Переписка Кобаяши–Хитчина

Теорема о векторных расслоениях

В дифференциальной геометрии , алгебраической геометрии и калибровочной теории соответствие Кобаяши –Хитчина (или теорема Дональдсона–Уленбека–Яу ) связывает стабильные векторные расслоения над комплексным многообразием с векторными расслоениями Эйнштейна–Эрмитова . Соответствие названо в честь Сёсичи Кобаяши и Найджела Хитчина , которые независимо друг от друга в 1980-х годах предположили, что пространства модулей стабильных векторных расслоений и векторных расслоений Эйнштейна–Эрмитова над комплексным многообразием по сути одинаковы. ^{[1] [2]}

Это было доказано Саймоном Дональдсоном для проективных алгебраических поверхностей и позднее для проективных алгебраических многообразий , ^{[3] [4]} Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу для компактных кэлеровых многообразий , ^[5] и независимо Бухдалем для некэлеровых компактных поверхностей, а также Цзюнем Ли и Яу для произвольных компактных комплексных многообразий. ^{[6] [7]}

Теорему можно считать обширным обобщением теоремы Нарасимхана–Сешадри , касающейся случая компактных римановых поверхностей , и она оказала влияние на развитие дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и калибровочной теории с 1980-х годов. В частности, соответствие Хитчина–Кобаяши вдохновило гипотезы, ведущие к неабелеву соответствию Ходжа для расслоений Хиггса , а также гипотезу Яу–Тяна–Дональдсона о существовании метрик Кэлера–Эйнштейна на многообразиях Фано и гипотезу Томаса–Яу о существовании специальных лагранжианов внутри изотопических классов лагранжевых подмногообразий многообразия Калаби–Яу . ^[8]

История

В 1965 году М. С. Нарасимхан и Ч. С. Сешадри доказали теорему Нарасимхана–Сешадри , которая связывает стабильные голоморфные (или алгебраические) векторные расслоения над компактными римановыми поверхностями (или неособыми проективными алгебраическими кривыми) с проективными унитарными представлениями фундаментальной группы римановой поверхности. ^{[9] В 1970-х годах} Майклом Атья , Раулем Боттом , Хитчином и другими было осознано , что такая теория представлений фундаментальной группы может быть понята в терминах связностей Янга–Миллса , понятий, возникших из современной тогда математической физики. Вдохновленная теоремой Нарасимхана–Сешадри, примерно в это же время возникла фольклорная гипотеза о том, что наклонные полистабильные векторные расслоения допускают эрмитовы связности Янга–Миллса . Это частично связано с аргументом Федора Богомолова и успехом работы Яу по построению глобальных геометрических структур в геометрии Кэхлера . Эта гипотеза была впервые явно высказана Кобаяши и Хитчином независимо в начале 1980-х годов. ^{[1] [2]}

Явная связь между связностями Янга–Миллса и стабильными векторными расслоениями была конкретизирована в начале 1980-х годов. Прямое соответствие, когда размерность базового комплексного многообразия равна единице, было объяснено в работе Атьи и Ботта в 1982 году по уравнениям Янга–Миллса над компактными римановыми поверхностями, а также в новом доказательстве Дональдсона теоремы Нарасимхана–Сешадри с точки зрения калибровочной теории в 1983 году. ^{[10] [11]} В этой постановке эрмитову связность Янга–Миллса можно было просто понимать как (проективно) плоскую связность над римановой поверхностью. Понятие связности Эрмита–Эйнштейна для векторного расслоения над многообразием более высокой размерности было сформулировано Кобаяши в 1980 году, а в 1982 году он показал в общем случае, что векторное расслоение, допускающее такую ​​связность, является наклонно-устойчивым в смысле Мамфорда . ^{[12] [13]}

