P} ^{1}}\cdot \left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n}\right).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$

• K-полустабильный , если для любой нормальной тестовой конфигурации . ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$
• K-устойчиво , если для любой нормальной тестовой конфигурации , которая не изоморфна тривиальной тестовой конфигурации вне множества коразмерности 2. ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X\times \mathbb {C} ,L)}$
• Равномерно K-устойчиво, если для любой нормальной тестовой конфигурации , где — минимальная норма ^[14] тестовой конфигурации , а — равномерная константа, зависящая только от . ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle X}$
• K-нестабильно, если не является K-полустабильным. ${\displaystyle (X,L)}$

Согласно приведенным выше определениям, существуют следующие последствия:

Равномерно K-стабильный K-стабильный K-полустабильный ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Приведенные выше определения не очень подходят для ситуации, когда многообразие Фано имеет автоморфизмы. Когда пространство автоморфизмов имеет положительную размерность , Акито Футаки заметил, что существуют определенные тестовые конфигурации, построенные из автоморфизмов, которые являются «тривиальными» для перспективы проверки K-стабильности. В этом случае следует ограничиться теми тестовыми конфигурациями, которые являются эквивариантными относительно действия максимального тора , и это приводит к понятию K-полистабильности или редуцированной K-стабильности. Мы говорим, что есть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} (X)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\subset \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle X}$

• K-полистабильно , если для любой тестовой конфигурации и равенство выполняется точно тогда, когда изоморфно вне множества коразмерности 2. ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$
• Приведено равномерно K-устойчиво , если где - приведенная -норма тестовой конфигурации. ^{[14] [15] [16]} ${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \operatorname {J} }$

Что касается случая, когда группа автоморфизмов не является положительно размерной, то у нас есть следствия

Приведенный равномерно K-стабильный K-полистабильный K-полустабильный ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \implies }$

Условие равномерной устойчивости априори сильнее, чем устойчивость, поскольку оно предполагает равномерную границу выше нуля для инварианта Дональдсона–Футаки тестовой конфигурации. Однако оказывается, что в случае -многообразий Фано равномерная устойчивость фактически эквивалентна устойчивости. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теорема (Лю–Сюй–Чжуан): ^{[10] [17]}  —  (Редуцированная) равномерная K-стабильность эквивалентна K-(поли)стабильности для -многообразий Фано. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Многие результаты могут быть доказаны проще для равномерной K-стабильности, поскольку равномерная граница сильнее неоднородной, поэтому часто работают с этим определением в отличие от традиционной K-(поли)стабильности. В более общем случае поляризованного многообразия, рассмотренном в статье о K-стабильности, все еще остается открытой и важной проблемой характеризация того, как (редуцированная) равномерная K-стабильность соотносится с K-(поли)стабильностью.

Специальные конфигурации испытаний

Как упоминалось выше, иногда тип рассматриваемой тестовой конфигурации может быть упрощен. В случае многообразий Фано специальной тестовой конфигурацией является тестовая конфигурация, такая, что у нас есть рациональная эквивалентность делителей для некоторых , а центральное волокно также является -многообразием Фано. ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\sim _{\mathbb {Q} }-rK_{\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Можно доказать, что для любой тестовой конфигурации существует специальная тестовая конфигурация , такая что ^[13] ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})}$

$${\displaystyle \operatorname {DF} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})\leq \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}}).}$$

Это подразумевает, что для целей проверки K-стабильности достаточно ограничиться только рассмотрением приведенных выше определений K-стабильности для специальных тестовых конфигураций. Тот факт, что можно предположить, что центральное волокно тестовой конфигурации также является Фано, приводит к сильным связям с бирациональной геометрией и минимальной модельной программой, предоставляя ряд альтернативных характеристик K-стабильности, описанных в следующих разделах. ${\displaystyle X}$

Основная альтернативная характеристика дается в терминах другого понятия устойчивости Динга , которое является вариацией условия K-устойчивости для инварианта Динга.

$${\displaystyle \operatorname {Ding} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-{\frac {({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}})^{n+1}}{(n+1)(-K_{X})^{n}}}-1+\operatorname {lct} ({\mathcal {X}},{\mathcal {D}}_{({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})};{\mathcal {X}}_{0})}$$

где добавляется логарифмический канонический порог тестовой конфигурации. ^{[18] [19]} Инвариант Динга может быть определен только в условиях многообразий Фано. Используя этот новый инвариант вместо , можно определить каждое понятие стабильности Динга точно так же, как выше, что приводит к (полу/поли)стабильности Динга и равномерным версиям. Инвариант Динга имеет лучшие формальные свойства относительно алгебраической геометрии, чем инвариант Дональдсона–Футаки. Известно, что когда тестовая конфигурация является специальной, инвариант Динга согласуется с инвариантом Дональдсона–Футаки с точностью до постоянного множителя, и поэтому для многообразий Фано стабильность Динга эквивалентна K-стабильности. ^{[20] [21] [10]} ${\displaystyle \operatorname {DF} }$

Альфа-инвариант

Первый известный эффективный критерий для проверки K-стабильности был разработан Тианом. ^[22] Первоначально работа Тиана была направлена ​​на то, чтобы напрямую предоставить критерий существования метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано, а из более поздних работ известно, что каждое многообразие Кэлера–Эйнштейна Фано является K-полистабильным. Первоначальное определение альфа-инварианта Тианом было аналитическим по своей природе, но может быть использовано для проверки существования метрики Кэлера–Эйнштейна на практике.

Альфа-инвариант Тиана может быть определен относительно группы автоморфизмов , а альфа-инвариант соответствует концепции редуцированной K-стабильности или K-полистабильности выше. Зафиксируем -инвариантную кэлерову метрику на многообразии Фано. Определим специальный класс кэлеровых потенциалов с помощью ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \alpha _{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$

$${\displaystyle P_{G}(X,\omega )=\{\varphi \in C^{\infty }(X,\mathbb {R} )\mid \varphi {\text{ is }}G{\text{ invariant}},\sup \varphi =0,\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$$

Тогда альфа-инвариант определяется как

$${\displaystyle \alpha _{G}(X):=\sup \left\{\alpha >0\mid \exists C(\alpha )>0{\text{ such that }}\int _{X}e^{-\alpha \varphi }\omega ^{n}<C(\alpha ){\text{ for all }}\varphi \in P_{G}(X,\omega )\right\}.}$$Важность этого инварианта заключается в следующем:

