Теорема о положительной энергии

Ключевой результат общей теории относительности

Теорема о положительной энергии (также известная как теорема о положительной массе ) относится к набору основополагающих результатов в общей теории относительности и дифференциальной геометрии . Ее стандартная форма, в общем, утверждает, что гравитационная энергия изолированной системы неотрицательна и может быть равна нулю только тогда, когда в системе нет гравитирующих объектов. Хотя эти утверждения часто считаются в первую очередь физическими по своей природе, их можно формализовать в виде математических теорем, которые можно доказать с помощью методов дифференциальной геометрии , уравнений с частными производными и геометрической теории меры .

Ричард Шен и Шинг-Тунг Яу в 1979 и 1981 годах были первыми, кто дал доказательства теоремы о положительной массе. Эдвард Виттен в 1982 году дал наброски альтернативного доказательства, которые позже были тщательно заполнены математиками. Виттен и Яу были награждены медалью Филдса по математике отчасти за их работу по этой теме.

Неточная формулировка теоремы Шёна-Яу/Виттена о положительной энергии гласит следующее:

При наличии асимптотически плоского начального набора данных можно определить энергию-импульс каждой бесконечной области как элемент пространства Минковского . При условии, что начальный набор данных геодезически полон и удовлетворяет условию доминирующей энергии , каждый такой элемент должен находиться в причинном будущем начала координат. Если какая-либо бесконечная область имеет нулевую энергию-импульс, то начальный набор данных тривиален в том смысле, что его можно геометрически вложить в пространство Минковского.

Значение этих терминов обсуждается ниже. Существуют альтернативные и неэквивалентные формулировки для различных понятий энергии-импульса и для различных классов начальных наборов данных. Не все из этих формулировок были строго доказаны, и в настоящее время остается открытым вопрос о том, верна ли приведенная выше формулировка для начальных наборов данных произвольной размерности.

Исторический обзор

Первоначальное доказательство теоремы для массы ADM было предоставлено Ричардом Шоеном и Шинг-Тунгом Яу в 1979 году с использованием вариационных методов и минимальных поверхностей . Эдвард Виттен дал другое доказательство в 1981 году, основанное на использовании спиноров , вдохновленное теоремами о положительной энергии в контексте супергравитации . Расширение теоремы для массы Бонди было дано Людвигсеном и Джеймсом Викерсом, Гэри Горовицем и Малкольмом Перри , а также Шоеном и Яу.

Гэри Гиббонс , Стивен Хокинг , Горовиц и Перри доказали расширения теоремы на асимптотически анти-де-ситтеровские пространства-времена и на теорию Эйнштейна–Максвелла . Масса асимптотически анти-де-ситтеровского пространства-времени неотрицательна и равна нулю только для анти-де-ситтеровского пространства-времени. В теории Эйнштейна–Максвелла для пространства-времени с электрическим зарядом и магнитным зарядом масса пространства-времени удовлетворяет (в гауссовых единицах ) ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

с равенством для экстремальных решений Маджумдара – Папапетру для черных дыр .

Начальные наборы данных

Начальный набор данных состоит из риманова многообразия ( M , g ) и симметричного 2-тензорного поля k на M. Говорят, что начальный набор данных ( M , g , k ) :

• симметричен по времени, если k равен нулю
• максимально , если tr ^g k = 0 ^[1]
• удовлетворяет условию доминирующей энергии, если

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},}$

где R ^g обозначает скалярную кривизну g . ^[2 ]

Обратите внимание, что симметричный по времени начальный набор данных ( M , g , 0) удовлетворяет условию доминирующей энергии тогда и только тогда, когда скалярная кривизна g неотрицательна. Говорят, что лоренцево многообразие ( M , g ) является развитием начального набора данных ( M , g , k ), если существует (обязательно пространственноподобное) гиперповерхностное вложение M в M вместе с непрерывным единичным нормальным векторным полем, таким, что индуцированная метрика есть g , а вторая фундаментальная форма относительно заданной единичной нормали есть k .