Более сложное направление доказательства существования метрик Эрмита–Эйнштейна на стабильных голоморфных векторных расслоениях над комплексными многообразиями размерности больше единицы быстро последовало в 1980-х годах. Вскоре после предоставления нового доказательства теоремы Нарасимхана–Сешадри в комплексной размерности один Дональдсон доказал существование для алгебраических поверхностей в 1985 году. ^[3] В следующем году Уленбек –Яу доказал существование для произвольных компактных кэлеровых многообразий, используя метод непрерывности. ^[5] Вскоре после этого Дональдсон предоставил второе доказательство, специально разработанное для случая проективных алгебраических многообразий, используя теорию детерминантных расслоений и метрику Квиллена . ^[4] Благодаря их работе соответствие Кобаяши–Хитчина часто также называют теоремой Дональдсона–Уленбека–Яу. В 2019 году Карен Уленбек была удостоена премии Абеля отчасти за ее работу о существовании метрик Эрмита–Эйнштейна, а также за ее вклад в ключевые аналитические методы, лежащие в основе доказательства теоремы. ^[14]

В конце 1980-х годов внимание переключилось на установление соответствия не только в случае компактных кэлеровых многообразий, но и для произвольных компактных комплексных многообразий. В этой ситуации есть трудности даже в определении понятия устойчивости. Для некэлеровых многообразий необходимо использовать метрику Годушона для определения устойчивости, но это не является ограничением, поскольку каждая метрика на компактном комплексном многообразии конформна метрике Годушона. В 1987 году существование на произвольных компактных комплексных поверхностях было показано Бухдалем, а вскоре после этого для произвольных компактных комплексных многообразий — Ли–Яу. ^{[6] [7]}

Заявление

Соответствие Кобаяши–Хитчина касается существования эрмитовых связностей Янга–Миллса (или метрик Эрмита–Эйнштейна) на голоморфных векторных расслоениях над компактными комплексными многообразиями. В этом разделе будут представлены точные понятия для задания компактных кэлеровых многообразий. ^{[15] [16] [17]}

Стабильные векторные расслоения

Понятие устойчивости было введено в алгебраическую геометрию Мамфордом в его работе по геометрической теории инвариантов с целью построения пространств модулей различных геометрических объектов. ^[18] Мамфорд применил эту новую теорию векторных расслоений для разработки понятия устойчивости наклона . ^[19]

Определим степень голоморфного векторного расслоения над компактным кэлеровым многообразием как целое число ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$

${\displaystyle \mathrm {deg} (E):=(c_{1}(E)\cup [\omega ]^{n-1})[X]}$

где - первый класс Черна . Наклон - это рациональное число, определяемое формулой ${\displaystyle c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)}$

${\displaystyle \mu (E):={\frac {\mathrm {deg} (E)}{\mathrm {rank} (E)}}.}$

Можно расширить определение наклона на любой аналитический когерентный пучок над . А именно, в алгебраической постановке ранг и степень когерентного пучка закодированы в коэффициентах его полинома Гильберта , и выражения для этих величин могут быть расширены простым способом на постановку кэлеровых многообразий, которые не являются проективными, заменив обильное линейное расслоение классом кэлера, а пары пересечений — интегралами. ${\displaystyle (X,\omega )}$

Голоморфное векторное расслоение называется наклонно-устойчивым (соответственно наклонно-полуустойчивым ), если для всех собственных, ненулевых когерентных подпучков с выполняется следующее неравенство: ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset E}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {rk} ({\mathcal {F}})<\operatorname {rk} (E)}$

${\displaystyle \mu ({\mathcal {F}})<\mu (E)\quad {\text{(resp. }}\leq {\text{)}}.}$

Векторные расслоения являются наклонно-полистабильными, если они изоморфны прямой сумме стабильных голоморфных векторных расслоений того же наклона. Векторные расслоения являются наклонно-нестабильными, если они не являются наклонно-полустабильными.