Теорема: (Тянь)  —  Пусть — гладкое многообразие Фано размерности . Если альфа-инвариант , то допускает -инвариантную метрику Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X=n}$ ${\displaystyle \alpha _{G}(X)>{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Позднее Одака–Сано заметил, что альфа-инварианту можно дать чисто алгебро-геометрическое определение в терминах инфимума лог-канонического порога по всем -инвариантным линейным системам, содержащимся внутри . ^{[23] [24]} А именно, Демайи показал, что это позволяет получить чисто алгебро-геометрические доказательства существования метрик Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|-mK_{X}\right|}$ $${\displaystyle \alpha _{G}(X)=\operatorname {lct} _{G}(X)=\inf _{m\in \mathbb {Z} _{>0}}\inf _{D\sim -mK_{X}}\operatorname {lct} \left(X,{\frac {1}{m}}D\right).}$$

Бета-инвариант

Бета-инвариант тесно связан с бирациональной геометрией . Этот инвариант был разработан Фудзитой и Ли в попытке открыть характеристику K-стабильности в терминах делителей или оценок многообразия Фано . ^{[21] [25]} Эта работа была вдохновлена ​​более ранними идеями Росса–Томаса, которые пытались описать K-стабильность в терминах алгебраических инвариантов, выходящих из подсхем многообразия . ^[26] Хотя невозможно показать, что эта «наклонная» K-стабильность эквивалентна K-стабильности, переходя не просто к делителям внутри, но и к делителям внутри любой бирациональной модели над , можно получить «достаточно» объектов для точной проверки на K-стабильность. ${\displaystyle \beta _{X}(E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В частности, Фудзита понял, что понятие Росса–Томаса о наклонной K-устойчивости было ограничено только интегрированием до константы Сешадри подсхемы, где натуральный делитель при раздутии становится обильным. По контракту -инвариант интегрируется до псевдоэффективного порога, где натуральный делитель имеет положительный объем (поскольку каждый обильный делитель имеет положительный объем, псевдоэффективный порог выходит за пределы константы Сешадри). Эта дополнительная информация дает оценочному критерию Фудзиты и Ли достаточно информации, чтобы полностью охарактеризовать K-устойчивость. ${\displaystyle \beta }$

Предположим, что является нормальным многообразием с каноническим дивизором Картье . Говорят, что является дивизором над , если является дивизором, содержащимся внутри некоторого нормального многообразия, такого, что существует собственный бирациональный морфизм (например, заданный раздутием ) . [ ^27] Логарифмическое расхождение дивизора над определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu :Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A_{X}(E):=a(E,X)+1}$$

где — невязка дивизора в смысле бирациональной геометрии (см. каноническая особенность ). Невязка дивизора над определяется следующим образом. Вдали от исключительного локуса бирационального морфизма канонические дивизоры и совпадают. Поэтому их разность задается некоторой суммой простых дивизоров, содержащихся в исключительном локусе . То есть, ${\displaystyle a(E,X)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle K_{Y}-\mu ^{*}K_{X}=\sum _{i}a_{i}E_{i}}$$

где . По определению и когда не является одним из простых делителей в исключительном локусе. Логарифмическое расхождение измеряет особенности многообразия Фано. В частности, X является логтерминалом Каваматы тогда и только тогда, когда для любого над . ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a(E_{i},X)=-a_{i}}$ ${\displaystyle a(E,X)=0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{X}(E)\geq 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

Чтобы определить бета-инвариант, также необходим термин объема. Для делителя над , определите ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle S_{X}(E):={\frac {1}{(-K_{X})^{n}}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Vol} (\mu ^{*}(-K_{X})-tE)dt.}$$

Здесь объем делителя измеряет скорость, с которой его пространство секций растет по сравнению с ожидаемым измерением. А именно, где . $${\displaystyle \operatorname {Vol} (D)=\limsup _{m\to \infty }{\frac {\dim H^{0}(X,{\mathcal {O}}(mD))}{m^{n}/n!}}}$$ ${\displaystyle \dim X=n}$

Наконец, бета-инвариант был определен Фудзитой и Ли как $${\displaystyle \beta _{X}(E):=A_{X}(E)-S_{X}(E).}$$

Несмотря на сложное определение, благодаря мощным инструментам бирациональной геометрии этот инвариант может быть явно вычислен на практике для многих классов многообразий Фано, где известна структура дивизоров в их бирациональных моделях. Это часто может быть достигнуто с использованием вычислительной алгебраической геометрии или ручного вычисления.

Значимость -инварианта заключается в следующей характеристике K-стабильности, впервые обнаруженной (в одном направлении) Фудзитой и Ли независимо друг от друга. ${\displaystyle \beta }$

Теорема: (Фудзита–Ли, Блюм–Сюй)  —  Многообразие A -Фано является K-полустабильным тогда и только тогда, когда для всех делителей над . Более того, является K-стабильным тогда и только тогда, когда для всех делителей над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta _{X}(E)\geq 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta _{X}(E)>0}$ ${\displaystyle X}$

Дельта-инвариант

Дельта-инвариант можно определить как «мультипликативную» версию «аддитивного» бета-инварианта. Дельта-инвариант делителя над ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ определяется как

$${\displaystyle \delta (X,E):={\frac {A_{X}(E)}{S_{X}(E)}}.}$$

Дельта-инвариант тогда задается равномерным измерением дельта-инвариантов всех делителей над . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \delta (X):=\inf _{E{\text{ over }}X}\delta (X,E).}$$Дельта-инвариант дивизора концептуально похож на бета-инвариант, однако Фудзита–Одака заметил, что можно вычислить дельта-инвариант как предел «квантованных» дельта-инвариантов как . Квантованные дельта-инварианты можно вычислить в терминах дивизоров типа m-базиса , которые задаются выбором базисов в фиксированном конечномерном векторном пространстве . Таким образом, дельта-инвариант, как правило, более вычислим и теоретически более мощен, чем его предшественники, и с момента его введения произошел большой прогресс в явных вычислениях K-устойчивости для многообразий Фано и в теории модулей многообразий Фано. Его первоначальная важность для теории K-устойчивости отражена в следующей характеристике. ${\displaystyle \delta _{m}}$ ${\displaystyle m\to \infty }$ ${\displaystyle H^{0}(X,-mK_{X})}$

Теорема: (Фудзита–Одака, Блюм–Сюй)  —  Многообразие -Фано является K-полустабильным тогда и только тогда, когда . Более того, оно является равномерно K-стабильным тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta (X)\geq 1}$ ${\displaystyle \delta (X)>1}$

