Геометрический анализ

Область высшей математики

Седельная башня минимальной поверхности. Минимальные поверхности входят в число объектов изучения геометрического анализа.

Геометрический анализ — это математическая дисциплина, в которой инструменты дифференциальных уравнений , особенно эллиптических уравнений в частных производных (ЧДУ), используются для получения новых результатов в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии . Использование линейных эллиптических УЧП датируется, по крайней мере, еще теорией Ходжа . В последнее время это относится в основном к использованию нелинейных уравнений в частных производных для изучения геометрических и топологических свойств пространств, таких как подмногообразия евклидова пространства , римановы многообразия и симплектические многообразия . Этот подход восходит к работам Тибора Радо и Джесси Дугласа о минимальных поверхностях , Джона Форбса Нэша-младшего об изометрических вложениях римановых многообразий в евклидово пространство, работе Луи Ниренберга по проблеме Минковского и проблеме Вейля, а также работе Александра Даниловича. Александров и Алексей Погорелов о выпуклых гиперповерхностях . В 1980-х годах фундаментальные вклады Карен Уленбек , ^[1] Клиффорда Таубса , Шинг-Тунг Яу , Ричарда Шона и Ричарда Гамильтона положили начало особенно захватывающей и продуктивной эпохе геометрического анализа, которая продолжается и по сей день. Знаменитым достижением стало решение гипотезы Пуанкаре Григорием Перельманом , завершившим программу, начатую и в значительной степени осуществленную Ричардом Гамильтоном.

Объем

Сфера геометрического анализа включает как использование геометрических методов при исследовании уравнений в частных производных (когда он также известен как «геометрический PDE»), так и применение теории уравнений в частных производных к геометрии. Он включает в себя проблемы, связанные с кривыми и поверхностями или областями с искривленными границами, а также изучение римановых многообразий в произвольной размерности. Вариационное исчисление иногда рассматривается как часть геометрического анализа, поскольку дифференциальные уравнения, возникающие на основе вариационных принципов, имеют сильное геометрическое содержание. Геометрический анализ также включает глобальный анализ , который касается изучения дифференциальных уравнений на многообразиях и взаимосвязи между дифференциальными уравнениями и топологией .

Ниже приводится неполный список основных тем геометрического анализа:

• Калибровочная теория
• Гармонические карты
• Метрики Кэлера – Эйнштейна
• Средняя кривизна потока
• Минимальные подмногообразия
• Теоремы о положительной энергии
• Псевдоголоморфные кривые
• поток Риччи
• Проблема Ямабе
• Уравнения Янга – Миллса

Рекомендации

1. Джексон, Аллин. (2019). Основатель геометрического анализа удостоен премии Абеля. Получено 20 марта 2019 г.

дальнейшее чтение

• Шен, Ричард ; Яу, Шинг Тунг (2010). Лекции по дифференциальной геометрии . Международная пресса Бостона. ISBN 978-1-571-46198-8.
• Эндрюс, Бен (2010). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой сфере сжатия 1/4 (1-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-642-16285-5.
• Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-25907-7.
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ (интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции) (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2673-7.
• Хельгасон, Сигурдур (2008). Геометрический анализ симметричных пространств (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4530-1.