stringtranslate.com

Луи Ниренберг

Луи Ниренберг (28 февраля 1925 — 26 января 2020) — канадско-американский математик, считающийся одним из самых выдающихся математиков 20 века. [2] [3]

Почти вся его работа была в области уравнений в частных производных . Многие из его вкладов сейчас считаются фундаментальными для этой области, например, его сильный принцип максимума для параболических уравнений в частных производных второго порядка и теорема Ньюлендера-Ниренберга в сложной геометрии . Он считается основополагающей фигурой в области геометрического анализа , причем многие из его работ тесно связаны с изучением комплексного анализа и дифференциальной геометрии . [4]

биография

Ниренберг родился в Гамильтоне, Онтарио, в семье украинских еврейских иммигрантов. Он учился в средней школе Барона Бинга и Университете Макгилла , получив степень бакалавра математики и физики в 1945 году. Во время летней работы в Национальном исследовательском совете Канады он познакомился с женой Эрнеста Куранта Сарой Пол. Она обратилась к отцу Куранта, выдающемуся математику Рихарду Куранту , за советом, куда Ниренбергу следует подать заявление для изучения теоретической физики. После их обсуждения Ниренберг был приглашен поступить в аспирантуру Курантовского института математических наук Нью-Йоркского университета . В 1949 году он получил докторскую степень по математике под руководством Джеймса Стокера . В своей докторской работе он решил «проблему Вейля» в дифференциальной геометрии , которая была известной открытой задачей с 1916 года.

После получения докторской степени он стал профессором Курантовского института, где оставался до конца своей карьеры. Он был консультантом 45 аспирантов и опубликовал более 150 статей с рядом соавторов, в том числе в заметном сотрудничестве с Анри Берестицким , Хаимом Брезисом , Луисом Каффарелли и Яньяном Ли , среди многих других. Он продолжал проводить математические исследования до 87 лет. 26 января 2020 года Ниренберг умер в возрасте 94 лет. [5] [6] [7]

Работа Ниренберга получила широкое признание, включая следующие награды и награды:

Математические достижения

Ниренберг особенно известен своим сотрудничеством с Шмуэлем Агмоном и Авроном Дуглисом, в котором они расширили теорию Шаудера , как это понималось ранее для эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, на общую ситуацию эллиптических систем. Вместе с Базилисом Гидасом и Вэй-Мин Ни он новаторски использовал принцип максимума для доказательства симметрии многих решений дифференциальных уравнений. Исследование функционального пространства BMO было инициировано Ниренбергом и Фрицем Джоном в 1961 году; Хотя он был первоначально введен Джоном при изучении упругих материалов , он также применялся к азартным играм, известным как мартингалы . [18] Его работа 1982 года с Луисом Каффарелли и Робертом Коном внесла плодотворный вклад в существование и гладкость Навье-Стокса в области математической механики жидкости .

Другие достижения включают решение проблемы Минковского в двумерном измерении, интерполяционное неравенство Гальярдо-Ниренберга , теорему Ньюлендера-Ниренберга в комплексной геометрии и разработку псевдодифференциальных операторов с Джозефом Коном .

Уравнения Навье-Стокса

Уравнения Навье -Стокса были разработаны в начале 1800-х годов для моделирования физики механики жидкости . Жан Лере , совершив в 1930-х годах выдающееся достижение, сформулировал влиятельную идею слабого решения уравнений и доказал их существование. [19] Его работа позже была помещена в постановку краевой задачи Эберхардом Хопфом . [20]

Прорыв произошел с работами Владимира Шеффера в 1970-х годах. Он показал, что если гладкое решение уравнений Навье-Стокса приближается к сингулярному времени, то решение можно непрерывно продолжить до сингулярного времени, грубо говоря, от кривой в пространстве. [21] Не делая такого условного предположения о гладкости, он установил существование решений Лере-Хопфа, которые являются гладкими вдали от двумерной поверхности в пространстве-времени. [22] Такие результаты называются «частичной регулярностью». Вскоре после этого Луис Каффарелли , Роберт Кон и Ниренберг локализовали и усовершенствовали анализ Шеффера. [CKN82] Ключевым инструментом анализа Шеффера было энергетическое неравенство, обеспечивающее локализованный интегральный контроль решений. Решения Лере-Хопфа не удовлетворяют его автоматически, но Шеффер и Каффарелли-Кон-Ниренберг установили теоремы существования решений, удовлетворяющих таким неравенствам. Используя такой «априорный» контроль в качестве отправной точки, Каффарелли-Кон-Ниренберг смогли доказать чисто локальный результат о гладкости вдали от кривой в пространстве-времени, улучшив частичную регулярность Шеффера.

