Канонический комплект

Понятие в алгебраической геометрии

В математике каноническим расслоением неособого алгебраического многообразия размерности над полем является линейное расслоение , которое является n- й внешней степенью кокасательного расслоения на . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \,\!\Omega ^{n}=\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$

Над комплексными числами это детерминантное расслоение голоморфного кокасательного расслоения . Эквивалентно, это линейное расслоение голоморфных n -форм на . Это дуализирующий объект для двойственности Серра на . Его можно с равным успехом рассматривать как обратимый пучок . ${\displaystyle T^{*}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Канонический класс — это класс дивизоров дивизора Картье на , порождающий каноническое расслоение — это класс эквивалентности для линейной эквивалентности на , и любой дивизор в нем может быть назван каноническим дивизором . Антиканонический дивизор — это любой дивизор − с каноническим. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Антиканоническое расслоение — это соответствующее обратное расслоение . Когда антиканоническое расслоение является обильным , называется многообразием Фано . ${\displaystyle \omega ^{-1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Формула присоединения

Предположим, что X — гладкое многообразие , а D — гладкий дивизор на X. Формула присоединения связывает канонические расслоения X и D. Это естественный изоморфизм

${\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}$

С точки зрения канонических классов это

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}$

Эта формула является одной из самых мощных формул в алгебраической геометрии. Важным инструментом современной бирациональной геометрии является инверсия присоединения , которая позволяет выводить результаты об особенностях X из особенностей D.

Формула канонического расслоения

Пусть будет нормальной поверхностью. Родовое расслоение — это собственный плоский морфизм в гладкую кривую, такой что и все слои имеют арифметический род . Если — гладкая проективная поверхность и слои не содержат рациональных кривых самопересечения , то расслоение называется минимальным . Например, если допускает (минимальное) расслоение рода 0, то оно бирационально линейчато, то есть бирационально . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times B}$

Для минимального расслоения рода 1 (также называемого эллиптическим расслоением ) все, кроме конечного числа, слои геометрически целы, и все слои геометрически связаны (по теореме Зарисского о связности ). В частности, для слоя , мы имеем, что где — канонический делитель ; поэтому для , если — геометрически целы, если и в противном случае. ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0,}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m=\operatorname {gcd} (a_{i})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle m>1}$

Рассмотрим минимальное расслоение рода 1 . Пусть будет конечным числом слоев, которые не являются геометрически целыми, и запишем , где — наибольший общий делитель коэффициентов разложения на целые компоненты; они называются кратными слоями . С помощью когомологий и замены базы имеем, что где — обратимый пучок, а — торсионный пучок ( опирается на такой, что ). Тогда имеем, что ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle F_{1},\dots ,F_{r}}$ ${\displaystyle F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}}$ ${\displaystyle m_{i}>1}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)}$

где для каждого и . ^[1] Можно отметить, что ${\displaystyle 0\leq a_{i}<m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})}$

${\displaystyle \operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1}$.

Например, для минимального расслоения рода 1 (квази)биэллиптической поверхности, индуцированного морфизмом Альбанезе , каноническая формула расслоения дает, что это расслоение не имеет кратных слоев. Аналогичный вывод можно сделать для любого минимального расслоения рода 1 поверхности K3 . С другой стороны, минимальное расслоение рода 1 поверхности Энриквеса всегда будет допускать кратные слои, и поэтому такая поверхность не будет допускать сечения.

Единичный случай

На особом многообразии существует несколько способов определения канонического дивизора. Если многообразие нормально, оно гладко в коразмерности один. В частности, мы можем определить канонический дивизор на гладком локусе. Это дает нам уникальный класс дивизоров Вейля на . Именно этот класс, обозначаемый как , называется каноническим дивизором на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X.}$

В качестве альтернативы, снова на нормальном многообразии , можно рассмотреть , '-ю когомологию нормализованного дуализирующего комплекса . Этот пучок соответствует классу дивизоров Вейля , который равен классу дивизоров, определенному выше. При отсутствии гипотезы нормальности тот же результат имеет место, если S2 и Горенштейн в размерности один. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})}$ ${\displaystyle -d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Канонические карты

Если канонический класс эффективен , то он определяет рациональное отображение из V в проективное пространство. Это отображение называется каноническим отображением . Рациональное отображение, определяемое n -м кратным канонического класса, является n -каноническим отображением . n -каноническое отображение отправляет V в проективное пространство размерности на единицу меньше размерности глобальных сечений n -го кратного канонического класса. n -канонические отображения могут иметь базовые точки, что означает, что они не определены всюду (т. е. они могут не быть морфизмом многообразий). Они могут иметь положительные размерные слои, и даже если у них есть нульмерные слои, они не обязаны быть локальными аналитическими изоморфизмами.