Связь Эрмита Янга – Миллса

Понятие эрмитовой связности Янга–Миллса является спецификацией связности Янга–Миллса для случая эрмитового векторного расслоения над комплексным многообразием. Можно сформулировать определение в терминах либо самой эрмитовой метрики, либо связанной с ней связности Черна , и эти два понятия по сути эквивалентны с точностью до калибровочного преобразования. Если задано эрмитово векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием, эрмитова связность Янга–Миллса является унитарной связностью для эрмитовой метрики, которая удовлетворяет ${\displaystyle (E,h)\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}.\end{cases}}}$

Условие, которое подразумевает, что дифференциальный оператор является оператором Дольбо для голоморфной структуры на эрмитовом векторном расслоении , и что само по себе является связностью Черна для этой голоморфной структуры. Константа зависит только от топологии , и может быть вычислена как ${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$ ${\displaystyle \nabla _{A}^{0,1}}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{(n-1)!\mathrm {vol} (X)}}\mu (E).}$

Если вместо этого начать с голоморфного векторного расслоения и варьировать выбор эрмитовой метрики, то решение приведенных выше уравнений, где — связность Черна эрмитовой метрики, называется метрикой Эрмита–Эйнштейна . ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle A}$

Переписка

Здесь мы приводим утверждение о соответствии Кобаяши–Хитчина для произвольных компактных комплексных многообразий, случай, когда приведенные выше определения устойчивости и специальных метрик могут быть легко расширены.

Теорема (Дональдсона–Уленбека–Яу, Бухдаля, Ли–Яу): Голоморфное векторное расслоение над компактным комплексным многообразием с метрической 2-формой допускает метрику Эрмита–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно полистабильно по наклону. ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Если вместо этого ограничиться неприводимыми голоморфными векторными расслоениями, то наклонную полистабильность можно заменить наклонной устойчивостью. Соответствие Кобаяши–Хитчина подразумевает не просто биекцию множеств наклонных полистабильных векторных расслоений и метрик Эрмита–Эйнштейна, но и изоморфизм пространств модулей . А именно, два полистабильных голоморфных векторных расслоения являются биголоморфными тогда и только тогда, когда существует калибровочное преобразование, переводящее соответствующие метрики Эрмита–Эйнштейна из одного в другой, и отображение, переводящее метрику Эрмита–Эйнштейна в ее соответствующее полистабильное векторное расслоение, непрерывно относительно взятия последовательностей эрмитовых метрик и голоморфных векторных расслоений в соответствующих топологиях. Таким образом, можно сформулировать соответствие следующим образом: ${\displaystyle h\mapsto E}$

Теорема (версия для пространства модулей): Существует гомеоморфизм пространства модулей полистабильных голоморфных векторных расслоений над с фиксированной базовой гладкой структурой с точностью до биголоморфизма и пространства модулей метрик Эрмита–Эйнштейна на комплексном векторном расслоении с точностью до калибровочного преобразования. ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle E\to (X,\omega )}$ ${\displaystyle E}$

Одно направление доказательства соответствия Кобаяши–Хитчина, устойчивость голоморфного векторного расслоения, допускающего метрику Эрмита–Эйнштейна, является относительно простым применением принципа эрмитовой геометрии, согласно которому кривизна убывает в голоморфных подрасслоениях . Кобаяши и Любке предоставили доказательства этого направления. ^{[12] [20]} Основная трудность в этом направлении состоит в том, чтобы показать устойчивость относительно когерентных подпучков, которые не являются локально свободными, и для этого Кобаяши доказал теорему об исчезновении для сечений векторных расслоений Эрмита–Эйнштейна.