Подобные результаты позже были получены Майклом Струве , а упрощенная версия анализа Каффарелли-Кона-Ниренберга была позже найдена Фанг-Хуа Линем . [23] [24] В 2014 году Американское математическое общество наградило статью Каффарелли-Кона-Ниренберга Премией Стила за вклад в исследования , заявив, что их работа стала «вехой», обеспечивающей «источник вдохновения для поколения математиков». ." Дальнейший анализ теории регулярности уравнений Навье-Стокса по состоянию на 2021 год является хорошо известной открытой задачей .

Нелинейные эллиптические уравнения в частных производных

В 1930-х годах Чарльз Морри нашел основную теорию регулярности квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных для функций в двумерных областях. [25] Ниренберг в рамках своей докторской диссертации. диссертация расширила результаты Морри на случай полностью нелинейных эллиптических уравнений. [N53a] В работах Морри и Ниренберга широко использовалась двумерность, а понимание эллиптических уравнений с областями более высокой размерности было выдающейся открытой проблемой.

Уравнение Монжа -Ампера в форме задания определителя гессиана функции является одним из стандартных примеров полностью нелинейного эллиптического уравнения. В приглашенной лекции на Международном конгрессе математиков 1974 года Ниренберг объявил о результатах, полученных с Эухенио Калаби по краевой задаче для уравнения Монжа-Ампера, основанной на оценках граничной регулярности и методе непрерывности . [26] Однако вскоре они поняли, что их доказательства неполны. [26] В 1977 году Шиу-Юэнь Ченг и Шинг-Тунг Яу разрешили существование и внутреннюю регулярность уравнения Монжа-Ампера , показав, в частности, что если определитель гессиана функции является гладким, то сама функция должна быть тоже гладкий. [27] Их работа была основана на связи через преобразование Лежандра с проблемой Минковского , которую они ранее решили с помощью дифференциально-геометрических оценок. [28] В частности, в их работе не использовалась регулярность границ, и их результаты оставили такие вопросы нерешенными.

В сотрудничестве с Луисом Каффарелли и Джоэлом Спруком Ниренберг решил такие вопросы, непосредственно установив граничную регулярность и используя ее для построения прямого подхода к уравнению Монжа-Ампера, основанного на методе непрерывности. [CNS84] Калаби и Ниренберг успешно продемонстрировали единый контроль над первыми двумя производными; Ключом к методу непрерывности является более мощная равномерная непрерывность по Гельдеру вторых производных. Каффарелли, Ниренберг и Спрук установили тонкую версию этого вдоль границы [29] , которую они смогли установить как достаточную, используя оценки третьей производной Калаби внутри. [30] Совместно с Джозефом Коном они получили аналогичные результаты в постановке сложного уравнения Монжа-Ампера. [C+85] В таких общих ситуациях теория Эванса-Крылова [29] является более гибким инструментом, чем вычислительные расчеты Калаби.

Каффарелли, Ниренберг и Спрук смогли распространить свои методы на более общие классы полностью нелинейных эллиптических уравнений в частных производных, в которых изучаются функции, для которых заданы определенные соотношения между собственными значениями гессиана. [CNS85] В качестве частного случая их нового класса уравнений они смогли частично решить краевую задачу для специальных лагранжианов .

Линейные эллиптические системы

Самая известная работа Ниренберга 1950-х годов посвящена «эллиптической регулярности». Вместе с Авроном Дуглисом Ниренберг распространил оценки Шаудера , обнаруженные в 1930-х годах в контексте эллиптических уравнений второго порядка, на общие эллиптические системы произвольного порядка. [DN55] В сотрудничестве со Шмуэлем Агмоном и Дуглисом Ниренберг доказал граничную регулярность для эллиптических уравнений произвольного порядка. [ADN59] Позже они распространили свои результаты на эллиптические системы произвольного порядка. [ADN64] Вместе с Морри Ниренберг доказал, что решения эллиптических систем с аналитическими коэффициентами сами по себе являются аналитическими, распространяясь до границы ранее известной работы. [MN57] Этот вклад в эллиптическую регулярность теперь рассматривается как часть «стандартного пакета» информации и рассматривается во многих учебниках. Оценки Дуглиса-Ниренберга и Агмона-Дуглиса-Ниренберга, в частности, являются одними из наиболее широко используемых инструментов в эллиптических уравнениях в частных производных. [31]