Канонические кривые

Наиболее изученный случай — это кривые. Здесь каноническое расслоение совпадает с (голоморфным) кокасательным расслоением . Глобальное сечение канонического расслоения, таким образом, совпадает с всюду регулярной дифференциальной формой. Классически они назывались дифференциалами первого рода . Степень канонического класса равна 2g − 2 для кривой рода g . ^[2]

Низкий род

Предположим, что C — гладкая алгебраическая кривая рода g . Если g равно нулю, то C — это P ¹ , а канонический класс — это класс −2 P , где P — любая точка C . Это следует из формулы исчисления d (1/ t ) = − dt / t ² , например, мероморфного дифференциала с двойным полюсом в начале координат на сфере Римана . В частности, K _C и его кратные неэффективны. Если g равно единице, то C — эллиптическая кривая , а K _C — тривиальное расслоение. Глобальные сечения тривиального расслоения образуют одномерное векторное пространство, поэтому n -каноническое отображение для любого n является отображением в точку.

Гиперэллиптический случай

Если C имеет род два или более, то канонический класс большой , поэтому образ любой n -канонической карты является кривой. Образ 1-канонической карты называется канонической кривой . Каноническая кривая рода g всегда находится в проективном пространстве размерности g − 1. [ ^3] Когда C является гиперэллиптической кривой , каноническая кривая является рациональной нормальной кривой , а C — двойным накрытием своей канонической кривой. Например, если P является многочленом степени 6 (без повторных корней), то

у ² = Р ( х )

является аффинным представлением кривой рода 2, обязательно гиперэллиптической, а базис дифференциалов первого рода задается в тех же обозначениях как

dx / √ P ( x ) ,   x dx / √ P ( x ) .

Это означает, что каноническое отображение задается однородными координатами [1: x ] как морфизм к проективной прямой. Рациональная нормальная кривая для гиперэллиптических кривых более высокого рода возникает таким же образом с более высокими степенными мономами по x .

Общий случай

В противном случае, для негиперэллиптического C , что означает, что g равно по крайней мере 3, морфизм является изоморфизмом C с его образом, который имеет степень 2 g − 2. Таким образом, для g = 3 канонические кривые (негиперэллиптический случай) являются кривыми плоскости квартики . Все неособые плоские квартики возникают таким образом. Существует явная информация для случая g = 4, когда каноническая кривая является пересечением квадрики и кубической поверхности ; и для g = 5, когда она является пересечением трех квадрик. ^[3] Существует обратное утверждение, которое является следствием теоремы Римана–Роха : неособая кривая C рода g, вложенная в проективное пространство размерности g − 1 как линейно нормальная кривая степени 2 g − 2, является канонической кривой, при условии, что ее линейная оболочка является всем пространством. На самом деле связь между каноническими кривыми C (в негиперэллиптическом случае g не менее 3), Риманом-Рохом и теорией специальных дивизоров довольно тесная. Эффективные дивизоры D на C , состоящие из различных точек, имеют линейную оболочку в каноническом вложении с размерностью, напрямую связанной с размерностью линейной системы, в которой они движутся; и при некотором дальнейшем обсуждении это применимо также к случаю точек с кратностями. ^{[4] [5]}