Это определение мотивировано лоренцевой геометрией . При наличии лоренцева многообразия ( M , g ) размерности n + 1 и пространственноподобного погружения f из связного n -мерного многообразия M в M , имеющего тривиальное нормальное расслоение, можно рассмотреть индуцированную риманову метрику g = f ^* g, а также вторую фундаментальную форму k функции f относительно любого из двух вариантов непрерывного единичного нормального векторного поля вдоль f . Тройка ( M , g , k ) является начальным набором данных. Согласно уравнениям Гаусса-Кодацци , имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}}$

где G обозначает тензор Эйнштейна Ric ^g - ⁠1/2⁠ R ^g g от g и ν обозначает непрерывное единичное нормальное векторное поле вдоль f, используемое для определения k . Таким образом, доминирующее энергетическое условие, как указано выше, в этом лоренцевом контексте идентично утверждению, что G ( ν , ⋅) , рассматриваемое как векторное поле вдоль f , является времениподобным или нулевым и ориентировано в том же направлении, что и ν . ^[3]

Концы асимптотически плоских начальных наборов данных

В литературе существует несколько различных понятий «асимптотически плоского», которые не являются взаимно эквивалентными. Обычно он определяется в терминах весовых пространств Гельдера или весовых пространств Соболева.

Однако есть некоторые особенности, которые являются общими практически для всех подходов. Рассматривается начальный набор данных ( M , g , k ), который может иметь или не иметь границу; пусть n обозначает его размерность. Требуется, чтобы существовало компактное подмножество K множества M, такое , что каждый связный компонент дополнения M − K диффеоморфен дополнению замкнутого шара в евклидовом пространстве ℝ ⁿ . Такие связные компоненты называются концами M .

Официальные заявления

Шен и Яу (1979)

Пусть ( M , g , 0) — симметричный по времени начальный набор данных, удовлетворяющий условию доминирующей энергии. Предположим, что ( M , g ) — ориентированное трехмерное гладкое риманово многообразие с границей, и что каждый компонент границы имеет положительную среднюю кривизну. Предположим, что у него есть один конец, и он асимптотически шварцшильдов в следующем смысле:

Предположим, что K — открытое предкомпактное подмножество M , такое что существует диффеоморфизм Φ : ℝ ³ − B ₁ (0) → M − K , и предположим, что существует число m такое, что симметричный 2-тензор

${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}}$

на ℝ ³ − B ₁ (0) таково, что для любых i , j , p , q функции и все ограничены. ${\displaystyle |x|^{2}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$

Теорема Шёна и Яу утверждает, что m должно быть неотрицательным. Если, кроме того, функции и ограничены для любого , то m должно быть положительным, если только граница M не пуста и ( M , g ) не изометрично ℝ ³ с его стандартной римановой метрикой. ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q,r,s,t,}$

Обратите внимание, что условия на h утверждают, что h вместе с некоторыми его производными малы, когда x велико. Поскольку h измеряет дефект между g в координатах Φ и стандартным представлением t = const slice метрики Шварцшильда , эти условия являются квантификацией термина «асимптотически Шварцшильдов». Это можно интерпретировать в чисто математическом смысле как сильную форму «асимптотически плоского», где коэффициент при части | x | ⁻¹ разложения метрики объявляется постоянным множителем евклидовой метрики, в отличие от общего симметричного 2-тензора.

Отметим также, что теорема Шёна и Яу, как указано выше, на самом деле (несмотря на видимость) является сильной формой случая «множественных концов». Если ( M , g ) — полное риманово многообразие с множественными концами, то приведенный выше результат применим к любому отдельному концу, при условии, что в каждом другом конце есть сфера положительной средней кривизны. Это гарантируется, например, если каждый конец асимптотически плоский в указанном выше смысле; можно выбрать большую координатную сферу в качестве границы и удалить соответствующий остаток каждого конца, пока не получится риманово многообразие с границей с одним концом.

Шен и Яу (1981)

Пусть ( M , g , k ) — начальный набор данных, удовлетворяющий условию доминирующей энергии. Предположим, что ( M , g ) — ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без границы); предположим, что оно имеет конечное число концов, каждый из которых асимптотически плоский в следующем смысле.