Вместе с Яньяном Ли и мотивированный композитными материалами в теории упругости, Ниренберг изучал линейные эллиптические системы, в которых коэффициенты непрерывны по Гельдеру внутри, но, возможно, разрывны на границе. Их результат состоит в том, что градиент решения является гельдеровским, с оценкой L ∞ градиента, которая не зависит от расстояния от границы. [ЛН03]

Принцип максимума и его приложения.

В случае гармонических функций принцип максимума был известен в 1800-х годах и использовался Карлом Фридрихом Гауссом . [32] [33] В начале 1900-х годов Сергеем Бернштейном , Леоном Лихтенштейном и Эмилем Пикардом были найдены сложные расширения общих эллиптических уравнений в частных производных второго порядка ; только в 1920-х годах простое современное доказательство было найдено Эберхардом Хопфом . [34] В одной из своих ранних работ Ниренберг адаптировал доказательство Хопфа к параболическим уравнениям в частных производных второго порядка , тем самым установив сильный принцип максимума в этом контексте. [N53b] Как и в более ранней работе, такой результат имел в качестве следствий различные теоремы единственности и сравнения. Работа Ниренберга сейчас считается одной из основ области параболических уравнений в частных производных и повсеместно встречается в стандартных учебниках. [35] [36] [37] [38] [39] [40]

В 1950-х годах А. Д. Александров представил элегантный метод отражения «движущейся плоскости», который он использовал в качестве контекста для применения принципа максимума для характеристики стандартной сферы как единственной замкнутой гиперповерхности евклидова пространства с постоянной средней кривизной . В 1971 году Джеймс Серрин использовал технику Александрова, чтобы доказать, что высокосимметричные решения некоторых эллиптических уравнений в частных производных второго порядка должны поддерживаться в симметричных областях. Ниренберг понял, что работу Серрена можно переформулировать, чтобы доказать, что решения эллиптических уравнений в частных производных второго порядка наследуют симметрию своей области определения и самого уравнения. Такие результаты не выполняются автоматически, и нетривиально определить, какие особенности данной проблемы имеют отношение к делу. Например, в евклидовом пространстве существует множество гармонических функций , которые не могут быть вращательно-симметричными, несмотря на вращательную симметрию лапласиана и евклидова пространства.

Первые результаты по этой проблеме были получены Ниренбергом совместно с Базилисом Гидасом и Вэй-Мин Ни . Они разработали точную форму метода Александрова и Серрина, применимую даже к полностью нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям. [GNN79] В более поздней работе они разработали версию леммы Хопфа , применимую к неограниченным областям, тем самым улучшив свою работу в случае уравнений в таких областях. [GNN81] Их основные применения связаны с вращательной симметрией. Благодаря таким результатам во многих случаях, представляющих геометрический или физический интерес, достаточно изучать обыкновенные дифференциальные уравнения , а не уравнения в частных производных.

Позже, вместе с Анри Берестицким , Ниренберг использовал оценку Александрова-Бакельмана-Пуччи [29] для улучшения и модификации методов Гидаса-Ни-Ниренберга, что значительно уменьшило необходимость предполагать регулярность области. [BN91a] В важном результате, полученном совместно со Шринивасой Варадханом , Берестицкий и Ниренберг продолжили изучение областей без предполагаемой регулярности. Для линейных операторов они связали справедливость принципа максимума с положительностью первого собственного значения и существованием первой собственной функции. [BNV94] Вместе с Луисом Каффарелли , Берестицкий и Ниренберг применили свои результаты к симметрии функций в цилиндрических областях. [BCN96] В частности, они получили частичное разрешение известной гипотезы Эннио Де Джорджи о трансляционной симметрии, которая позже была полностью решена в докторской диссертации Овидиу Савина. Тезис. [BCN97b] [41] [42] Далее они применили свой метод для получения качественных явлений в общих неограниченных областях, расширяя более ранние работы Марии Эстебан и Пьера-Луи Лионса . [BCN97a]

