Минимальная поверхность

Поверхность, которая локально минимизирует свою площадь

Геликоидальная минимальная поверхность , образованная мыльной пленкой на винтовой рамке

В математике минимальная поверхность — это поверхность, которая локально минимизирует свою площадь. Это эквивалентно нулевой средней кривизне (см. определения ниже).

Термин «минимальная поверхность» используется, поскольку эти поверхности изначально возникли как поверхности, минимизирующие общую площадь поверхности при некотором ограничении. Физические модели минимизирующих площадь минимальных поверхностей можно создать, окунув проволочный каркас в мыльный раствор, образуя мыльную пленку , которая является минимальной поверхностью, границей которой является проволочный каркас. Однако этот термин используется для более общих поверхностей, которые могут самопересекаться или не иметь ограничений. Для данного ограничения также может существовать несколько минимальных поверхностей с различными площадями (например, см. минимальная поверхность вращения ): стандартные определения относятся только к локальному оптимуму , а не к глобальному оптимуму .

Определения

Минимальная поверхность седловой башни . В то время как любое небольшое изменение поверхности увеличивает ее площадь, существуют другие поверхности с той же границей, но с меньшей общей площадью.

Минимальные поверхности могут быть определены несколькими эквивалентными способами в . Тот факт, что они эквивалентны, служит для демонстрации того, как теория минимальных поверхностей лежит на стыке нескольких математических дисциплин, особенно дифференциальной геометрии , вариационного исчисления , теории потенциала , комплексного анализа и математической физики . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определение локальной наименьшей площади : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда каждая точка p ∈ M имеет окрестность , ограниченную простой замкнутой кривой, которая имеет наименьшую площадь среди всех поверхностей, имеющих ту же границу. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Это свойство локально: могут существовать области на минимальной поверхности вместе с другими поверхностями меньшей площади, имеющими ту же границу. Это свойство устанавливает связь с мыльными пленками; мыльная пленка, деформированная так, чтобы иметь проволочный каркас в качестве границы, минимизирует площадь.

Вариационное определение : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда она является критической точкой функционала площади для всех вариаций с компактным носителем . ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Это определение делает минимальные поверхности двумерным аналогом геодезических , которые аналогичным образом определяются как критические точки функционала длины.

Минимальные плоскости кривизны поверхности. На минимальной поверхности кривизна вдоль главных плоскостей кривизны равна и противоположна в каждой точке. Это делает среднюю кривизну равной нулю.

Определение средней кривизны : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю во всех точках. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Прямым следствием этого определения является то, что каждая точка на поверхности является седловой точкой с равными и противоположными главными кривизнами . Кроме того, это превращает минимальные поверхности в статические решения потока средней кривизны . Согласно уравнению Юнга-Лапласа , средняя кривизна мыльной пленки пропорциональна разнице давления между сторонами. Если мыльная пленка не охватывает область, то это сделает ее среднюю кривизну равной нулю. Напротив, сферический мыльный пузырь охватывает область, которая имеет давление, отличное от внешнего региона, и, как таковая, не имеет нулевой средней кривизны.

Определение дифференциального уравнения : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее можно локально выразить как график решения ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

Уравнение в частных производных в этом определении было первоначально найдено в 1762 году Лагранжем [ ^2], а Жан Батист Мёнье обнаружил в 1776 году, что оно подразумевает исчезающую среднюю кривизну. ^[3]

Определение энергии : Конформное погружение минимально тогда и только тогда, когда оно является критической точкой энергии Дирихле для всех компактных вариаций или, что эквивалентно, если любая точка имеет окрестность с наименьшей энергией относительно ее границы. ${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle p\in M}$

Это определение связывает минимальные поверхности с гармоническими функциями и теорией потенциала .

Гармоническое определение : если — изометрическое погружение римановой поверхности в трехмерное пространство, то говорят, что оно минимально, если является гармонической функцией на для каждого . ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i}$

Прямым следствием этого определения и принципа максимума для гармонических функций является то, что в не существует компактных полных минимальных поверхностей . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определение отображения Гаусса : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее стереографически спроецированное отображение Гаусса является мероморфным относительно базовой структуры поверхности Римана и не является частью сферы. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Это определение использует то, что средняя кривизна равна половине следа оператора формы , который связан с производными отображения Гаусса. Если спроецированное отображение Гаусса подчиняется уравнениям Коши–Римана , то либо след равен нулю, либо каждая точка M является омбилической , в этом случае она является частью сферы.