Алгебраический -инвариант может вступать в контакт с явными аналитическими свойствами метрик Кэлера–Эйнштейна. В частности, можно определить наибольшую нижнюю границу Риччи как супремум всех таких, что существует метрика Кэлера, такая что . Это предел того, как далеко можно пройти методом естественной непрерывности для решения уравнения Кэлера–Эйнштейна. Если наибольшая нижняя граница Риччи принимает значение , то можно завершить метод непрерывности, чтобы вывести существование метрики Кэлера–Эйнштейна. Оказывается, что как раз то, как далеко вы можете пройти по этому методу непрерывности, наибольшая нижняя граница Риччи, в точности задается -инвариантом . То есть, В случае торических многообразий Фано еще более геометрическая интерпретация дельта-инварианта была получена Ли. ^[28] Для такого торического Фано начало координат всегда содержится внутри многогранника моментов . Если обозначает барицентр многогранника , а обозначает точку на границе многогранника, пересекающую луч , то Ли показал, что наибольшая нижняя граница Риччи задается отношением . В частности, торическое многообразие Фано имеет тогда и только тогда, когда его барицентр является началом координат. Интерпретируя это с помощью дельта-инварианта (и, конечно, используя более ранние результаты), можно сделать вывод, что торическое многообразие Фано является K-устойчивым тогда и только тогда, когда барицентр его многогранника является началом координат. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R(X)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \omega >t\omega }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle R(X)=\min\{1,\delta (X)\}.}$$ ${\displaystyle X_{P}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle |BQ|/|OQ|}$ ${\displaystyle R(X)=1}$ ${\displaystyle P}$

Существование метрик Кэлера–Эйнштейна

С момента своего первоначального введения понятие K-устойчивости было тесно связано с существованием метрик Кэлера–Эйнштейна на многообразиях Фано. Сейчас существует много теорем, которые связывают определенные предположения о K-устойчивости с существованием решений. Эти гипотезы в широком смысле подпадают под название гипотезы Яу–Тяна–Дональдсона . ^[26] В случае многообразий Фано эта гипотеза утверждает:

Гипотеза (Яу–Тяня–Дональдсона)  —  Многообразие Фано допускает метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно является K-полистабильным.

Для многообразий Фано эта гипотеза была первоначально предложена Яу и Тианом, ^{[2] [1]} , а более общая форма была сформулирована Дональдсоном, которая выходит за рамки только случая многообразий Фано. ^[4] Тем не менее, гипотеза даже в случае Фаноса стала известна как гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона. См. K-устойчивость для более подробного обсуждения общей гипотезы.

В случае многообразий Фано гипотеза YTD допускает обобщения за пределы случая гладких многообразий, и теперь известны формы гипотезы для сингулярных многообразий Фано и логарифмических многообразий Фано .

Гладкие сорта Фано

Прямое направление гипотезы о том, что многообразие Фано с метрикой Кэлера–Эйнштейна является K-полистабильным, было доказано Тианом в его оригинальной статье, когда многообразие Фано имеет дискретную группу автоморфизмов, то есть . [ ^1] Это направление было доказано в полной общности, сняв предположение о том, что группа автоморфизмов была дискретной, Берманом. ^[19] ${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (X)\right|<\infty }$

Обратное направление гипотезы Яу–Тяня–Дональдсона было впервые разрешено в гладком случае, как указано выше, Ченом–Дональдсоном–Суном, ^{[6] [7] [8]} и в то же время Тянем. ^[5] Чен, Дональдсон и Сан утверждали, что притязание Тяня на равный приоритет для доказательства неверно, и обвиняли его в академической халатности. ^[a] Тянь оспорил их притязания. ^[b] Чен, Дональдсон и Сан были признаны престижной премией Веблена Американского математического общества 2019 года как разрешившие гипотезу. ^[29] Премия «Прорыв» присудила Дональдсону премию «Прорыв в математике» , а Сану — премию «Новые горизонты» , отчасти основанную на их работе с Ченом над гипотезой. ^{[30] [31]}

Теорема  —  Если многообразие Фано является K-полистабильным, то оно допускает метрику Кэлера–Эйнштейна.

Доказательства Чена–Дональдсона–Суна и Тиана основывались на тонком изучении пределов Громова–Хаусдорфа многообразий Фано с ограничениями кривизны Риччи . Совсем недавно доказательство, основанное на «классическом» методе непрерывности, было предоставлено Ведом Датаром и Габором Секейхиди, ^{[32] [33]} за которым последовало доказательство Чена, Сана и Бин Вана с использованием потока Кэлера–Риччи. ^[34]

Роберт Берман , Себастьен Буксом и Маттиас Йонссон также предоставили доказательство с помощью нового вариационного подхода, который интерпретирует K-устойчивость в терминах неархимедовой геометрии . ^[35] Особый интерес представляет то, что доказательство Бермана–Буксома–Йонссона применимо также к случаю гладкой логарифмической пары Фано и использует не понятие K-полиустойчивости, а равномерной K-устойчивости, введенной Дерваном и Буксомом–Хисамото–Йонссоном. ^{[14] [15]} Теперь известно, что равномерная K-устойчивость эквивалентна K-устойчивости ^[17] , и поэтому доказательство BBJ дает новое доказательство полной гипотезы YTD.

Основываясь на вариационных методах Бермана–Боаксома–Йонссона и так называемых квантованных дельта-инвариантах Фудзиты–Одаки, Чжан создал короткое квантованное доказательство гипотезы YTD для гладких многообразий Фано. ^[36]

Используя совершенно другие методы, Берман также представил доказательство гипотезы типа YTD, используя термодинамический подход, называемый равномерной устойчивостью Гиббса , где метрика Кэлера–Эйнштейна строится посредством случайного точечного процесса. ^{[37] [38]}

Особые многообразия Фано и слабые метрики Кэлера–Эйнштейна

Новое доказательство гипотезы Яу–Тиана–Дональдсона, предложенное Берманом–Боаксомом–Йонссоном с использованием вариационных методов, открыло возможность изучения K-устойчивости и метрик Кэлера–Эйнштейна для сингулярных многообразий Фано. Используемые вариационные методы опираются на равномерную K-устойчивость, как описано выше.

Результат Бермана о том, что многообразие Фано, допускающее метрику Кэлера–Эйнштейна, является K-полистабильным, был доказан в полной общности пары -log Фано, допускающей слабую метрику Кэлера–Эйнштейна. Слабая метрика Кэлера–Эйнштейна на многообразии -Фано является положительным -током , который ограничивается , чтобы дать гладкую метрику Кэлера–Эйнштейна на гладком локусе . [ ^39] Требуя совместимости с дивизором , это определение можно расширить до слабой метрики Кэлера–Эйнштейна на паре . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \theta _{\operatorname {KE} }}$ ${\displaystyle \omega _{\operatorname {KE} }}$ ${\displaystyle X_{\operatorname {reg} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$

В этой общности обратное направление гипотезы YTD было доказано Ли–Тянем–Ваном в случае, когда группа автоморфизмов дискретна, и в полной общности Ли. ^{[40] [16]}

Теорема (Ли–Тянь–Ван, Ли)  —  Пара -логарифмов Фано , которая приведена равномерно K-устойчиво, допускает слабую метрику Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$