Предположим, что — открытое предкомпактное подмножество, имеющее конечное число связных компонент , и для каждой существует диффеоморфизм, такой, что симметричный 2-тензор удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle K\subset M}$ ${\displaystyle M\smallsetminus K}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$и ограничены для всех ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q.}$

Также предположим, что

• ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$и ограничены для любого ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$и для любого ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)}$ ${\displaystyle p,q,i,j}$
• ${\displaystyle |x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))}$ограничено.

Вывод состоит в том, что энергия ADM каждого определяется как ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

неотрицательно. Кроме того, предположим, что

• ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)}$и ограничены для любого ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q,r,s,}$

предположение, что для некоторых подразумевает, что n = 1 , что M диффеоморфно ℝ ³ и что пространство Минковского ℝ ^3,1 является развитием исходного набора данных ( M , g , k ) . ${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})=0}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Виттен (1981)

Пусть — ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без края). Пусть — гладкий симметричный 2-тензор на такой, что ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.}$

Предположим, что — открытое предкомпактное подмножество, имеющее конечное число связных компонент , и для каждой существует диффеоморфизм, такой, что симметричный 2-тензор удовлетворяет следующим условиям: ${\displaystyle K\subset M}$ ${\displaystyle M\smallsetminus K}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$и ограничены для всех ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q.}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)}$и ограничены для всех ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle i,j,p.}$

Для каждого определите энергию и линейный импульс АДМ по формуле ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

${\displaystyle {\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).}$

Для каждого рассмотрим это как вектор в пространстве Минковского. Вывод Виттена состоит в том, что для каждого это обязательно указывающий на будущее непространственноподобный вектор. Если этот вектор равен нулю для любого , то диффеоморфен и максимальная глобально гиперболическая развертка исходного набора данных имеет нулевую кривизну. ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle ({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle (M,g,k)}$

Расширения и замечания

Согласно приведенным выше утверждениям, вывод Виттена сильнее, чем у Шёна и Яу. Однако третья статья Шёна и Яу ^[4] показывает, что их результат 1981 года подразумевает результат Виттена, сохраняя только дополнительное предположение, что и ограничены для любого Также следует отметить, что результат Шёна и Яу 1981 года опирается на их результат 1979 года, который доказан от противного; поэтому их расширение их результата 1981 года также является от противного. Напротив, доказательство Виттена является логически прямым, демонстрируя энергию АДМ непосредственно как неотрицательную величину. Более того, доказательство Виттена в этом случае можно без особых усилий распространить на многообразия более высокой размерности при топологическом условии, что многообразие допускает спиновую структуру. ^[5] Результат и доказательство Шёна и Яу 1979 года можно распространить на случай любой размерности меньше восьми. ^[6] Совсем недавно результат Виттена, использующий методы Шёна и Яу (1981), был расширен на тот же контекст. ^[7] Подводя итог: следуя методам Шёна и Яу, теорема о положительной энергии была доказана в размерности меньше восьми, тогда как, следуя Виттену, она была доказана в любой размерности, но с ограничением на установку спиновых многообразий. ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0}$

В апреле 2017 года Шен и Яу выпустили препринт, который доказывает общий многомерный случай в частном случае без каких-либо ограничений по размерности или топологии. Однако он еще не появился (по состоянию на май 2020 года) в академическом журнале. ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0,}$

Приложения

• В 1984 году Шён использовал теорему о положительной массе в своей работе, которая завершила решение проблемы Ямабэ .
• Теорема о положительной массе использовалась в доказательстве Хьюберта Брея римановского неравенства Пенроуза .