Более сложное направление демонстрации существования метрики Эрмита–Эйнштейна на наклонно-полистабильном векторном расслоении требует сложных методов геометрического анализа . Многие из этих методов основаны на идеях, разработанных Яу в его доказательстве гипотезы Калаби , а также на важной работе Уленбек по гармоническим отображениям в 1970-х годах и ее важных аналитических результатах о связях Янга–Миллса с начала 1980-х годов. Уленбек и Яу доказали общий случай соответствия, применив метод непрерывности и показав, что препятствие к завершению этого метода непрерывности можно охарактеризовать именно аналитическим когерентным подпучком, с которым наклонно-дестабилизирует векторное расслоение. Эти методы были построены Бухдалем и Ли–Яу в условиях, когда 2-форма не замкнута, так что компактное комплексное многообразие не является кэлеровым. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \omega }$

Обобщения и влияние

Соответствие Кобаяши–Хитчина было одним из первых примеров общего принципа, который стал доминировать в исследованиях геометрии с момента его доказательства: экстремальные объекты в дифференциальной геометрии соответствуют стабильным объектам в алгебраической геометрии . Многие результаты были доказаны либо как расширения или вариации соответствия Кобаяши–Хитчина, либо по прямой аналогии с соответствием, казалось бы, разрозненным частям геометрии, и все эти результаты следуют этому же принципу. Ниже приводится резюме этих обобщений или связанных с ними результатов:

Обобщения

• Форма соответствия Кобаяши–Хитчина справедлива для строго наклонно-полустабильных векторных расслоений, которые не являются полистабильными. ^[17] На таких векторных расслоениях можно доказать существование так называемой приближенной метрики Эрмита–Эйнштейна , которая является семейством эрмитовых метрик для малых , таких что для любого . ${\displaystyle h_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \|\Lambda _{\omega }F(h_{\varepsilon })-\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}\|_{L^{2}}<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Соответствие Кобаяши–Хитчина было обобщено Бандо–Сиу на сингулярные голоморфные векторные расслоения, также известные как рефлексивные пучки . ^[21] Это включает определение понятия сингулярных метрик Эрмита–Эйнштейна на таких пучках и оказало влияние на развитие сингулярных метрик Кэлера–Эйнштейна над сингулярными многообразиями Фано.
• Соответствие было обобщено на случай расслоений Хиггса Хитчином, Карлосом Симпсоном , Дональдсоном и Кевином Корлеттом. А именно, Хитчин доказал частичный аналог соответствия Кобаяши–Хитчина для расслоений Хиггса над компактной римановой поверхностью, а Дональдсон провел некоторую работу по гармоническим представлениям, которая завершила это соответствие. Затем это было значительно обобщено Симпсоном на случай расслоений Хиггса над произвольными компактными кэлеровыми многообразиями, а Корлетт доказал соответствующие результаты о гармонических представлениях в этом случае. Это стало известно как неабелево соответствие Ходжа и имеет глубокую связь с зеркальной симметрией и гипотезой P=W Тамаша Хаузеля , а также с интегрируемыми системами . Неабелево соответствие Ходжа подразумевает соответствие Кобаяши–Хитчина для компактных кэлеровых многообразий.
• Соответствие было обобщено до метрик Эрмита–Эйнштейна на голоморфных главных расслоениях с редуктивной структурной группой, допускающей совместимую редукцию структурной группы к максимальной компактной подгруппе. Аннамалай Раманатан первым определил понятие стабильного главного расслоения [ ^22] , и в целом соответствие было доказано Аншушем и Бисвасом ^[23] . Также известна версия соответствия для главных расслоений Хиггса.
• Дэвид Гизекер ввел понятие устойчивости, устойчивости Гизекера , которая разделяет многие формальные свойства с устойчивостью наклона. Устойчивость Гизекера требует неравенств целых (нормализованных) полиномов Гильберта для большого аргумента, тогда как устойчивость наклона требует только неравенства коэффициентов ведущего порядка. Таким образом, устойчивость Гизекера можно рассматривать как обобщение устойчивости наклона, и действительно, существует цепочка импликаций

стабильный по склону ⇒ стабильный по Гизекеру ⇒ полустабильный по Гизекеру ⇒ полустабильный по склону .