Функциональные неравенства

Ниренберг и Эмилио Гальярдо независимо друг от друга доказали фундаментальные неравенства для пространств Соболева , ныне известные как неравенство Гальярдо–Ниренберга–Соболева и интерполяционные неравенства Гальярдо–Ниренберга . [N59] Они повсеместно используются в литературе по уравнениям в частных производных; как таковые, представляло большой интерес расширить и адаптировать их к различным ситуациям. Сам Ниренберг позже уточнит возможные показатели степени, которые могут появиться в интерполяционном неравенстве. [N66] Вместе с Луисом Каффарелли и Робертом Коном Ниренберг установил соответствующие неравенства для некоторых взвешенных норм. [CKN84] Нормы Каффарелли, Кона и Ниренберга позже были более полно исследованы в известной работе Флорина Катрины и Чжи-Цян Ванга. [43]

Сразу после введения Фрицем Джоном функционального пространства ограниченных средних колебаний (BMO) в теории упругости он и Ниренберг провели дальнейшее исследование этого пространства, доказав, в частности, «неравенство Джона-Ниренберга», которое ограничивает размер множество, на котором функция BMO далека от своего среднего значения. [JN61] Их работа, представляющая собой применение разложения Кальдерона-Зигмунда , стала частью стандартной математической литературы. Изложения содержатся в стандартных учебниках по вероятностному анализу, [44] комплексному анализу, [45] гармоническому анализу, [46] анализу Фурье, [47] и уравнениям в частных производных. [29] Среди других приложений, это особенно важно для неравенства Харнака Юргена Мозера и последующих работ. [48] ​​[49] [29]

Неравенство Джона-Ниренберга и более общие основы теории BMO были разработаны Ниренбергом и Хаимом Брезисом в контексте отображений между римановыми многообразиями . [BN95] Среди других результатов они смогли установить, что гладкие отображения, близкие по норме BMO, имеют одинаковую топологическую степень , и, следовательно, эта степень может быть осмысленно определена для отображений исчезающего среднего колебания (VMO) .

Вариационное исчисление

В контексте топологических векторных пространств Кай Фан разработал теорему о минимаксе , имеющую приложения в теории игр . [50] [51] Вместе с Хаимом Брезисом и Гвидо Стампаккья Ниренберг получил результаты, расширяющие как теорию Фана, так и обобщение Стампаккиа теоремы Лакса-Милграма . [BNS72] [52] Их работа имеет приложения к теме вариационных неравенств . [53]

Адаптируя энергию Дирихле , принято распознавать решения некоторых волновых уравнений как критические точки функционалов. Вместе с Брезисом и Жаном-Мишелем Короном Ниренберг нашел новый функционал, критические точки которого можно напрямую использовать для построения решений волновых уравнений. [BCN80] Они смогли применить теорему о горном перевале к своему новому функционалу, тем самым установив существование периодических решений некоторых волновых уравнений, расширяя результат Пола Рабиновица . [54] Часть их работы включала небольшие расширения стандартной теоремы о горном перевале и условия Пале-Смейла , которые стали стандартными в учебниках. [55] [56] [57] В 1991 году Брезис и Ниренберг показали, как вариационный принцип Экланда можно применить для расширения теоремы о горном перевале, в результате чего почти критические точки могут быть найдены без необходимости выполнения условия Пале-Смейла. [БН91б] [57]

Фундаментальный вклад Брезиса и Ниренберга в теорию критических точек был связан с локальными минимизаторами. [BN93] В принципе, выбор функционального пространства очень важен, и функция может минимизироваться среди гладких функций без минимизации среди более широкого класса функций Соболева . Используя более ранний результат Брезиса и Тосио Като о регулярности , Брезис и Ниренберг исключили такие явления для определенного класса функционалов типа Дирихле . [58] Позднее их работа была расширена Хесусом Гарсиа Асореро, Хуаном Манфреди и Иренео Пералем. [59]

В одной из наиболее широко цитируемых статей Ниренберга он и Брезис исследовали проблему Дирихле для уравнений типа Ямабе в евклидовых пространствах, следуя части работ Тьерри Обена по проблеме Ямабе . [BN83] Вместе с Берестицким и Итало Капуццо-Дольчеттой Ниренберг изучал суперлинейные уравнения типа Ямабе, получив различные результаты о существовании и несуществовании. [BCN94]