Локальные определения наименьшей площади и вариационные определения позволяют расширить минимальные поверхности на другие римановы многообразия, чем . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

История

Теория минимальной поверхности берет свое начало от Лагранжа, который в 1762 году рассмотрел вариационную задачу о нахождении поверхности наименьшей площади, натянутой на заданный замкнутый контур. Он вывел уравнение Эйлера–Лагранжа для решения ${\displaystyle z=z(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

Ему не удалось найти решение за пределами плоскости. В 1776 году Жан Батист Мари Мёнье открыл, что геликоид и катеноид удовлетворяют уравнению и что дифференциальное выражение соответствует удвоенной средней кривизне поверхности, заключив, что поверхности с нулевой средней кривизной являются минимизирующими площадь.

Расширяя уравнение Лагранжа до

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

Гаспар Монж и Лежандр в 1795 году вывели формулы представления для поверхностей решения. Хотя они были успешно использованы Генрихом Шерком в 1830 году для вывода его поверхностей , они, как правило, считались практически непригодными. Каталан доказал в 1842/43 году, что геликоид является единственной линейчатой ​​минимальной поверхностью.

Прогресс был довольно медленным до середины века, когда проблема Бьёрлинга была решена с использованием сложных методов. Начался «первый золотой век» минимальных поверхностей. Шварц нашел решение проблемы Плато для правильного четырехугольника в 1865 году и для общего четырехугольника в 1867 году (что позволило построить его периодические семейства поверхностей ) с использованием сложных методов. Вейерштрасс и Эннепер разработали более полезные формулы представления , прочно связав минимальные поверхности с комплексным анализом и гармоническими функциями . Другие важные вклады внесли Бельтрами, Бонне, Дарбу, Ли, Риман, Серрет и Вайнгартен.

Между 1925 и 1950 годами возродилась теория минимальной поверхности, теперь в основном нацеленная на непараметрические минимальные поверхности. Полное решение проблемы Плато Джесси Дугласом и Тибором Радо стало важной вехой. Проблема Бернштейна и работа Роберта Оссермана о полных минимальных поверхностях конечной полной кривизны также были важны.

Другое возрождение началось в 1980-х годах. Одной из причин стало открытие в 1982 году Селсо Костой поверхности , которая опровергла предположение о том, что плоскость, катеноид и геликоид являются единственными полными вложенными минимальными поверхностями в конечного топологического типа. Это не только стимулировало новые работы по использованию старых параметрических методов, но и продемонстрировало важность компьютерной графики для визуализации изучаемых поверхностей и численных методов для решения «проблемы периодов» (при использовании метода сопряженных поверхностей для определения участков поверхности, которые могут быть собраны в более крупную симметричную поверхность, определенные параметры должны быть численно согласованы для получения вложенной поверхности). Другой причиной стало подтверждение Х. Кархером того, что трижды периодические минимальные поверхности, первоначально описанные эмпирически Аланом Шоеном в 1970 году, действительно существуют. Это привело к богатому зверинцу семейств поверхностей и методов получения новых поверхностей из старых, например, путем добавления ручек или их искажения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В настоящее время теория минимальных поверхностей расширилась до минимальных подмногообразий в других окружающих геометриях, став актуальной для математической физики (например, гипотеза о положительной массе , гипотеза Пенроуза ) и геометрии трехмерных многообразий (например, гипотеза Смита , гипотеза Пуанкаре , гипотеза геометризации Терстона ).

Примеры

Минимальная поверхность Косты

Классические примеры минимальных поверхностей включают в себя:

• самолет , что является тривиальным случаем
• катеноиды : минимальные поверхности, образованные путем вращения цепной линии один раз вокруг ее направляющей
• Геликоиды : Поверхность, описываемая линией, вращающейся с постоянной скоростью вокруг оси, перпендикулярной линии, и одновременно движущейся вдоль оси с постоянной скоростью.