Устойчивость Гизекера — это понятие устойчивости для векторных расслоений, которое возникает непосредственно из геометрической теории инвариантов и впоследствии оказало значительное влияние на алгебраическую геометрию, где оно используется для формирования пространств модулей пучков. ^[24] Обобщение соответствия Кобаяши–Хитчина было доказано для стабильных векторных расслоений Гизекера Конаном Леунгом, который связал с каждым стабильным векторным расслоением Гизекера так называемую почти метрику Эрмита–Эйнштейна . ^[25] Это специальные эрмитовы метрики, которые удовлетворяют полиномиальной версии дифференциального уравнения, определяющего метрику Эрмита–Эйнштейна, и фактически являются специальными классами приближенных метрик Эрмита–Эйнштейна.

• В 2001 году Альварес-Консул и Гарсия-Прада доказали обширное обобщение соответствия Кобаяши–Хитчина для скрученных колчанных расслоений над компактными кэлеровыми многообразиями, которые являются семействами голоморфных векторных расслоений, снабженных вспомогательными полями и гомоморфизмами расслоений между ними. Это включает в себя в качестве особых случаев регулярное соответствие Кобаяши–Хитчина, а также неабелево соответствие Ходжа и различные версии соответствия Кобаяши–Хитчина для размерных редукций уравнений Янга–Миллса. ^[26]

Влияние

В дополнение к допущению многих прямых или обширных обобщений, соответствие Кобаяши–Хитчина также послужило руководящим результатом для других соответствий, которые напрямую не вписываются в рамки эрмитовых метрик на векторных расслоениях. ^{[27] [28]}

• В теории Зайберга–Виттена существует соответствие , вдохновленное соответствием Кобаяши–Хитчина, которое определяет решения уравнений Зайберга–Виттена над кэлеровой поверхностью, монополи , с определенными дивизорами . ^{[29] [30]} Это использовалось для вычисления примеров инвариантов Зайберга–Виттена четырехмерных многообразий и восстановления результатов, известных из теории Дональдсона .
• Яу предположил в 1993 году, что должно существовать понятие устойчивости для алгебраических многообразий, которое однозначно характеризовало бы существование метрик Кэлера–Эйнштейна на гладких многообразиях Фано , и что это понятие устойчивости должно быть аналогом устойчивости наклона векторных расслоений. ^[31] Тянь Ган дал точное определение такого понятия устойчивости, названного K-устойчивостью , которое было перефразировано Дональдсоном чисто алгебро-геометрическим способом. ^{[32] [33]} Гипотеза о том, что такие K-полистабильные многообразия Фано соответствуют метрикам Кэлера–Эйнштейна, была доказана Ченом–Дональдсоном–Суном. ^{[34] [35] [36]}
• Основываясь на гипотезе Яу, Дональдсон предположил, что в более общем случае любое гладкое K-полистабильное проективное многообразие должно допускать постоянную скалярную кривизну кэлерову метрику . Это обобщение гипотезы для многообразий Фано известно как гипотеза Яу–Тяна–Дональдсона и в целом все еще остается открытым. Она была решена в случае торических многообразий комплексной размерности два. Многие из методов, разработанных для понимания соответствия Кобаяши–Хитчина, были применены к заданию многообразий, чтобы попытаться понять гипотезу YTD. А именно, использование потока Кэлера–Риччи в качестве аналогии потока Янга–Миллса, а также функционала Калаби и функционала K-энергии по сравнению с функционалом Янга–Миллса и функционалом Дональдсона. Изучение оптимальных вырождений проективных многообразий относительно K-стабильности также во многом было вдохновлено изучением фильтрации Хардера–Нарасимхана голоморфного векторного расслоения, а сингулярное поведение метрик на многообразиях изучается по аналогии с тем, как эрмитовы метрики вырождаются вдоль потока Янга–Миллса на строго полустабильных голоморфных векторных расслоениях.
• Гипотеза Томаса–Яу в симплектической геометрии предлагает условие устойчивости, которое должно точно характеризовать, когда изотопический класс лагранжевых подмногообразий многообразия Калаби–Яу допускает специальное лагранжево подмногообразие в качестве представителя. ^[8] Эту гипотезу можно рассматривать как прямую аналогию соответствию Кобаяши–Хитчина, где изотопический класс заменяется калибровочной орбитой внутри пространства эрмитовых векторных расслоений, а специальное лагранжево условие заменяется условием Эрмита–Эйнштейна. Одна из характеристик требуемого условия устойчивости была предложена Домиником Джойсом как исходящая из условий устойчивости Бриджленда , а зеркальная версия результата для так называемого деформированного эрмитового уравнения Янга–Миллса была доказана Гао Ченом. ^[37]

