Лемма Вейля (уравнение Лапласа)

Математическое уравнение

В математике лемма Вейля , названная в честь Германа Вейля , утверждает, что каждое слабое решение уравнения Лапласа является гладким решением. Это контрастирует с волновым уравнением , например, которое имеет слабые решения, не являющиеся гладкими решениями. Лемма Вейля является частным случаем эллиптической или гипоэллиптической регулярности .

Утверждение леммы

Пусть будет открытым подмножеством -мерного евклидова пространства , и пусть обозначает обычный оператор Лапласа . Лемма Вейля ^[1] утверждает, что если локально интегрируемая функция является слабым решением уравнения Лапласа, в том смысле, что ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0}$

для каждой тестовой функции ( гладкой функции с компактным носителем ) тогда (с точностью до переопределения на множестве меры нуль ) является гладкой и удовлетворяет поточечно в . ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle \Omega }$

Этот результат подразумевает внутреннюю регулярность гармонических функций в , но ничего не говорит об их регулярности на границе . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Идея доказательства

Чтобы доказать лемму Вейля, сворачивают функцию с соответствующим смягчителем и показывают, что смягчение удовлетворяет уравнению Лапласа, что подразумевает, что имеет свойство среднего значения. Принимая предел как и используя свойства смягчителей, находят, что также имеет свойство среднего значения, ^[2] что подразумевает, что это гладкое решение уравнения Лапласа. ^{[3] [4]} Альтернативные доказательства используют гладкость фундаментального решения лапласиана или подходящие априорные эллиптические оценки. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u}$ ${\displaystyle u_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle u}$

Доказательство

Пусть будет стандартным смягчающим фактором . ${\displaystyle \left(\rho _{\varepsilon }\right)_{\varepsilon >0}}$

Зафиксируем компактное множество и положим расстояние между ним и границей . ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\Subset \Omega }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\operatorname {dist} \left(\Omega ^{\prime },\partial \Omega \right)}$ ${\displaystyle \Omega ^{\prime }}$ ${\displaystyle \Omega }$

Для каждого и функции ${\displaystyle x\in \Omega ^{\prime }}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)}$

${\displaystyle y\longmapsto \rho _{\varepsilon }(x-y)}$

относится к тестовым функциям , поэтому мы можем рассмотреть ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$

${\displaystyle \left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle }$

Мы утверждаем, что оно не зависит от . Чтобы доказать это, мы вычисляем для . ${\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _{\varepsilon }(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$

Вспомните, что

${\displaystyle \rho _{\varepsilon }(x-y)=\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)}$

где стандартное ядро ​​molliifier было определено в Mollifier#Concrete_example . Если мы поместим ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \theta (t)={\begin{cases}{\frac {1}{c_{n}}}\mathrm {e} ^{\frac {1}{t-1}}&{\text{ if }}t<1,\\0&{\text{ if }}t\geqslant 1,\end{cases}}}$

затем . ${\displaystyle \rho (x)=\theta \left(|x|^{2}\right)}$

Очевидно, удовлетворяет для . Теперь вычислим ${\displaystyle \theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (t)=0}$ ${\displaystyle t\geqslant 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)&=-n\varepsilon ^{-n-1}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)-\varepsilon ^{-n}\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon ^{2}}}\\&=-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\end{aligned}}}$

Положи так, чтобы ${\displaystyle K(x)=-n\rho (x)-\nabla \rho (x)\cdot x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}K\left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right).}$

С точки зрения мы получаем ${\displaystyle \rho (x)=\theta \left(|x|^{2}\right)}$

${\displaystyle K(x)=-\operatorname {div} (\rho (x)x)=-\operatorname {div} \left(\theta \left(|x|^{2}\right)x\right)}$

и если мы установим

${\displaystyle \Theta (t)={\frac {1}{2}}\int _{t}^{\infty }\theta (s)\mathrm {d} s}$

тогда с для , и . Следовательно ${\displaystyle \Theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Theta (t)=0}$ ${\displaystyle t\geqslant 1}$ ${\displaystyle \Theta ^{\prime }(t)=-{\frac {1}{2}}\theta (t)}$

${\displaystyle -\theta \left(|x|^{2}\right)x=\nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)}$

и так , где . Заметьте , что , и ${\displaystyle K(x)=\operatorname {div} \nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)=(\Delta \Phi )(x)}$ ${\displaystyle \Phi (x)=\Theta \left(|x|^{2}\right)}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {D}}\left({\overline {B_{1}(0)}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)&={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\Delta _{y}\left(\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)\\&=\Delta _{y}\left(\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right).\end{aligned}}}$

Здесь поддерживается в , и поэтому по предположению ${\displaystyle y\mapsto \varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x)}}\subset \Omega }$

${\displaystyle \left\langle u,\Delta _{y}\left(\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)\right\rangle =0}$.