Нелинейный функциональный анализ

Агмон и Ниренберг провели обширное исследование обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, связав асимптотические представления и поведение на бесконечности решений

к спектральным свойствам оператора A . Приложения включают исследование весьма общих параболических и эллиптико-параболических задач. [АН63]

Брезис и Ниренберг исследовали теорию возмущений нелинейных возмущений необратимых преобразований между гильбертовыми пространствами; приложения включают результаты существования периодических решений некоторых полулинейных волновых уравнений. [БН78а] [БН78б]

В работе Джона Нэша по проблеме изометрического вложения ключевым шагом является результат небольшого возмущения, очень напоминающий теорему о неявной функции ; в его доказательстве использовалась новая комбинация метода Ньютона (в бесконечно малой форме) со сглаживающими операторами. [60] Ниренберг был одним из многих математиков, которые поместили идеи Нэша в систематические и абстрактные рамки, называемые теоремами Нэша-Мозера . Формулировка Ниренберга особенно проста и выделяет основные аналитические идеи, лежащие в основе анализа большинства итерационных схем Нэша-Мозера. [N72] В аналогичных рамках он доказал абстрактную форму теоремы Коши–Ковалевского как частный случай теоремы о разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в семействах банаховых пространств . [N72] Его работа была позже упрощена Такааки Нисидой и использована при анализе уравнения Больцмана . [61] [62]

Геометрические задачи

Используя свою работу по полностью нелинейным эллиптическим уравнениям [N53a] , доктор философии Ниренберга. диссертация дала решение проблемы Вейля и проблемы Минковского в области дифференциальной геометрии . [N53c] Первый требует существования изометрических вложений положительно искривленных римановых метрик на двумерной сфере в трехмерное евклидово пространство , тогда как второй требует существования замкнутых поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, для которых отображение Гаусса предписывает Гауссова кривизна . Ключевым моментом является то, что «уравнение Дарбу» из теории поверхностей относится к типу Монжа-Ампера, так что теория регулярности Ниренберга становится полезной в методе непрерывности . Известные теоремы изометрического вложения Джона Нэша , установленные вскоре после этого, не имеют очевидного отношения к проблеме Вейля, которая имеет дело одновременно с вложениями высокой регулярности и низкой коразмерности. [63] [60] Работа Ниренберга по проблеме Минковского была распространена на римановы условия Алексеем Погореловым . В высших измерениях проблему Минковского решили Шиу-Юэнь Чэн и Шинг-Дун Яу . [28] Другие подходы к проблеме Минковского возникли на основе фундаментального вклада Каффарелли, Ниренберга и Спрука в теорию нелинейных эллиптических уравнений. [CNS85]

В одной из своих очень немногих статей, не посвященных анализу , Ниренберг и Филип Хартман охарактеризовали цилиндры в евклидовом пространстве как единственные полные гиперповерхности , которые по своей сути плоские. [HN59] Это также можно рассматривать как решение вопроса об изометрическом вложении плоских многообразий в качестве гиперповерхностей. Подобные вопросы и естественные обобщения позднее были подхвачены, среди прочих , Ченгом, Яу и Гарольдом Розенбергом . [64] [65]

Отвечая на вопрос, заданный Ниренбергу Шиинг -Шеном Черном и Андре Вейлем , Ниренберг и его докторант Август Ньюлендер доказали то, что сейчас известно как теорема Ньюландера-Ниренберга , которая обеспечивает точное алгебраическое условие, при котором почти сложная структура возникает из голоморфной координатный атлас. [NN57] Теорема Ньюлендера-Ниренберга сейчас считается основополагающим результатом в сложной геометрии , хотя сам результат гораздо более известен, чем доказательство, которое обычно не освещается во вводных текстах, поскольку оно опирается на передовые методы в уравнениях в частных производных. . Ниренберг и Джозеф Кон , следуя более ранней работе Кона, изучили ∂ -проблему Неймана в псевдовыпуклых областях и продемонстрировали связь теории регулярности с существованием субэллиптических оценок для ∂- оператора. [КН65б]

Классическая модель диска Пуанкаре приписывает единичному шару метрику гиперболического пространства . Ниренберг и Чарльз Лоунер изучили более общие способы естественного присвоения полной римановой метрики ограниченным открытым подмножествам евклидова пространства . [LN74] Геометрические расчеты показывают, что решения некоторых полулинейных уравнений типа Ямабе могут использоваться для определения метрик постоянной скалярной кривизны, и что метрика является полной, если решение расходится до бесконечности вблизи границы. Левнер и Ниренберг установили существование таких решений в определенных областях. Аналогичным образом они изучили определенное уравнение Монжа-Ампера, свойство которого состоит в том, что для любого отрицательного решения, непрерывно продолжающегося до нуля на границе, можно определить полную риманову метрику через гессиан. Эти метрики обладают особым свойством проективной инвариантности, так что проективное преобразование из одной заданной области в другую становится изометрией соответствующих метрик.