Приложения

Соответствие Кобаяши–Хитчина нашло множество важных приложений в алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии . Предоставляя два альтернативных описания пространства модулей стабильных голоморфных векторных расслоений над комплексным многообразием, одно алгебраическое по своей природе, а другое аналитическое, удалось доказать много важных результатов о таких пространствах модулей. Наиболее впечатляющим из них было изучение инвариантов четырехмерных многообразий и, в более общем плане, алгебраических многообразий с помощью теории Дональдсона–Томаса . ^[38] В частности, пространство модулей векторных расслоений Эрмита–Эйнштейна естественным образом снабжено римановой структурой, заданной метрикой типа Вейля–Петерсона на пространстве модулей. Объединение этой геометрической структуры с естественными алгебраическими компактификациями пространства модулей, возникающими из соответствия Кобаяши–Хитчина, заданного пространствами модулей наклонных полустабильных или полустабильных пучков Гизекера, позволяет интегрировать характеристические классы по пространству модулей для получения инвариантов исходного комплексного многообразия. Это наиболее известное применение в теории Дональдсона , где получены инварианты гладких четырехмерных многообразий. Похожие методы использовались в теории Зайберга–Виттена . В более высоких размерностях теория Дональдсона–Томаса и интегрирование по виртуальным фундаментальным классам были разработаны по аналогии с дуальными описаниями пространств модулей пучков, которые предоставляются соответствием Кобаяши–Хитчина. Это один из смыслов, в котором соответствие оказало длительное влияние на исчислительную геометрию . ^[39]