Ссылки

1. В локальных координатах это выглядит так: g ^ij k _ij = 0
2. В локальных координатах это говорит: R - g ^ik g ^jl k _ij k _kl + ( g ^ij k _ij ) ² ≥ 2( g ^pq ( g ^ij k _{pi ; j} - ( g ^ij k _ij ) _{; p} )( g ^kl k _{qk ; l} - ( g ^kl k _kl ) _{; q} )) ^1/2 или, в обычных обозначениях «повышенный и пониженный индекс», это говорит о R - k ^ij k _ij + ( k _i ⁱ ) ² ≥ 2(( k _пи ^{; я} - ( k _я ^я ) _; ( _k pj ^; _j - ( k ^j _j ) ^{; п} ) ₎ ^1/2
3. Обычно предполагается, что M ориентировано во времени, а ν определяется как единичное векторное поле нормали, указывающее на будущее, вдоль f ; в этом случае условие доминирования энергии, приведенное выше для начального набора данных, возникающего из пространственноподобного погружения в M, автоматически верно, если условие доминирования энергии предполагается в его обычной форме пространства-времени .
4. Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1981). «Энергия и линейный импульс пространства-времени в общей теории относительности» (PDF) . Comm. Math. Phys . 79 (1): 47–51. Bibcode :1981CMaPh..79...47S. doi :10.1007/BF01208285. S2CID  120151656.
5. Бартник, Роберт (1986). «Масса асимптотически плоского многообразия». Comm. Pure Appl. Math . 39 (5): 661–693. CiteSeerX 10.1.1.625.6978 . doi :10.1002/cpa.3160390505. 
6. Шен, Ричард М. (1989). «Вариационная теория для функционала полной скалярной кривизны для римановых метрик и смежные темы». Темы по вариационному исчислению (Монтекатини-Терме, 1987) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1365. Berlin: Springer. pp. 120–154.
7. Эйхмайер, Майкл; Хуан, Лан-Сюань ; Ли, Дэн А.; Шен, Ричард (2016). «Теорема о положительной массе пространства-времени в размерностях меньше восьми». Журнал Европейского математического общества . 18 (1): 83–121. arXiv : 1110.2087 . doi : 10.4171/JEMS/584 . S2CID  119633794.

• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1979). «О доказательстве гипотезы о положительной массе в общей теории относительности». Communications in Mathematical Physics . 65 (1): 45–76. Bibcode :1979CMaPh..65...45S. doi :10.1007/bf01940959. ISSN  0010-3616. S2CID  54217085.
• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1981). «Доказательство теоремы о положительной массе. II». Communications in Mathematical Physics . 79 (2): 231–260. Bibcode :1981CMaPh..79..231S. doi :10.1007/bf01942062. ISSN  0010-3616. S2CID  59473203.
• Виттен, Эдвард (1981). «Новое доказательство теоремы о положительной энергии». Communications in Mathematical Physics . 80 (3): 381–402. Bibcode : 1981CMaPh..80..381W. doi : 10.1007/bf01208277. ISSN  0010-3616. S2CID  1035111.
• Ludvigsen, M; Vickers, JAG (1981-10-01). "Положительность массы Бонди". Journal of Physics A: Mathematical and General . 14 (10): L389–L391. Bibcode : 1981JPhA...14L.389L. doi : 10.1088/0305-4470/14/10/002. ISSN  0305-4470.
• Хоровиц, Гэри Т.; Перри, Малкольм Дж. (1982-02-08). «Гравитационная энергия не может стать отрицательной». Physical Review Letters . 48 (6): 371–374. Bibcode : 1982PhRvL..48..371H. doi : 10.1103/physrevlett.48.371. ISSN  0031-9007.
• Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1982-02-08). «Доказательство того, что масса Бонди положительна». Physical Review Letters . 48 (6): 369–371. Bibcode : 1982PhRvL..48..369S. doi : 10.1103/physrevlett.48.369. ISSN  0031-9007.
• Гиббонс, GW; Хокинг, SW; Горовиц, GT; Перри, MJ (1983). "Теоремы о положительной массе для черных дыр". Communications in Mathematical Physics . 88 (3): 295–308. Bibcode :1983CMaPh..88..295G. doi :10.1007/BF01213209. MR  0701918. S2CID  121580771.

Учебники

• Шоке-Брюа, Ивонн. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN 978-0-19-923072-3 
• Уолд, Роберт М. Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 1984. xiii+491 стр. ISBN 0-226-87032-4