Псевдодифференциальные операторы

Джозеф Кон и Ниренберг ввели понятие псевдодифференциальных операторов . [KN65a] Ниренберг и Франсуа Тревес исследовали знаменитый пример Леви для неразрешимого линейного УЧП второго порядка и обнаружили условия, при которых оно разрешимо, в контексте как операторов в частных производных, так и псевдодифференциальных операторов. [NT63] [NT70] Их введение условий локальной разрешимости с аналитическими коэффициентами привлекло внимание таких исследователей, как Р. Билс, К. Фефферман, Р. Д. Мойер, Ларс Хёрмандер и Нильс Денкер , которые решили псевдодифференциальное условие для уравнения Леви. . Это открыло новые возможности для изучения локальной разрешимости линейных уравнений в частных производных.

Основные публикации

Книги и обзоры.

Статьи.

Рекомендации

  1. ↑ Лоусон, Х. Блейн-младший (21 апреля 2012 г.). «Размышления о ранней математической жизни Боба Оссермана» (PDF) .
  2. ^ Аллин Джексон (март 2002 г.). «Интервью с Луи Ниренбергом» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (4): 441–449. Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года . Проверено 26 марта 2015 г.
  3. ^ Каффарелли, Луис А.; Ли, Ян Ян. Предисловие [Посвящается Луи Ниренбергу по случаю его 85-летия. Часть I]. Дискретный контин. Дин. Сист. 28 (2010), вып. 2, i–ii. doi:10.3934/dcds.2010.28.2i
  4. ^ Яу, Шинг-Тунг. Перспективы геометрического анализа. Обзоры по дифференциальной геометрии. Том. X, 275–379, Сурв. Отличие. Геом., 10, Межд. Пресс, Сомервилл, Массачусетс, 2006 г.
  5. ^ Morto il grande matematico Луи Ниренберг (на итальянском языке)
  6. ↑ Чанг, Кеннет (31 января 2020 г.). «Луи Ниренберг, «один из величайших математиков», умер в возрасте 94 лет». Газета "Нью-Йорк Таймс . Проверено 19 февраля 2020 г.
  7. ^ Шилдс, Брит; Барани, Майкл Дж. (17 февраля 2020 г.). «Луи Ниренберг (1925–2020)». Природа . Проверено 19 февраля 2020 г.
  8. ^ «Просмотр призов и наград» . Американское математическое общество . Проверено 12 августа 2022 г.
  9. ^ "Луи Ниренберг". Американская академия искусств и наук . Проверено 5 мая 2022 г.
  10. ^ "Луи Ниренберг". www.nasonline.org . Проверено 5 мая 2022 г.
  11. ^ "Премия Крафорда 1982" . Премия Крафорда . 25 мая 1982 года.
  12. ^ "Премия Джеффри-Уильямса". CMS-SMC . Проверено 12 августа 2022 г.
  13. ^ "История участников APS" . search.amphilsoc.org . Проверено 5 мая 2022 г.
  14. ^ Премии Стила 1994 года. Замечания амер. Математика. Соц. 41 (1994), вып. 8, 905–912.
  15. ^ Луи Ниренберг получает Национальную медаль науки. При участии Луиса Каффарелли и Джозефа Дж. Кона. Замечания амер. Математика. Соц. 43 (1996), вып. 10, 1111–1116.
  16. ^ Награждена Медалью Черна 2010 г. Замечания амер. Математика. Соц. 57 (2010), вып. 11, 1472–1474.
  17. ^ «2015: Джон Ф. Нэш и Луи Ниренберг». Норвежская академия наук и литературы . Проверено 12 августа 2022 г.
  18. ^ «Джон Ф. Нэш-младший и Луи Ниренберг делят премию Абеля» . Абелевская премия . 25 марта 2015 года . Проверено 26 марта 2015 г.
  19. ^ Лерэ, Жан. Sur le mouvement d'un Liquide visqueux emplissant l'espace. Акта Математика. 63 (1934), вып. 1, 193–248.
  20. ^ Хопф, Эберхард. Используйте функцию Anfangswertaufgabe for die Hydrodynamischen Grundgleichungen. Математика. Нахр. 4 (1951), 213–231.
  21. ^ Шеффер, Владимир. Частичная регулярность решений уравнений Навье-Стокса. Пасифик Дж. Математика. 66 (1976), вып. 2, 535–552.
  22. ^ Шеффер, Владимир. Мера Хаусдорфа и уравнения Навье-Стокса. Комм. Математика. Физ. 55 (1977), вып. 2, 97–112.
  23. ^ Струве, Майкл. О результатах частичной регулярности уравнений Навье-Стокса. Комм. Чистое приложение. Математика. 41 (1988), вып. 4, 437–458.