Более точная информация доступна для больших значений g , но в этих случаях канонические кривые, как правило, не являются полными пересечениями , и описание требует большего рассмотрения коммутативной алгебры . Область началась с теоремы Макса Нётера : размерность пространства квадрик, проходящих через C как вложенных в каноническую кривую, равна ( g − 2)( g − 3)/2. ^[6] Теорема Петри , часто цитируемая под этим названием и опубликованная в 1923 году Карлом Петри (1881–1955), утверждает, что для g не менее 4 однородный идеал, определяющий каноническую кривую, порождается ее элементами степени 2, за исключением случаев (a) тригональных кривых и (b) неособых плоских квинтик, когда g = 6. В исключительных случаях идеал порождается элементами степени 2 и 3. Исторически говоря, этот результат был в значительной степени известен до Петри и был назван теоремой Бэббиджа-Кизини-Энриквеса (по имени Денниса Бэббиджа, который завершил доказательство, Оскара Кизини и Федериго Энриквеса ). Терминология запутана, поскольку результат также называется теоремой Нётер-Энриквеса . За пределами гиперэллиптических случаев Нётер доказала, что (на современном языке) каноническое расслоение обычно порождается : симметрические степени пространства сечений канонического расслоения отображаются на сечения его тензорных степеней. ^{[7] [8]} Это подразумевает, например, генерацию квадратичных дифференциалов на таких кривых дифференциалами первого рода; и это имеет последствия для локальной теоремы Торелли . ^[9] Работа Петри фактически предоставила явные квадратичные и кубические генераторы идеала, показав, что, за исключением исключений, кубики могут быть выражены через квадратичные уравнения. В исключительных случаях пересечение квадрик через каноническую кривую является соответственно линейчатой ​​поверхностью и поверхностью Веронезе .

Эти классические результаты были доказаны для комплексных чисел, но современные обсуждения показывают, что эти методы работают для полей любой характеристики. ^[10]

Канонические кольца

Каноническое кольцо V — это градуированное кольцо

${\displaystyle R=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,K_{V}^{d}).}$

Если канонический класс V является обильным линейным расслоением , то каноническое кольцо является однородным координатным кольцом образа канонической карты. Это может быть верно даже тогда, когда канонический класс V не является обильным. Например, если V является гиперэллиптической кривой, то каноническое кольцо снова является однородным координатным кольцом образа канонической карты. В общем случае, если кольцо выше конечно порождено, то элементарно увидеть, что это однородное координатное кольцо образа k -канонической карты , где k - любое достаточно делимое положительное целое число.

Программа минимальной модели предполагала, что каноническое кольцо каждого гладкого или слабо сингулярного проективного многообразия конечно порождено. В частности, было известно, что это подразумевает существование канонической модели , конкретной бирациональной модели V с мягкими сингулярностями, которая может быть построена путем сдувания V . Когда каноническое кольцо конечно порождено, каноническая модель — это Proj канонического кольца. Если каноническое кольцо не конечно порождено, то Proj R не является многообразием, и поэтому оно не может быть бирациональным по отношению к V ; в частности, V не допускает канонической модели. Можно показать, что если канонический делитель K для V является nef -делителем и самопересечение K больше нуля, то V будет допускать каноническую модель (в более общем случае это верно для нормальных полных алгебраических пространств Горенштейна ^[11] ). ^[12]

Фундаментальная теорема Биркара–Кашини–Хакона–Маккернана от 2006 года ^[13] состоит в том, что каноническое кольцо гладкого или слабо сингулярного проективного алгебраического многообразия конечно порождено.

Размерность Кодаиры V — это размерность канонического кольца минус один. Здесь размерность канонического кольца можно понимать как размерность Крулла или степень трансцендентности .

Смотрите также

• Бирациональная геометрия
• Дифференциальная форма

Примечания

1. Бадеску, Лучиан (2001). Алгебраические поверхности . Springer Science & Business Media. стр. 111. ISBN 9780387986685.
2. "канонический класс", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
3. Паршин, AN (2001) [1994], "Каноническая кривая", Энциклопедия математики , EMS Press
4. "Геометрическая форма Римана-Роха | Строгие тривиальности". 7 августа 2008 г.
5. Рик Миранда, Алгебраические кривые и римановы поверхности (1995), гл. VII.
6. Дэвид Эйзенбуд , Геометрия сизигий (2005), стр. 181-2.
7. Исковских, ВА (2001) [1994], "Теорема Нётер–Энриквеса", Энциклопедия математики , EMS Press
8. Игорь Ростиславович Шафаревич , Алгебраическая геометрия I (1994), стр. 192.
9. "Теоремы Торелли", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
10. http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf, стр. 11-13.
11. Бадеску, Лучиан (2001). Алгебраические поверхности . Springer Science & Business Media. стр. 242. ISBN 9780387986685.
12. Бадеску, Лучиан (2001). Алгебраические поверхности . Springer Science & Business Media. стр. 123. ISBN 9780387986685.
13. «09w5033: Комплексный анализ и комплексная геометрия | Международная исследовательская станция Банф».