Поверхности золотого века XIX века включают в себя:

• Минимальные поверхности Шварца : трижды периодические поверхности , заполняющие ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Минимальная поверхность Римана : посмертно описанная периодическая поверхность
• поверхность Эннепера
• поверхность Хеннеберга : первая неориентируемая минимальная поверхность
• Минимальная поверхность Бура
• поверхность Неовиуса : трижды периодическая поверхность

Современные поверхности включают в себя:

• Гироид : одна из поверхностей Шёна, созданная в 1970 году, трижды периодическая поверхность, представляющая особый интерес для изучения структуры жидких кристаллов .
• Семейство башен Седл : обобщения второй поверхности Шерка
• Минимальная поверхность Косты : Знаменитое опровержение гипотезы. Описано в 1982 году Селсо Костой и позже визуализировано Джимом Хоффманом . Джим Хоффман, Дэвид Хоффман и Уильям Микс III затем расширили определение, чтобы создать семейство поверхностей с различными вращательными симметриями.
• Семейство поверхностей Чена–Гакштеттера , добавляющее ручки к поверхности Эннепера.

Обобщения и связи с другими областями

Минимальные поверхности могут быть определены в других многообразиях , таких как гиперболическое пространство , многомерные пространства или римановы многообразия . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определение минимальных поверхностей можно обобщить/расширить, чтобы охватить поверхности постоянной средней кривизны : поверхности с постоянной средней кривизной, которая не обязательно равна нулю.

Линии кривизны изотермической поверхности образуют изотермическую сетку. ^[5]

В дискретной дифференциальной геометрии изучаются дискретные минимальные поверхности: симплициальные комплексы треугольников, минимизирующие свою площадь при малых возмущениях положений их вершин. ^[6] Такие дискретизации часто используются для численной аппроксимации минимальных поверхностей, даже если не известны выражения в замкнутой форме.

Броуновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам нескольких теорем о минимальных поверхностях. ^[7]

Минимальные поверхности стали областью интенсивного научного изучения, особенно в областях молекулярной инженерии и материаловедения , из-за их предполагаемого применения в самосборке сложных материалов. ^[8] Предполагается, что эндоплазматический ретикулум , важная структура в клеточной биологии, находится под эволюционным давлением, чтобы соответствовать нетривиальной минимальной поверхности. ^[9]

В области общей теории относительности и лоренцевой геометрии значимыми являются определенные расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известные как кажущиеся горизонты . ^[10] В отличие от горизонта событий , они представляют собой основанный на кривизне подход к пониманию границ черной дыры .

Цирковой шатер имеет минимальную площадь поверхности.

Конструкции с минимальной площадью поверхности можно использовать в качестве палаток.

Минимальные поверхности являются частью инструментария генеративного дизайна , используемого современными дизайнерами. В архитектуре наблюдается большой интерес к растяжимым конструкциям , которые тесно связаны с минимальными поверхностями. Известные примеры можно увидеть в работах Фрая Отто , Шигеру Бана и Захи Хадид . Проект Олимпийского стадиона в Мюнхене, разработанный Фреем Отто, был вдохновлен мыльными поверхностями. ^[11] Другим известным примером, также созданным Фреем Отто, является немецкий павильон на выставке Expo 67 в Монреале, Канада. ^[12]

В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптурах Роберта Энгмана (1927–2018), Роберта Лонгхерста (1949– ) и Чарльза О. Перри (1929–2011) и других.

Смотрите также

• Проблема Бернштейна
• Билинейная интерполяция
• Поверхность Брайанта
• Кривизна
• Параметризация Эннепера – Вейерштрасса
• Гармоническая карта
• Гармонический морфизм
• Проблема Плато
• минимальная поверхность Шварца
• мыльный пузырь
• Поверхностный Эволютор
• Метод растянутой сетки
• Растяжимая структура
• Трижды периодическая минимальная поверхность
• Структура Уэйра–Фелана