Из решения гипотезы конечного поколения Лю–Сюй–Чжуана известно, что редуцированная равномерная K-стабильность эквивалентна K-полистабильности, поэтому в сочетании с результатом Бермана гипотеза Яу–Тяня–Дональдсона верна в полной общности для особых многообразий Фано. ^[17]

Теорема (Ли–Тянь–Ван, Ли, Берман, Лю–Сюй–Чжуан)  —  Пара -логарифмов Фано допускает слабую метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда она является K-полистабильной. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (X,\Delta )}$

Пространства модулей K-стабильных многообразий Фано

Построение пространств модулей является центральной проблемой в алгебраической геометрии. Построение модулей алгебраических кривых стимулировало развитие геометрической теории инвариантов , стеков и классификации алгебраических поверхностей, что мотивировало результаты по всей алгебраической геометрии. Случай пространств модулей канонически поляризованных многообразий был урегулирован с использованием методов, вытекающих из программы минимальной модели Коллара – Шепарда-Баррона, что привело к так называемым пространствам модулей KSB многообразий общего типа. ^[41] Ключевым свойством многообразий общего типа, которое позволяет строить модули, является отсутствие автоморфизмов таких многообразий. Это не относится к многообразиям Фано, которые часто могут иметь очень большие группы автоморфизмов, поэтому программа минимальной модели не нашла прямого применения к построению модулей многообразий Фано, и стало ясно, что K-устойчивость является правильным алгебро-геометрическим понятием, позволяющим формировать модули в этом случае. ^[10] Пространства модулей K-стабильных многообразий известны как K-модули .

Гладкий корпус

В случае гладких многообразий Фано можно использовать методы, вытекающие из гипотезы Яу–Тяна–Дональдсона, для аналитического построения пространства модулей. В частности, работа Одаки и Дональдсона, основанная на идеях компактности Громова многообразий Кэлера–Эйнштейна Фаноса, использованных в доказательстве гипотезы YTD ^[42], подразумевает существование пространств модулей гладких многообразий Фано Кэлера–Эйнштейна с дискретными группами автоморфизмов. ^{[43] [44]} Эти пространства модулей являются хаусдорфовыми и имеют в худшем случае факторсингулярности. Согласно гипотезе YTD, это альтернативно пространства модулей гладких K-полистабильных многообразий Фано с дискретными группами автоморфизмов. Однако предел Громова–Хаусдорфа гладких многообразий Фано Кэлера–Эйнштейна может привести к сингулярному -многообразию Фано, поэтому пространства модулей, описанные Одакой и Дональдсоном, не являются компактными , критерий, который часто желателен при формировании пространств модулей. Один из методов компактификации пространства модулей гладкого K-полистабильного Фаноса заключается в переходе к пространству модулей сингулярного K-полистабильного Фаноса и использовании алгебраической геометрии для доказательства его проективности. Гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона для сингулярных многообразий Фано дала бы этой компактификации альтернативную точку зрения, как состоящей из сингулярных многообразий Фано со слабыми метриками Кэлера–Эйнштейна. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Общий случай

Стандартный алгебраический метод построения пространств модулей использует геометрическую инвариантную теорию . Обычно для применения геометрической инвариантной теории Мамфорда для построения модулей необходимо вложить семейство многообразий в фиксированное конечномерное проективное пространство . Затем такое семейство определяет геометрическое место точек в соответствующей схеме Гильберта проективного пространства, которая является проективной схемой, на которую действует группа проективных автоморфизмов. Устойчивость GIT относительно этой линеаризации называется устойчивостью Гильберта . Если это место образует открытое множество, то GIT можно использовать для построения фактора, который параметризует эти объекты. В хороших обстоятельствах этот фактор может быть собственным и проективным.

Не всегда возможно вложить семейство многообразий в фиксированное проективное пространство и, следовательно, описать их модули с помощью геометрической инвариантной теории, и это особое свойство называется ограниченностью . Фундаментальным свойством многообразий Фано является то, что они не ограничены, и, таким образом, их устойчивость не может быть разумно зафиксирована какой-либо конечномерной геометрической инвариантной теорией. Это объясняет, почему K-устойчивость требует рассмотрения тестовых конфигураций, для которых относительно обильное линейное расслоение может соответствовать некоторой мощности для произвольно большого. Однако результаты Кошера Биркара показали, что некоторые семейства многообразий Фано с ограниченным снизу объемом образуют ограниченные семейства, что предполагает, что может быть возможным изучение устойчивости ограниченных по объему семейств многообразий Фано для формирования пространств модулей. За эту работу Биркар был награжден медалью Филдса в 2018 году. ^{[45] [46]} ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle L^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Цзян доказал, что K-полустабильные -многообразия Фано с ограниченным снизу объемом образуют ограниченное семейство. ^[47] Таким образом, для заданного объема существует равномерное целое число такое, что каждое K-полустабильное -многообразие Фано с антиканоническим объемом, большим или равным , допускает вложение внутрь фиксированного проективного пространства . Открытость этого локуса K-полустабильных Фано была доказана Блюмом–Лю–Сюй и Сюй. ^{[48] [49]} Это подразумевает существование стека Артина конечного типа, обозначаемого параметризующим K-полустабильные -многообразия Фано с ограниченным снизу объемом . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V>0}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$

Чтобы найти подлинное пространство модулей как проективное многообразие или схему, нужно доказать определенные свойства о S -полноте и -редуцируемости K-полустабильных многообразий Фано внутри стека . Используя свойства K-полистабильности, эти свойства стека модулей верны, и существует грубое пространство модулей для стека, которое параметризует K-полистабильные многообразия -Фано с объемом, ограниченным снизу . ^[50] Было доказано, что является собственным и что расслоение CM-линий является обильным, что означает, что грубое пространство модулей также является проективным. ^{[51] [52] [17] [10]} Результат существования для K-модулей можно суммировать в следующей теореме. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }}$ ${\displaystyle X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }}$

Теорема ^[17]  —  Существует отделимое, собственное, проективное, хорошее пространство модулей, параметризующее -мерные K-полистабильные -многообразия Фано с антиканоническим объемом, ограниченным снизу величиной . ${\displaystyle X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V>0}$

Построение пространства модулей K-полистабильных многообразий Фано может быть обобщено на случай логарифмических многообразий Фано. ^[17] Случай сингулярных -многообразий Фано, которые сглаживаются (то есть являются пределами алгебраических семейств гладких K-полистабильных многообразий Фано), был решен ранее Ли–Ваном–Сюем с использованием комбинации аналитических методов, а также с опорой на более ранние работы Одаки, Дональдсона и Кодогни–Патакфалви. ^{[43] [44] [51] [53]} Там показано, что грубое пространство модулей является схемой , но в целом результаты существования для K-модулей гарантируют только существование алгебраического пространства . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Явная K-устойчивость многообразий Фано

Явное изучение K-устойчивых многообразий Фано предшествует алгебраическому понятию K-устойчивости, и в низких размерностях представляло интерес исключительно из-за изучения многообразий Кэлера–Эйнштейна. Например, либо посредством явного построения, либо с использованием альфа-инварианта Тиана все гладкие многообразия Кэлера–Эйнштейна размерности 1 и 2 были известны до того, как было введено определение K-устойчивости. В размерности 3 и выше явные построения метрик Кэлера–Эйнштейна становятся более сложными, но достижения, вытекающие из алгебраического изучения K-устойчивости, позволили провести явные вычисления K-полистабильных трехмерных многообразий Фано и некоторых семейств многообразий более высокой размерности, а впоследствии и открыть новые многообразия Кэлера–Эйнштейна.

