Постоянная кривизна

Понятие дифференциальной геометрии

В математике постоянная кривизна — это понятие из дифференциальной геометрии . Здесь кривизна относится к секционной кривизне пространства (точнее, многообразия ) и представляет собой одно число, определяющее его локальную геометрию. Секционная кривизна называется постоянной, если она имеет одно и то же значение в каждой точке и для каждой двумерной касательной плоскости в этой точке. Например, сфера — это поверхность постоянной положительной кривизны.

Классификация

Римановы многообразия постоянной кривизны можно разделить на следующие три случая:

• Эллиптическая геометрия – постоянная положительная кривизна сечения.
• Евклидова геометрия - постоянная исчезающая кривизна сечения.
• Гиперболическая геометрия – постоянная отрицательная кривизна сечения.

Характеристики

• Всякое пространство постоянной кривизны локально симметрично , т. е. его тензор кривизны параллелен . ${\displaystyle \nabla \mathrm {R} =0}$
• Каждое пространство постоянной кривизны локально максимально симметрично, т. е. имеет число локальных изометрий , где – его размерность. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle n}$
• И наоборот, существует аналогичное, но более сильное утверждение: каждое максимально симметричное пространство, то есть пространство, имеющее (глобальные) изометрии , имеет постоянную кривизну. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$
• ( Теорема Киллинга–Хопфа ) Универсальное накрытие многообразия постоянной секционной кривизны является одним из модельных пространств:
  • сфера (положительная кривизна сечения)
  • плоскость (нулевая кривизна сечения)
  • гиперболическое многообразие (отрицательная кривизна сечения)
• Пространство постоянной кривизны, геодезически полное, называется пространственной формой , и изучение пространственных форм тесно связано с обобщенной кристаллографией ( подробнее см. Статью о пространственной форме ).
• Две пространственные формы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность, их метрики имеют одинаковую сигнатуру и их секционные кривизны равны.

Рекомендации

• Мориц Эппле (2003) От кватернионов к космологии: пространства постоянной кривизны ок. 1873–1925, приглашенное выступление на Международном конгрессе математиков.
• Фредерик С. Вудс (1901). «Пространство постоянной кривизны». Анналы математики . 3 (1/4): 71–112. дои : 10.2307/1967636. JSTOR  1967636.