Ссылки

1. Микс, Уильям Х. III; Перес, Хоакин (2011). «Классическая теория минимальных поверхностей». Bull. Amer. Math. Soc. 48 (3): 325–407. doi : 10.1090/s0273-0979-2011-01334-9 . MR  2801776.
2. Ж. Л. Лагранж. Эссе нового метода для определения максимумов и минимумов интегральных неопределенных формул. Miscellanea Taurinensia 2, 325(1):173{199, 1760.
3. Ж. Б. Мёнье. Mémoire sur la Courbure des Surfaces. Память Матем. Физ. акад. наук. Париж, прес. пар дел. Саванс, 10: 477–510, 1785. Представлено в 1776 году.
4. См. (Нишикава 2002) о вариационном определении.
5. "Изотермическая поверхность - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2022-09-04 .
6. Пинкалл, Ульрих; Полтье, Конрад (1993). «Вычисление дискретных минимальных поверхностей и их сопряженных». Experimental Mathematics . 2 (1): 15–36. doi :10.1080/10586458.1993.10504266. MR  1246481.
7. Нил, Роберт (2009). «Мартингальный подход к минимальным поверхностям». Журнал функционального анализа . 256 (8): 2440–2472. arXiv : 0805.0556 . doi : 10.1016/j.jfa.2008.06.033. MR  2502522. S2CID  15228691.
8. Хан, Лу; Че, Шунай (апрель 2018 г.). «Обзор материалов с трижды периодическими минимальными поверхностями и связанной с ними геометрией: от биологических структур до самоорганизующихся систем». Advanced Materials . 30 (17): 1705708. Bibcode :2018AdM....3005708H. doi :10.1002/adma.201705708. PMID  29543352. S2CID  3928702.
9. Terasaki, Mark; Shemesh, Tom; Kasthuri, Narayanan; Klemm, Robin W.; Schalek, Richard; Hayworth, Kenneth J.; Hand, Arthur R.; Yankova, Maya; Huber, Greg (2013-07-18). "Сложенные листы эндоплазматического ретикулума соединены спиральными мембранными мотивами". Cell . 154 (2): 285–296. doi :10.1016/j.cell.2013.06.031. ISSN  0092-8674. PMC 3767119 . PMID  23870120. 
10. Ивонн Шоке-Брюа. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN 978-0-19-923072-3 (стр. 417) 
11. "AD Classics: Олимпийский стадион (Олимпийский стадион Мюнхена) / Бениш и партнеры и Фрей Отто" . АрчДэйли . 11 февраля 2011 г. Проверено 4 сентября 2022 г.
12. "Немецкий павильон на Экспо 67". Architectuul . Получено 2022-09-04 .

Дальнейшее чтение

Учебники

• Р. Курант . Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, 1950. xiii+330 стр.
• H. Blaine Lawson, Jr. Lectures on minimum submanifolds. Vol. I. Second edition. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 стр. ISBN 0-914098-18-7 
• Роберт Оссерман . Обзор минимальных поверхностей. Второе издание. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1986. vi+207 стр. ISBN 0-486-64998-9 , MR 0852409 
• Иоганнес К. К. Ницше. Лекции по минимальным поверхностям. Том 1. Введение, основы, геометрия и основные краевые задачи. Перевод с немецкого Джерри М. Файнберга. С немецким предисловием. Cambridge University Press, Кембридж, 1989. xxvi+563 стр. ISBN 0-521-24427-7 
• Nishikawa, Seiki (2002). Вариационные задачи в геометрии . Переводы математических монографий; Серия Иванами в современной математике. Том 205. Перевод Абэ, Кинецу. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0821813560. ISSN  0065-9282, перевод с:{{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

• 西川青季 ( 1998 ) . 岩波講座現代数学の基礎 (на японском языке). Том. 28. Токио:岩波書店. ISBN 4-00-010642-2.

• Ульрих Дьеркес, Стефан Хильдебрандт и Фридрих Совиньи. Минимальные поверхности. Переработанное и дополненное второе издание. При содействии и вкладе А. Кюстера и Р. Якоба. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 стр. ISBN 978-3-642-11697-1 , doi : 10.1007/978-3-642-11698-8 , г-н 2566897
• Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци , II. Курс минимальных поверхностей. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii+313 стр. ISBN 978-0-8218-5323-8 

Онлайн ресурсы

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). "Touching Soap Films - An Introduction to Minimum Surfaces" . Получено 27 декабря 2006 г. (графическое введение в минимальные поверхности и мыльные пленки.)
• Яцек Клиновски. "Галерея периодических минимальных поверхностей" . Получено 2 февраля 2009 г. (Коллекция минималистичных поверхностей с классическими и современными примерами)
• Мартин Стеффенс и Кристиан Тейцель. "Grape Minimal Surface Library" . Получено 27 октября 2008 г. (Коллекция минимальных поверхностей)
• Разное (2000). "EG-Models" . Получено 28 сентября 2004 г. (Интернет-журнал с несколькими опубликованными моделями минимальных поверхностей)

Внешние ссылки

• «Минимальная поверхность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Домашняя страница 3D-XplorMath-J — Java-программа и апплеты для интерактивной математической визуализации
• Галерея вращающихся минимальных поверхностей
• Галерея вращающихся/масштабируемых минимальных поверхностей на основе WebGL