Измерение 1

В размерности один существует единственное гладкое многообразие Фано, комплексная проективная прямая . Легко видеть, что это многообразие является K-устойчивым из-за существования метрики Фубини–Штуди , которая является метрикой Кэлера–Эйнштейна, подразумевающей K-полистабильность . Чисто алгебро-геометрическое доказательство K-устойчивости гладких римановых поверхностей следует из работы Росса–Томаса о K-устойчивости наклона, которая эквивалентна K-устойчивости в размерности один. ^[26] В этом случае можно построить тестовые конфигурации из наборов точек на кривой, и когда кривая гладкая, никакие точки не дестабилизируются. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

Измерение 2

В размерности два пространства, которые допускают метрики Кэлера–Эйнштейна, были классифицированы Тианом. Существует 10 деформационных семейств гладких многообразий Фано в размерности два, поверхностей дель Пеццо . Используя альфа-инвариант, Тиан показал, что гладкая поверхность Фано допускает метрику Кэлера–Эйнштейна и является K-полистабильной тогда и только тогда, когда она не является раздутием комплексной проективной плоскости в одной или двух точках. ^[22] Таким образом, 8 из этих 10 классов состоят из K-полистабильных поверхностей Фано. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

K-модули поверхностей Фано изучались в явных примерах Тианом и Мабучи–Мукаи. ^{[54] [55]} Явные конструкции компактных модульных пространств поверхностей Фано Кэлера–Эйнштейна были получены Одакой–Спотти–Суном. ^[56] Эти пространства были построены как компактификации Громова–Хаусдорфа, но были отождествлены с явными алгебраическими пространствами логарифмических поверхностей Фано.

Например, Одака–Спотти–Сан доказал, что компактное пространство модулей сглаживаемых поверхностей Кэлера–Эйнштейна четвертой степени задается взвешенным проективным пространством с гладкими поверхностями Кэлера–Эйнштейна четвертой степени, соответствующими геометрическому месту , где — обильный дивизор, состоящий из точек, удовлетворяющих уравнению . ${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (1,2,3)\backslash D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle z_{1}^{2}=128z_{2}}$

Измерение 3

В размерности 3 чисто алгебраические методы могут быть использованы для поиска примеров K-устойчивых многообразий Фано, которые, как известно априори, не допускают метрики Кэлера–Эйнштейна. Классификация Исковских–Мори–Мукаи гладких трехмерных многообразий Фано ^{[57] [58] [59] [60]} обеспечивает естественный способ разложения проблемы изучения K-устойчивых трехмерных многообразий Фано на ее компоненты. Известно, что существует 105 деформационных семейств гладких трехмерных многообразий Фано, и явные вычисления с использованием бета-инварианта Фудзиты–Ли и дельта-инварианта Фудзиты–Одаки могут быть использованы для определения того, какие деформационные семейства содержат K-устойчивых представителей.

Для каждого семейства деформаций известно, является ли общий элемент семейства K-(поли)стабильным. ^[61] В частности, известно, что 78 из 105 семейств содержат K-полистабильного представителя в своем классе деформаций. Для 71 из 105 семейств известно для каждого отдельного члена класса деформаций, является ли он K-полистабильным или нет. Для многих примеров из 105 семейств деформаций K-стабильность представительных трехмерных многообразий может быть интерпретирована в терминах естественной задачи GIT, которая описывает это семейство, и поэтому явные примеры K-модулей трехмерных многообразий Фано также могут быть найдены как факторы GIT.

Для некоторых классов трехмерных многообразий Фано проблема классификации остается открытой. Например, известно, что трехмерное многообразие Мукаи–Умемура ^[62] в классе деформаций допускает метрику Кэлера–Эйнштейна и, следовательно, является K-полистабильным по работе Дональдсона, который явно вычислил альфа-инвариант Тиана, используя указанный выше критерий. ^[63] Это многообразие имеет недискретную группу автоморфизмов , и неизвестно, какие из соседних деформаций также являются K-полистабильными. Предполагается, что деформации, соответствующие GIT-полистабильным точкам в версальном пространстве деформаций, должны соответствовать близлежащим K-полистабильным многообразиям. ^{[64] [65]} ${\displaystyle X_{\operatorname {MU} }}$ ${\displaystyle V_{22}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X_{\operatorname {MU} }}$ ${\displaystyle \mathbb {X} _{\operatorname {MU} }}$

Более высокие измерения

Первым и простейшим примером K-полистабильного многообразия Фано в любой размерности является комплексное проективное пространство , которое всегда допускает метрику Фубини–Штуди , которая является метрикой Кэлера–Эйнштейна в любой размерности, и поэтому все проективные пространства являются K-полистабильными.

В общем случае таких «очевидных» метрик Кэлера–Эйнштейна в высших размерностях не так много, и для поиска примеров необходимо использовать современные методы устойчивости. Для некоторых семейств многообразий Фано K-устойчивость может быть доказана в высших размерностях с использованием либо аналитических методов через альфа-инвариант, либо чисто алгебро-геометрических методов с бета- или дельта-инвариантами. Например, гиперповерхность Ферма — это многообразие вида Эти гиперповерхности являются гладкими многообразиями Фано с дискретной группой автоморфизмов для , и Тиан с помощью альфа-инварианта доказал, что подразумевая допускает метрику Кэлера–Эйнштейна для , и с помощью более подробных аргументов Тиан доказал существование метрики Кэлера–Эйнштейна при . ^{[22] [66]} С другой стороны, с помощью дельта-инварианта Чжуан дал полностью алгебраическое доказательство, которое является K-устойчивым для и, следовательно, допускает метрику Кэлера–Эйнштейна в этих случаях. ^[67] Используя результаты открытости для равномерной K-стабильности и K-полустабильности, можно заключить из этого, что общая гладкая гиперповерхность степени внутри является K-стабильной. В некоторых случаях на самом деле известно, что все гиперповерхности степени являются K-стабильными, например, все гладкие гиперповерхности в . ^[10] $${\displaystyle F_{n,d}=\left\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots +z_{n+1}^{d}=0\right\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}.}$$ ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle \alpha _{G}(F_{n,d})>{\frac {2}{n+2-d}}}$ ${\displaystyle F_{n,d}}$ ${\displaystyle n\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle d\leq n}$ ${\displaystyle F_{n,d}}$ ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle 3\leq d\leq n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=n,n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+1}}$