  24. ^ Линь, Фанхуа. Новое доказательство теоремы Каффарелли-Кона-Ниренберга. Комм. Чистое приложение. Математика. 51 (1998), вып. 3, 241–257.
  25. ^ Морри, Чарльз Б. младший. О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных. Пер. амер. Математика. Соц. 43 (1938), вып. 1, 126–166.
  26. ^ ab См. вторую страницу [CNS84] .
  27. ^ Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. О регулярности уравнения Монжа-Ампера det(∂ 2 u/∂x i ∂x j ) = F(x,u) . Комм. Чистое приложение. Математика. 30 (1977), вып. 1, 41–68.
  28. ^ Аб Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. О регулярности решения n-мерной задачи Минковского. Комм. Чистое приложение. Математика. 29 (1976), вып. 5, 495–516.
  29. ^ abcde Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. Перепечатка издания 1998 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2001. xiv+517 стр. ISBN 3-540-41160-7 
  30. ^ Калаби, Эудженио. Несобственные аффинные гиперсферы выпуклого типа и обобщение теоремы К. Йоргенса. Мичиганская математика. Дж. 5 (1958), 105–126.
  31. ^ Морри, Чарльз Б. младший. Множественные интегралы в вариационном исчислении. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 130 Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, 1966 ix+506 стр.
  32. ^ Исторические комментарии и ссылки взяты из комментария Джеймса Серрина на странице 9 книги «Избранные произведения Эберхарда Хопфа с комментариями». Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2002. xxiv+386 стр.
  33. ^ Гаусс, CF Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus. Resultate aus den Beobachtungen des Magnetischen Vereins im Jahre 1838.
  34. ^ Хопф, Эберхард. Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichngen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus (1927)
  35. ^ Эванс, Лоуренс К. Уравнения в частных производных. Второе издание. Аспирантура по математике, 19. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010. xxii+749 стр.
  36. ^ Фридман, Авнер. Уравнения в частных производных параболического типа. Prentice-Hall, Inc., Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964 xiv+347 стр.
  37. ^ Ладыженская, ОА; Солонников В.А.; Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Переводы математических монографий, Vol. 23 Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1968 xi+648 стр.
  38. ^ Либерман, Гэри М. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка. World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1996. xii+439 стр.
  39. ^ Проттер, Мюррей Х.; Вайнбергер, Ханс Ф. Принципы максимума в дифференциальных уравнениях. Исправленная перепечатка оригинала 1967 года. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1984. x+261 стр.
  40. ^ Смоллер, Джоэл. Ударные волны и уравнения реакции-диффузии. Второе издание. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 258. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1994. xxiv+632 стр.
  41. ^ Савин, Овидиу. Регулярность установления плоских уровней при фазовых переходах. Анна. математики. (2) 169 (2009), вып. 1, 41–78.
  42. ^ дель Пино, Мануэль; Ковальчик, Михал; Вэй, Цзюньчэн. О гипотезе Де Джорджи в размерности N≥9. Анна. математики. (2) 174 (2011), вып. 3, 1485–1569.
  43. ^ Катрина, Флорин; Ван, Чжи-Цян. О неравенствах Каффарелли-Кона-Ниренберга: точные константы, существование (и несуществование) и симметрия экстремальных функций. Комм. Чистое приложение. Математика. 54 (2001), вып. 2, 229–258.
  44. ^ Ревуз, Дэниел; Йор, Марк. Непрерывные мартингалы и броуновское движение. Третье издание. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 293. Springer-Verlag, Берлин, 1999. xiv+602 стр. ISBN 3-540-64325-7 
