Псевдоголоморфная кривая

В математике , особенно в топологии и геометрии , псевдоголоморфная кривая (или J -голоморфная кривая ) — это гладкое отображение римановой поверхности в почти комплексное многообразие , удовлетворяющее уравнению Коши–Римана . Псевдоголоморфные кривые, введенные в 1985 году Михаилом Громовым , произвели революцию в изучении симплектических многообразий . В частности, они приводят к инвариантам Громова-Виттена и гомологиям Флоера и играют заметную роль в теории струн .

Определение

Пусть – почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой . Пусть — гладкая риманова поверхность (называемая также комплексной кривой ) сложной структуры . Псевдоголоморфная кривая в — это отображение , удовлетворяющее уравнению Коши–Римана. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=0.}$

Поскольку , это условие эквивалентно ${\displaystyle J^{2}=-1}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

что просто означает, что дифференциал комплексно-линейный, то есть отображает каждое касательное пространство ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X}$

самому себе. По техническим причинам часто предпочтительнее ввести какой-либо неоднородный член и изучить отображения, удовлетворяющие возмущенному уравнению Коши – Римана. ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{j,J}f=\nu .}$

Псевдоголоморфную кривую, удовлетворяющую этому уравнению, можно назвать, более конкретно, -голоморфной кривой . Иногда предполагается, что возмущение порождается гамильтонианом ( особенно в теории Флоера), но в целом это не обязательно. ${\displaystyle (j,J,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Псевдоголоморфная кривая по своему определению всегда параметризована. В приложениях часто действительно интересуются непараметризованными кривыми, то есть вложенными (или погруженными) двумя подмногообразиями , поэтому от них можно отказаться путем перепараметризации области, сохраняющей соответствующую структуру. Например, в случае инвариантов Громова–Виттена мы рассматриваем только замкнутые области фиксированного рода и вводим отмеченные точки (или проколы ) на . Поскольку проколотая эйлерова характеристика отрицательна, существует лишь конечное число ее голоморфных репараметризаций, сохраняющих отмеченные точки. Кривая области является элементом пространства модулей кривых Делиня – Мамфорда . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2-2g-n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Аналогия с классическими уравнениями Коши–Римана.

Классический случай возникает, когда и оба являются просто плоскостью комплексных чисел . В реальных координатах ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle j=J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},}$

и

${\displaystyle df={\begin{bmatrix}du/dx&du/dy\\dv/dx&dv/dy\end{bmatrix}},}$

где . Перемножив эти матрицы в двух разных порядках, сразу видно, что уравнение ${\displaystyle f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))}$

${\displaystyle J\circ df=df\circ j}$

написанное выше эквивалентно классическим уравнениям Коши–Римана

${\displaystyle {\begin{cases}du/dx=dv/dy\\dv/dx=-du/dy.\end{cases}}}$

Приложения в симплектической топологии

Хотя псевдоголоморфные кривые могут быть определены для любого почти комплексного многообразия, они особенно интересны при взаимодействии с симплектической формой . Почти сложная структура называется -ручной тогда и только тогда, когда ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$

для всех ненулевых касательных векторов . Прирученность означает, что формула ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)}$

определяет риманову метрику на . Громов показал, что при данном пространство -tame непусто и сжимаемо . Он использовал эту теорию для доказательства теоремы о несжатии , касающейся симплектического вложения сфер в цилиндры. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle J}$

Громов показал, что некоторые пространства модулей псевдоголоморфных кривых (удовлетворяющие дополнительным указанным условиям) компактны , и описал способ вырождения псевдоголоморфных кривых, когда предполагается только конечная энергия. (Условие конечной энергии особенно справедливо для кривых с фиксированным классом гомологий в симплектическом многообразии, где J -ручное или -совместимое). Эта теорема о компактности Громова , теперь значительно обобщенная с использованием стабильных отображений , делает возможным определение инвариантов Громова–Виттена, которые учитывают псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Компактные пространства модулей псевдоголоморфных кривых также используются для построения гомологий Флоера , которые Андреас Флоер (и более поздние авторы, в большей общности) использовали для доказательства знаменитой гипотезы Владимира Арнольда относительно числа неподвижных точек гамильтоновых потоков .

Приложения в физике

В теории струн типа II рассматриваются поверхности, очерченные струнами, когда они движутся по путям в трехмерном многообразии Калаби – Яу . Следуя формулировке квантовой механики об интеграле по путям , хочется вычислить определенные интегралы по пространству всех таких поверхностей. Поскольку такое пространство бесконечномерно, эти интегралы по путям в целом математически не определены. Однако при A-повороте можно сделать вывод, что поверхности параметризованы псевдоголоморфными кривыми, и поэтому интегралы по путям сводятся к интегралам по пространствам модулей псевдоголоморфных кривых (или, скорее, устойчивых отображений), которые являются конечномерными. Например, в теории струн IIA замкнутого типа эти интегралы представляют собой в точности инварианты Громова – Виттена .

Смотрите также

• Голоморфная кривая

Рекомендации

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон , J-голоморфные кривые и симплектическая топология , публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004. ISBN  0-8218-3485-1 .
• Михаил Леонидович Громов , Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, стр. 307-347.
• Дональдсон, Саймон К. (октябрь 2005 г.). «Что такое… псевдоголоморфная кривая?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 52 (9): 1026–1027 . Проверено 17 января 2008 г.