Теперь, рассматривая коэффициенты разности, мы видим, что

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =\left\langle u,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle }$.

Действительно, поскольку у нас есть ${\displaystyle \varepsilon ,\varepsilon ^{\prime }>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rho _{\varepsilon +\varepsilon ^{\prime }}(x-y)-\rho _{\varepsilon }(x-y)}{\varepsilon ^{\prime }}}&{\stackrel {\mathrm {FTC} }{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\varepsilon +t\varepsilon ^{\prime }}(x-y)\mathrm {d} t\\&\left.{\underset {\varepsilon ^{\prime }\searrow 0}{\longrightarrow }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\right|_{s=\varepsilon }\rho _{s}(x-y)\end{aligned}}}$

в относительно , ​​при условии и (так как мы можем дифференцировать обе части относительно . Но тогда , и так для всех , где . Теперь пусть . Тогда, с помощью обычного приема при свертке распределений с тестовыми функциями , ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\in \Omega ^{\prime }}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle y)}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle }$ ${\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}\in \left(0,\varepsilon _{0}\right)}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}\left(\Omega ^{\prime }\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x&=\left\langle u,\int _{\Omega ^{\prime }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\varphi (x)\mathrm {d} x\right\rangle \\&=\left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle \end{aligned}}}$

и так у нас есть ${\displaystyle \varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{1}\right)}$

${\displaystyle \left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle =\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x}$.

Следовательно, как и в , получаем ${\displaystyle \rho _{\varepsilon }*\varphi \rightarrow \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \varepsilon \searrow 0}$

${\displaystyle \langle u,\varphi \rangle =\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x}$.

Следовательно , и поскольку было произвольным, мы закончили. ${\displaystyle \left.u\right|_{\Omega ^{\prime }}\in \mathrm {C} ^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \Omega ^{\prime }}$

Обобщение распределений

В более общем смысле, тот же результат справедлив для каждого распределительного решения уравнения Лапласа: если удовлетворяет для каждого , то является регулярным распределением, связанным с гладким решением уравнения Лапласа. ^[5] ${\displaystyle T\in D'(\Omega )}$ ${\displaystyle \langle T,\Delta \varphi \rangle =0}$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$

Связь с гипоэллиптичностью

Лемма Вейля следует из более общих результатов, касающихся свойств регулярности эллиптических или гипоэллиптических операторов. ^[6] Линейный частный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами является гипоэллиптическим, если сингулярный носитель равен сингулярному носителю для любого распределения . Оператор Лапласа является гипоэллиптическим, поэтому если , то сингулярный носитель пуст, поскольку сингулярный носитель пуст, что означает, что . Фактически, поскольку лапласиан является эллиптическим, верен более сильный результат, и решения являются вещественно-аналитическими . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )}$ ${\displaystyle \Delta u=0}$

Примечания

1. Герман Вейль , Метод ортогональных проекций в теории потенциала, Duke Math. J. , 7, 411–444 (1940). См. Лемму 2, стр. 415
2. Известно, что свойство среднего значения характеризует гармонические функции в следующем смысле. Пусть . Тогда является гармоническим в обычном смысле ( и тогда и только тогда, когда для всех шаров мы имеем ${\displaystyle h\in \mathrm {C} (\Omega )}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\in \mathrm {C} ^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle \left.\Delta h=0\right)}$ ${\displaystyle B_{r}\left(x_{0}\right)\Subset \Omega }$

   ${\displaystyle h\left(x_{0}\right)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\partial B_{r}\left(x_{0}\right)}h(x)\mathrm {d} S_{x}.}$

   где - ( n − 1)-мерная площадь гиперсферы . Используя полярные координаты около, мы видим, что когда является гармоническим , то для , ${\displaystyle \omega _{n-1}r^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial B_{r}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B_{r}\left(x_{0}\right)\Subset \Omega }$

   ${\displaystyle h\left(x_{0}\right)=\left(\rho _{r}*h\right)\left(x_{0}\right).}$

3. Бернард Дакоронья, Введение в вариационное исчисление, 2-е изд., Imperial College Press (2009), стр. 148.
4. Струк, Дэниел В. «Лемма Вейля, одна из многих» (PDF) .
5. Ларс Гординг , Некоторые аспекты анализа и их история , AMS (1997), стр. 66.
6. Ларс Хёрмандер , Анализ линейных частных дифференциальных операторов I , 2-е изд., Springer-Verlag (1990), стр. 110

Ссылки

• Гилбарг, Дэвид; Нил С. Трудингер (1988). Эллиптические уравнения с частными производными второго порядка . Springer. ISBN 3-540-41160-7.
• Stein, Elias (2005). Действительный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства . Princeton University Press. ISBN 0-691-11386-6.