  45. ^ Гарнетт, Джон Б. Ограниченные аналитические функции. Переработанное первое издание. Тексты для выпускников по математике, 236. Спрингер, Нью-Йорк, 2007. xiv + 459 стр. ISBN 978-0-387-33621-3 , 0-387-33621-4 . 
  46. ^ Гарсиа-Куэрва, Хосе; Рубио де Франсия, Хосе Л. Взвешенное нормативное неравенство и смежные темы. Математические исследования Северной Голландии, 116. Notas de Matemática, 104. North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1985. x +604 стр. ISBN 0-444-87804-1 
  47. ^ Графакос, Лукас. Современный анализ Фурье. Третье издание. Тексты для выпускников по математике, 250. Спрингер, Нью-Йорк, 2014. xvi + 624 стр. ISBN 978-1-4939-1229-2 , 978-1-4939-1230-8 . 
  48. ^ Мозер, Юрген О теореме Гарнака для эллиптических дифференциальных уравнений. Комм. Чистое приложение. Математика. 14 (1961), 577–591.
  49. ^ Мозер, Юрген. Неравенство Харнака для параболических дифференциальных уравнений. Комм. Чистое приложение. Математика. 17 (1964), 101–134.
  50. ^ Фан, Кентукки. Обобщение теоремы Тихонова о неподвижной точке. Математика. Анна. 142 (1960), 305–310.
  51. ^ Фан, Кентукки. Минимаксное неравенство и его приложения. Неравенства, III (Труды Третьего симпозиума, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния, 1969; посвящен памяти Теодора С. Моцкина), стр. 103–113. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1972.
  52. ^ Стампаккья, Гвидо. Формы билинейных принуждений к выпуклым ансамблям. ЧР акад. наук. Париж 258 (1964), 4413–4416.
  53. ^ Обен, Жан-Пьер; Экеланд, Ивар. Прикладной нелинейный анализ. Перепечатка оригинала 1984 года. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2006. x+518 стр.
  54. ^ Рабиновиц, Пол Х. Свободные колебания для полулинейного волнового уравнения. Комм. Чистое приложение. Математика. 31 (1978), вып. 1, 31–68.
  55. ^ Мавин, Джин; Виллем, Мишель. Теория критической точки и гамильтоновы системы. Прикладные математические науки, 74. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1989. xiv+277 стр.
  56. ^ Струве, Майкл. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Четвертое издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике, 34. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xx+302 стр.
  57. ^ аб Виллем, Мишель. Минимаксные теоремы. Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x+162 стр.
  58. ^ Брезис, Хаим; Като, Тосио. Замечания об операторе Шредингера с сингулярными комплексными потенциалами. Дж. Математика. Приложение Pures. (9) 58 (1979), вып. 2, 137–151.
  59. ^ Гарсиа Азореро, JP; Пераль Алонсо, И.; Манфреди, Хуан Дж. Соболев в сравнении с локальными минимизаторами Гельдера и глобальной кратностью для некоторых квазилинейных эллиптических уравнений. Коммун. Созерцание Математика. 2 (2000), вып. 3, 385–404.
  60. ^ Аб Нэш, Джон. Проблема вложения римановых многообразий. Анна. математики. (2) 63 (1956), 20–63.
  61. ^ Нисида, Такааки. Замечание к теореме Ниренберга. Дж. Дифференциальная геометрия 12 (1977), вып. 4, 629–633
  62. ^ Нисида, Такааки. Гидравлический динамический предел нелинейного уравнения Больцмана до уровня сжимаемого уравнения Эйлера. Комм. Математика. Физ. 61 (1978), вып. 2, 119–148.
  63. ^ Нэш, Джон. C 1 изометрические вложения. Анна. математики. (2) 60 (1954), 383–396.
  64. ^ Ченг, Шиу Юэнь; Яу, Шинг Тунг. Гиперповерхности с постоянной скалярной кривизной. Математика. Анна. 225 (1977), вып. 3, 195–204.
  65. ^ Розенберг, Гарольд. Гиперповерхности постоянной кривизны в пространственных формах. Бык. наук. Математика. 117 (1993), вып. 2, 211–239.

Внешние ссылки