Ссылки

1. Kobayashi, Shoshichi (1982). «Кривизна и устойчивость векторных расслоений». Труды Японской академии, Серия A, Математические науки . 58 (4): 158–162. doi : 10.3792/pjaa.58.158 . S2CID  120724336.
2. Hitchin, Nigel; et al. (1979). "Нелинейные проблемы геометрии". Конференция, состоявшаяся в Катате, 3–8 сентября 1979 г. Труды 6-го международного симпозиума Танигучи . Zbl  0433.53002.
3. Donaldson, SK (1985). «Антисамодвойственные связи Янга-Миллса над комплексными алгебраическими поверхностями и стабильные векторные расслоения». Труды Лондонского математического общества : 1–26. doi :10.1112/plms/s3-50.1.1.
4. Donaldson, SK (1987). «Бесконечные определители, стабильные расслоения и кривизна». Duke Mathematical Journal . 54 (1): 231–247. doi :10.1215/S0012-7094-87-05414-7.
5. Uhlenbeck, Karen ; Yau, Shing-Tung (1986), "О существовании связностей Эрмита–Янга–Миллса в стабильных векторных расслоениях", Communications on Pure and Applied Mathematics , 39 : S257–S293, doi :10.1002/cpa.3160390714, ISSN  0010-3640, MR  0861491
6. Buchdahl, NP (1988). «Связи Эрмита-Эйнштейна и стабильные векторные расслоения над компактными комплексными поверхностями». Mathematische Annalen . 280 (4): 625–648. doi :10.1007/BF01450081. S2CID  119409715.
7. Ли, Джун; Яу, Шинг Тунг (1987). "Связь Эрмита-Янга-Миллса на некэлеровых многообразиях". Математические аспекты теории струн . стр. 560–573. doi :10.1142/9789812798411_0027. ISBN 978-9971-5-0273-7.
8. Thomas, RP; Yau, S.-T. (2002). «Специальные лагранжианы, стабильные расслоения и поток средней кривизны». Communications in Analysis and Geometry . 10 (5): 1075–1113. arXiv : math/0104197 . doi :10.4310/CAG.2002.V10.N5.A8. S2CID  2153403.
9. Нарасимхан, М.С.; Сешадри, Ч.С. (1965), «Стабильные и унитарные векторные расслоения на компактной римановой поверхности», Annals of Mathematics , Вторая серия, 82 (3): 540–567, doi :10.2307/1970710, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970710, MR  0184252
10. Атья, МФ; Ботт, Р. (1983). «Уравнения Янга-Миллса над римановыми поверхностями». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки . 308 (1505): 523–615. Bibcode : 1983RSPTA.308..523A. doi : 10.1098/rsta.1983.0017. JSTOR  37156. S2CID  13601126.
11. Дональдсон, СК (1983), «Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Шешадри», Журнал дифференциальной геометрии , 18 (2): 269–277, doi : 10.4310/jdg/1214437664 , ISSN  0022-040X, MR  0710055
12. Kobayashi, Shoshichi (1980). «Первый класс Черна и голоморфные тензорные поля». Nagoya Mathematical Journal . 77 : 5–11. doi : 10.1017/S0027763000018602 . S2CID  118228189.
13. Кобаяси, Сёсичи (1982). «Кривизна и устойчивость векторных расслоений». Труды Японской академии, Серия A, Математические науки . 58 (4): 158–162. doi : 10.3792/pjaa.58.158 . S2CID  120724336.
14. "Цитата Комитета Абелевской премии". Премия Абеля . Получено 19 марта 2019 г.
15. Любке, Мартин; Телеман, Андрей (1995), Переписка Кобаяши–Хитчина, Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 9789810221683, МР  1370660
16. Дональдсон, СК; Кронхаймер, ПБ (1997). Геометрия четырехмерных многообразий . Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850269-2.
17. Kobayashi, Shoshichi (2014). Дифференциальная геометрия комплексных векторных расслоений . Princeton University Press. doi :10.1515/9781400858682. ISBN 9780691603292.
18. Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Фольге. том 34. ISBN 978-3-642-63400-0.
19. Мамфорд, Дэвид (1962). «Проективные инварианты проективных структур и их применение». Труды Международного конгресса математиков (1962) (PDF) . стр. 526–530.
20. Любке, Мартин (1983). «Устойчивость векторных расслоений Эйнштейна-Эрмитова». Manuscripta Mathematica . 42 (2–3): 245–257. doi :10.1007/BF01169586. S2CID  121338200.
21. Бандо, Шигетоши; Сиу, ЮМ-Тонг (1994). "Стабильные пучки и метрики Эйнштейна-Эрмита". Геометрия и анализ на комплексных многообразиях . стр. 39–50. doi :10.1142/9789814350112_0002. ISBN 978-981-02-2067-9.