В дополнение к изучению конкретных многообразий Фано, в определенных условиях K-модули могут быть явно описаны в более высоких измерениях. Например, когда K-модули допускают «очевидную» интерпретацию GIT, алгебраические инструменты бета- или дельта-инвариантов могут быть использованы для проверки того, что устойчивость GIT эквивалентна устойчивости K для этой конкретной задачи. Например, Лю показал, что для кубических четырехмерных гиперповерхностей в пространство модулей GIT (возможно, сингулярных) кубических четырехмерных многообразий изоморфно пространству K-модулей, и, таким образом, можно получить явное описание K-стабильных, K-полистабильных и K-полустабильных кубических четырехмерных многообразий в терминах их устойчивости GIT и структуры сингулярности. ^[68] В частности, каждое гладкое кубическое четырехмерное многообразие является K-стабильным. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{5}}$

Ссылки

1. Tian, ​​Gang (1997). «Метрики Кэлера–Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Inventiones Mathematicae . 130 (1): 1–37. Bibcode :1997InMat.130....1T. doi :10.1007/s002220050176. MR  1471884. S2CID  122529381.
2. Yau, Shing-Tung (1993). "Открытые проблемы в геометрии". Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990) . Труды симпозиумов по чистой математике. Т. 54. С. 1–28. doi :10.1090/pspum/054.1/1216573. ISBN 9780821814949. МР  1216573.
3. Мабучи, Тошики (1986). «Отображения K-энергии, интегрирующие инварианты Футаки». Tohoku Mathematical Journal . 38 (4). doi : 10.2748/tmj/1178228410 . S2CID  122723602.
4. Дональдсон, Саймон К. (2002). «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 62 (2): 289–349. doi : 10.4310/jdg/1090950195 .
5. Tian, ​​Gang (2015). «K-устойчивость и метрики Кэлера-Эйнштейна». Сообщения по чистой и прикладной математике . 68 (7): 1085–1156. arXiv : 1211.4669 . doi : 10.1002/cpa.21578. S2CID  119303358.
6. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями». Журнал Американского математического общества . 28 : 183–197. arXiv : 1211.4566 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. S2CID  119641827.
7. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π». Журнал Американского математического общества . 28 : 199–234. arXiv : 1212.4714 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. S2CID  119140033.
8. Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon ; Sun, Song (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Пределы при приближении угла конуса к 2π и завершение основного доказательства». Журнал Американского математического общества . 28 : 235–278. arXiv : 1302.0282 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. S2CID  119575364.
9. Одака, Юдзи (2013). «Устойчивость поляризованных многообразий с точки зрения GIT через несоответствие». Annals of Mathematics . 177 (2): 645–661. doi : 10.4007/annals.2013.177.2.6. hdl : 2433/173546 . S2CID  16704210.
10. Сюй, Чэньян (2021). «K-стабильность многообразий Фано: алгебро-геометрический подход». EMS-обзоры по математическим наукам . 8 : 265–354. arXiv : 2011.10477 . дои : 10.4171/emss/51. S2CID  204829174.
11. Ван, Сяовэй (2012). «Рост и вес ЖКТ». Mathematical Research Letters . 19 (4): 909–926. doi : 10.4310/MRL.2012.V19.N4.A14 . S2CID  11990163.
12. Одака, Юдзи (март 2013 г.). «Обобщение теории наклона Росса--Томаса». Osaka Journal of Mathematics . 50 (1): 171–185. arXiv : 0910.1794 . MR  3080636.
13. Li, Chi; Xu, Chenyang (2014). «Специальная тестовая конфигурация и K-устойчивость многообразий Фано». Annals of Mathematics . 180 (1): 197–232. arXiv : 1111.5398 . doi : 10.4007/annals.2014.180.1.4. JSTOR  24522921. S2CID  54927428.
14. Dervan, Ruadhaí (2016). «Равномерная устойчивость скрученных кэлеровых метрик постоянной скалярной кривизны». International Mathematics Research Notices . 2016 (15): 4728–4783. arXiv : 1412.0648 . doi : 10.1093/imrn/rnv291. S2CID  119696165.
15. Буксом, Себастьян; Хисамото, Томоюки; Йонссон, Маттиас (2017). «Равномерная K-стабильность, меры Дуйстермаата – Хекмана и особенности пар». Анналы Института Фурье . 67 (2): 743–841. arXiv : 1504.06568 . дои : 10.5802/aif.3096 . S2CID  119710596.
16. Li, Chi (2022). "G-равномерная устойчивость и метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразиях Фано". Inventiones Mathematicae . 227 (2): 661–744. Bibcode :2022InMat.227..661L. doi :10.1007/s00222-021-01075-9. S2CID  253743315.
17. Лю, Юйчэнь; Сюй, Чэньян; Чжуан, Цзыцюань (2022). «Конечная генерация для оценок, вычисляющих пороги устойчивости и приложения к K-устойчивости». Annals of Mathematics . 196 (2). arXiv : 2102.09405 . doi : 10.4007/annals.2022.196.2.2. S2CID  231951761.
18. Дин, Вэй-Юэ (1988). «Замечания о проблеме существования положительных метрик Кэлера-Эйнштейна». Математические Аннален . 282 (3): 463–472. дои : 10.1007/BF01460045. S2CID  121251799.
19. Берман, Роберт Дж. (2016). «K-полистабильность многообразий Q-Фано, допускающих метрики Кэлера-Эйнштейна». Математические изобретения . 203 (3): 973–1025. arXiv : 1205.6214 . Бибкод : 2016InMat.203..973B. дои : 10.1007/S00222-015-0607-7. S2CID  119171028.
20. Берман, Роберт; Боуксом, Себастьен; Йонссон, Маттиас (2021). «Вариационный подход к гипотезе Яу–Тиана–Дональдсона». Журнал Американского математического общества . 34 (3): 605–652. arXiv : 1509.04561 . doi : 10.1090/jams/964. S2CID  119323049.