22. Раманатан, А. (1975). «Стабильные главные расслоения на компактной римановой поверхности». Mathematische Annalen . 213 (2): 129–152. doi :10.1007/BF01343949. S2CID  115307442.
23. Anchouche, Boudjemaa; Biswas, Indranil (2001). «Связи Эйнштейна-Эрмита на полистабильных главных расслоениях над компактным кэлеровым многообразием». American Journal of Mathematics . 123 (2): 207–228. doi :10.1353/ajm.2001.0007. S2CID  122182133.
24. Хейбрехтс, Даниэль; Лен, Манфред (2010). Геометрия пространств модулей пучков . doi :10.1017/CBO9780511711985. ISBN 9780521134200.
25. Leung, Naichung Conan (1997). «Метрики типа Эйнштейна и устойчивость на векторных расслоениях». Журнал дифференциальной геометрии . 45 (3): 514–546. doi : 10.4310/jdg/1214459841 .
26. Альварес-Консул, Луис; Гарсия-Прада, Оскар (2003). «Переписка Хитчина–Кобаяши, колчаны и вихри». Сообщения по математической физике . 238 (1–2): 1–33. arXiv : math/0112161 . Bibcode :2003CMaPh.238....1A. doi :10.1007/s00220-003-0853-1. S2CID  4080302.
27. Дональдсон, СК (2003). «Отображения моментов в дифференциальной геометрии». Обзоры по дифференциальной геометрии . 8 : 171–189. doi : 10.4310/SDG.2003.V8.N1.A6 . S2CID  124403816.
28. Дональдсон, Саймон К. (2018). «Устойчивость алгебраических многообразий и кэлерова геометрия». Алгебраическая геометрия: Солт-Лейк-Сити 2015. Труды симпозиумов по чистой математике. Том 97. С. 199–221. arXiv : 1702.05745 . doi :10.1090/pspum/097.1/01673. ISBN 9781470435776. S2CID  119660277.
29. Виттен, Эдвард (1994). «Монополи и четырехмерные многообразия». Mathematical Research Letters . 1 (6): 769–796. arXiv : hep-th/9411102 . Bibcode : 1994MRLet...1..769W. doi : 10.4310/MRL.1994.V1.N6.A13. S2CID  10611124.
30. Фридман, Роберт; Морган, Джон В. (1997). «Алгебраические поверхности и инварианты Зайберга-Виттена». Журнал алгебраической геометрии . 6 (3): 445–479. arXiv : alg-geom/9502026 . MR  1487223.
31. Яу, Шинг-Тунг (1993). «Открытые проблемы геометрии». Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990) . Труды симпозиумов по чистой математике. Т. 54. С. 1–28. doi :10.1090/pspum/054.1/1216573. ISBN 9780821814949. МР  1216573.
32. Tian, ​​Gang (1997). «Метрики Кэлера-Эйнштейна с положительной скалярной кривизной». Inventiones Mathematicae . 130 (1): 1–37. Bibcode : 1997InMat.130....1T. doi : 10.1007/s002220050176. S2CID  122529381.
33. Дональдсон, СК (2002). «Скалярная кривизна и устойчивость торических многообразий». Журнал дифференциальной геометрии . 62 (2): 289–349. doi : 10.4310/jdg/1090950195 .
34. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. I: Аппроксимация метрик с коническими особенностями». Журнал Американского математического общества . 28 : 183–197. arXiv : 1211.4566 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. S2CID  119641827.
35. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. II: Пределы с углом конуса меньше 2π». Журнал Американского математического общества . 28 : 199–234. arXiv : 1212.4714 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. S2CID  119140033.
36. Чен, Сюсюн; Дональдсон, Саймон ; Сан, Сонг (2014). «Метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано. III: Пределы при приближении угла конуса к 2π и завершение основного доказательства». Журнал Американского математического общества . 28 : 235–278. arXiv : 1302.0282 . doi : 10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. S2CID  119575364.
37. Чэнь, Гао (2021). «J-уравнение и сверхкритическое деформированное уравнение Эрмита–Янга–Миллса». Inventiones Mathematicae . 225 (2): 529–602. arXiv : 1905.10222 . Bibcode : 2021InMat.225..529C. doi : 10.1007/s00222-021-01035-3. S2CID  218870365.
38. Дональдсон, СК (1990). «Полиномиальные инварианты для гладких четырехмерных многообразий». Топология . 29 (3): 257–315. doi :10.1016/0040-9383(90)90001-Z.
39. Дональдсон, Саймон К .; Томас, Ричард П. (1998), «Калибровочная теория в высших измерениях», в Huggett, SA; Mason, LJ; Tod, KP; Tsou, ST; Woodhouse, NMJ (ред.), Геометрическая вселенная (Оксфорд, 1996) , Oxford University Press , стр. 31–47, ISBN 978-0-19-850059-9, МР  1634503