21. Фудзита, Кенто (2019). «Оценочный критерий равномерной K-стабильности многообразий Q-Фано». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 2019 (751): 309–338. doi : 10.1515/crelle-2016-0055. S2CID  125279282.
22. Tian, ​​Gang (1987). «О метриках Кэлера-Эйнштейна на некоторых кэлеровых многообразиях с C1 (M)> 0». Inventiones Mathematicae . 89 (2): 225–246. Bibcode :1987InMat..89..225T. doi :10.1007/BF01389077. S2CID  122352133.
23. Чельцов, Иван А.; Шрамов, Константин А. (2008). "Лог-канонические пороги гладких трехмерных многообразий Фано. (с приложением JP Demailly)". Математические обзоры . 63 (5): 859–958. arXiv : 0806.2107 . Bibcode :2008RuMaS..63..859C. doi :10.1070/RM2008v063n05ABEH004561. S2CID  250734917.
24. Одака, Юдзи; Сано, Юдзи (2012). «Альфа-инвариант и K-устойчивость многообразий Q-Фано». Успехи в математике . 229 (5): 2818–2834. doi : 10.1016/j.aim.2012.01.017 .
25. Ли, Чи (2017). «K-полуустойчивость — это минимизация эквивариантного объема». Duke Mathematical Journal . 166 (16): 3147–3218. arXiv : 1512.07205 . doi : 10.1215/00127094-2017-0026. S2CID  119164357.
26. Росс, Джулиус; Томас, Ричард (2006). «Исследование критерия Гильберта-Мамфорда для стабильности проективных многообразий». Журнал алгебраической геометрии . 16 (2): 201–255. arXiv : math/0412519 . doi :10.1090/S1056-3911-06-00461-9. S2CID  15621023.
27. Коллар, Янос; Мори, Шигефуми (1998). Бирациональная геометрия алгебраических многообразий. (В сотрудничестве с CH Clemens и A. Corti; Перевод с японского оригинала 1998 года.) . Cambridge Tracts in Mathematics, т. 134. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511662560. ISBN 9780521632775.
28. Ли, Чи (2011). «Наибольшие нижние границы кривизны Риччи для торических многообразий Фано». Advances in Mathematics . 226 (6): 4921–4932. arXiv : 0909.3443 . doi : 10.1016/j.aim.2010.12.023. S2CID  17406071.
29. "Премия Освальда Веблена по геометрии 2019 года — Сюсюн Чену, Саймону Дональдсону и Сун Суню". Американское математическое общество . 2018-11-19 . Получено 2019-04-09 .
30. Саймон Дональдсон «За новые революционные инварианты четырехмерных многообразий и за изучение связи между устойчивостью в алгебраической геометрии и глобальной дифференциальной геометрии, как для расслоений, так и для многообразий Фано».
31. Премия за прорыв в области математики 2021 г.
32. Székelyhidi, Gábor (2015). «Частичная 𝐶⁰-оценка по методу непрерывности». Журнал Американского математического общества . 29 (2): 537–560. arXiv : 1310.8471 . doi : 10.1090/jams/833.
33. Datar, Ved; Székelyhidi, Gábor (2016). «Метрики Кэлера–Эйнштейна вдоль метода гладкой непрерывности». Геометрический и функциональный анализ . 26 (4): 975–1010. arXiv : 1506.07495 . doi :10.1007/s00039-016-0377-4. S2CID  253643887.
34. Чэнь, Сюсюн; Сан, Сун; Ван, Бин (2018). «Поток Кэлера–Риччи, метрика Кэлера–Эйнштейна и K–устойчивость». Геометрия и топология . 22 (6): 3145–3173. arXiv : 1508.04397 . doi :10.2140/gt.2018.22.3145. MR  3858762. S2CID  5667938.
35. Берман, Роберт; Боуксом, Себастьен; Йонссон, Маттиас (2021). «Вариационный подход к гипотезе Яу–Тиана–Дональдсона». Журнал Американского математического общества . 34 (3): 605–652. arXiv : 1509.04561 . doi : 10.1090/jams/964. MR  4334189. S2CID  119323049.
36. Чжан, Кэвэй (2021). «Доказательство квантования однородной гипотезы Яу-Тяня-Дональдсона». arXiv : 2102.02438 [math.DG].
37. Берман, Роберт Дж. (2021). «Возникающая комплексная геометрия». arXiv : 2109.00307 [math.DG].
38. Берман, Роберт Дж. (2021). «Вероятностный подход против квантования в геометрии Кэлера-Эйнштейна». arXiv : 2109.06575 [math.DG].
39. Берман, Роберт Дж.; Буксом, Себастьян; Эйссидье, Филипп; Гедж, Винсент; Зериахи, Ахмед (2019). «Метрики Кэлера – Эйнштейна и поток Кэлера – Риччи на лог-многообразиях Фано». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 2019 (751): 27–89. arXiv : 1111.7158 . doi : 10.1515/crelle-2016-0033. S2CID  117773575.
40. Ли, Чи; Тянь, Ган; Ван, Фэн (2022). «Единая версия гипотезы Яу–Тяня–Дональдсона для особых многообразий Фано». Peking Mathematical Journal . 5 (2): 383–426. arXiv : 1903.01215 . doi : 10.1007/s42543-021-00039-5. S2CID  119597695.
41. Коллар, Янош (2013). «Модули многообразий общего типа». Справочник по модулям II . Расширенные лекции по математике, том 25. International Press of Boston, Inc., стр. 131–157. arXiv : 1008.0621 . ISBN 9781571462589.
42. Дональдсон, Саймон; Сан, Сонг (2014). «Громовско-Хаусдорфовы пределы кэлеровых многообразий и алгебраическая геометрия». Acta Mathematica . 213 (1): 63–106. arXiv : 1206.2609 . doi :10.1007/s11511-014-0116-3. MR  3261011.
43. Odaka, Yuji (2013). «О модулях многообразий Кэлера-Эйнштейна Фано». Труды симпозиума по алгебраической геометрии Киносаки 2013 г. . 2013 : 112–126. arXiv : 1211.4833v4 . hdl :2433/214993.
44. Donaldson, Simon (2014). «Алгебраические семейства метрик Кэлера постоянной скалярной кривизны». Surveys in Differential Geometry . 19 : 111–137. arXiv : 1503.05174 . doi :10.4310/SDG.2014.V19.N1.A5. S2CID  55804000.
45. Биркар, Коше (2021). «Особенности линейных систем и ограниченность многообразий Фано». Annals of Mathematics . 193 (2): 347–405. arXiv : 1609.05543 . doi : 10.4007/annals.2021.193.2.1. S2CID  119321649.
46. Биркар, Коше (2019). «Анти-плюриканонические системы на многообразиях Фано». Annals of Mathematics . 190 (2): 345–463. arXiv : 1603.05765 . doi : 10.4007/annals.2019.190.2.1. S2CID  118681524.
47. Чэнь Цзян (2020). «Ограниченность многообразий Q-Фано со степенями и альфа-инвариантами, ограниченными снизу». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 53 (5): 1235–1248. arXiv : 1705.02740 . дои : 10.24033/ASENS.2445. S2CID  119573030.
48. Блюм, Гарольд; Лю, Юйчэнь; Сюй, Чэньян (2022). «Открытость K-полустабильности для многообразий Фано». Duke Mathematical Journal . arXiv : 1907.02408 . doi :10.1215/00127094-2022-0054. S2CID  195798735.
49. Сюй, Чэньян (2020). «Минимизирующая оценка является квазимономиальной». Annals of Mathematics . 191 (3): 1003–1030. arXiv : 1907.01114 . doi : 10.4007/annals.2020.191.3.6. S2CID  195776122.
50. Альпер, Джарод; Блюм, Гарольд; Халперн-Лейстнер, Дэниел; Сюй, Чэньян (2020). «Редуктивность группы автоморфизмов K-полистабильных многообразий Фано». Inventiones Mathematicae . 222 (3): 995–1032. arXiv : 1906.03122 . Bibcode : 2020InMat.222..995A. doi : 10.1007/s00222-020-00987-2. hdl : 1721.1/128467. S2CID  174801745.
51. Codogni, Giulio; Patakfalvi, Zsolt (2021). "Положительность линейного расслоения CM для семейств K-стабильных многообразий Фано KLT". Inventiones Mathematicae . 223 (3): 811–894. arXiv : 1806.07180 . Bibcode : 2021InMat.223..811C. doi : 10.1007/s00222-020-00999-y . S2CID  221103611.
52. Сюй, Чэньян; Чжуан, Цзыцюань (2020). «О положительности линейного расслоения CM на пространствах K-модулей». Annals of Mathematics . 192 (3): 1005–1068. arXiv : 1912.12961 . doi : 10.4007/annals.2020.192.3.7. S2CID  209515305.
53. Ли, Чи; Ван, Сяовэй; Сюй, Чэньян (2019). «О собственных пространствах модулей сглаживаемых многообразий Кэлера–Эйнштейна Фано». Duke Mathematical Journal . 168 (8): 1387–1459. arXiv : 1411.0761 . doi :10.1215/00127094-2018-0069. S2CID  119132164.
54. Тянь, Ганг (1992). «О стабильности касательных расслоений многообразий Фано». International Journal of Mathematics . 03 (3): 401–413. doi :10.1142/S0129167X92000175.
55. Mabuchi, Toshiki; Mukai, Shigeru (2020). «Устойчивость и метрика Эйнштейна-Кэлера поверхности четвертого порядка дель Пеццо». Метрики Эйнштейна и связи Янга-Миллса . С. 133–160. doi :10.1201/9781003071891-11. ISBN 9781003071891. S2CID  230646451.
56. Одака, Юдзи; Спотти, Кристиано; Сан, Сонг (2016). «Компактные пространства модулей поверхностей дель Пеццо и метрики Кэлера–Эйнштейна». Журнал дифференциальной геометрии . 102. arXiv : 1210.0858 . doi : 10.4310/JDG/1452002879. S2CID  119131051.
57. Исковских, ВА (1977). «Трехмерные многообразия Фано. I». Математика СССР-Известия . 11 (3): 485–527. Bibcode :1977IzMat..11..485I. doi :10.1070/IM1977v011n03ABEH001733.
58. Исковских, ВА (1978). "Fano 3-Folds. II". Математика СССР-Известия . 12 (3): 469–506. Bibcode :1978IzMat..12..469I. doi :10.1070/IM1978v012n03ABEH001994.
59. Мори, Сигэфуми; Мукаи, Сигэру (1981). «Классификация трехмерных многообразий Фано с B2 ⩾ 2». Манускрипта Математика . 36 (2): 147–162. дои : 10.1007/BF01170131. S2CID  189831516.
60. Мори, Сигэфуми; Мукаи, Сигэру (2003). «Классификация трехмерных многообразий Фано с B2 ⩾ 2 (ошибка)». Манускрипта Математика . 110 (3): 407. doi :10.1007/s00229-002-0336-2. S2CID  121266346.
61. Араужо, К.; Кастравет, А.-М; Чельцов И.; Фудзита, К.; Калогирос, А.-С; Мартинес-Гарсия, Дж.; Шрамов, К.; Зюсс, Х.; Вишванатан, Н. (11 июня 2021 г.). Задача Калаби для гладких трехмерных многообразий Фано (Препринт). Серия препринтов Института Макса Планка. Институт математики Макса Планка., Араужо, Каролина; Кастравет, Ана-Мария; Чельцов Иван; Фудзита, Кенто; Калогирос, Анн-Софи; Мартинес-Гарсия, Хесус; Шрамов, Константин; Зюсс, Хендрик; Вишванатан, Ниведита (2023). Задача Калаби для трехмерных многообразий Фано (в печати). Серия лекций Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/9781009193382. ISBN 9781009193399. S2CID  259800922.
62. Мукаи, Сигеру; Умемура, Хироси (1983). «Минимальные рациональные трехмерные многообразия». Алгебраическая геометрия . Заметки лекций по математике. Том 1016. С. 490–518. doi :10.1007/BFb0099976. ISBN 978-3-540-12685-0.
63. Дональдсон, С. (2007). «Заметка об α-инварианте 3-мерного множества Мукаи-Умэмура». arXiv : 0711.4357 [math.DG].
64. Дональдсон, С. (2008). "Геометрия Кэлера на торических многообразиях и некоторых других многообразиях с большой симметрией". Справочник по геометрическому анализу № 1. Расширенные лекции по математике, том 7. International Press of Boston, Inc., стр. 29–75. arXiv : 0803.0985 . ISBN 9781571461308. MR  2483362. S2CID  17369069.
65. Секелихиди, Габор (2010). «Поток Кэлера-Риччи и K-полистабильность». Американский журнал математики . 132 (4): 1077–1090. arXiv : 0803.1613 . дои : 10.1353/ajm.0.0128. JSTOR  40864469. S2CID  16079530.
66. Тиан, Банда (2000). Канонические метрики в кэлеровой геометрии. Заметки сделаны Майке Аквельдом . Лекции по математике. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. дои : 10.1007/978-3-0348-8389-4. ISBN 978-3-7643-6194-5. S2CID  120250582.
67. Чжуан, Цзыцюань (2021). «Оптимальные дестабилизирующие центры и эквивариантная K-стабильность». Inventiones Mathematicae . 226 (1): 195–223. arXiv : 2004.09413 . Bibcode : 2021InMat.226..195Z. doi : 10.1007/s00222-021-01046-0. hdl : 1721.1/136852.2. S2CID  215827850.
68. Лю, Юйчэнь (2022). «K-стабильность кубических четверок». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля) . 2022 (786): 55–77. arXiv : 2007.14320 . doi : 10.1515/crelle-2022-0002. S2CID  220831185.

Примечания

1. Сюсюн Чен, Саймон Дональдсон, Сун Сан. «О некоторых последних достижениях в геометрии Кэлера».
2. Ган Тянь. «Ответ на CDS» и «Еще комментарии по CDS».