Введение в анализин бесконечный

Книга Леонарда Эйлера

Число Эйлера е соответствует заштрихованной площади, равной 1, введенной в главе VII.

Introductio in analysin infinitorum ( лат .: ^[1] Введение в анализ бесконечного ) — двухтомный труд Леонарда Эйлера , в котором заложены основы математического анализа . Написанное на латыни и опубликованное в 1748 году, « Введение» содержит 18 глав в первой части и 22 главы во второй. Он имеет номера Энестрема E101 и E102. ^{[2] [3]}

Содержание

Глава 1 посвящена понятиям переменных и функций . В главе 4 представлены бесконечные ряды через рациональные функции .

По словам Хенка Боса ,

Введение задумано как обзор понятий и методов анализа и аналитической геометрии , предшествующий изучению дифференциального и интегрального исчисления. [Эйлер] превратил этот обзор в мастерское упражнение по введению как можно большего объема анализа без использования дифференцирования или интегрирования. В частности, он ввел элементарные трансцендентные функции, логарифм, показательную функцию, тригонометрические функции и их обратные, не прибегая к интегральному исчислению, что было немалым подвигом, поскольку логарифм традиционно был связан с квадратурой гиперболы и тригонометрическим числом. функции длины дуги окружности. ^[4]

Эйлер совершил этот подвиг, введя возведение ^в степень ax для произвольной константы a в положительных действительных числах . Он отметил, что отображение x таким образом является не алгебраической функцией , а скорее трансцендентной функцией . При a > 1 эти функции монотонно возрастают и образуют биекцию действительной прямой с положительными действительными числами. Тогда каждое основание a соответствует обратной функции, называемой логарифмом по основанию a в главе 6. В главе 7 Эйлер вводит e как число, гиперболический логарифм которого равен 1. Здесь имеется в виду Грегуар де Сен-Винсент , который выполнил квадратуру гиперболы y = 1/ x посредством описания гиперболического логарифма. В разделе 122 логарифм по основанию e называется «натуральным или гиперболическим логарифмом… поскольку квадратуру гиперболы можно выразить через эти логарифмы». Здесь он также дает показательный ряд:

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}=1+z+{z^{2} \over 2}+{z^{3} \over 6}+{z^{4} \over 24}+\cdots }$

Затем в главе 8 Эйлер готовится обратиться к классическим тригонометрическим функциям как к «трансцендентным величинам, возникающим из окружности». Он использует единичный круг и представляет формулу Эйлера . В главе 9 рассматриваются триномиальные множители в полиномах . Глава 16 посвящена разделам — теме теории чисел . Цепные дроби – тема главы 18.

Влияние

В лекциях Карла Бенджамина Бойера на Международном конгрессе математиков 1950 года влияние « Введения » Эйлера сравнивалось с влиянием « Элементов » Евклида , назвав « Элементы» главным учебником древних времен, а « Введение» «лучшим учебником современности». ^[5] Бойер также писал:

Анализ Эйлера приближается к современной ортодоксальной дисциплине — изучению функций с помощью бесконечных процессов, особенно с помощью бесконечных рядов.

Сомнительно, чтобы какая-либо другая по существу дидактическая работа включала в себя столь же большую часть оригинального материала, который сохранился сегодня в курсах колледжа... Может быть сравнительно легко прочитан современным студентом... Прообраз современных учебников.

английские переводы

Первый перевод на английский язык был сделан Джоном Д. Блэнтоном и опубликован в 1988 году. ^[6] Второй перевод, сделанный Яном Брюсом, доступен в Интернете. ^[7] Список изданий Introductio был составлен В. Фредериком Рики . ^[8]

Ранние упоминания

Страница из «Introductio in analysin infinitorum» , 1748 г.

• JC Scriba (2007) обзор переиздания немецкого издания 1885 года MR 715928 1983 года.

Рецензии на перевод Блэнтона 1988 г.

• Дору Стефанеску MR 1025504
• Марко Панса (2007) MR 2384380
• Рикардо Кинтеро Зазуэта (1999) MR 1823258
• Эрнст Хайрер и Герхард Ваннер (1996) Анализ по истории , глава 1, стр. 1–79, Тексты для студентов по математике № 70, ISBN 978-0-387-77036-9 MR 1410751 

Рекомендации

1. В латыни анализ был неолатинским заимствованием из греческого языка, а в словоформе анализин используется греческий винительный падеж. Калинджер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения. Издательство Принстонского университета. стр. 287–288. ISBN 978-0-691-11927-4.
2. "E101 -- Введение в анализ infinitorum, том 1" . Архив Эйлера . Проверено 15 октября 2020 г.
3. "E102 -- Введение в анализ infinitorum, том 2" . Архив Эйлера . Проверено 15 октября 2020 г.
4. HJM Бос (1980) «Ньютон, Лейбниц и лейбницианская традиция», глава 2, страницы 49–93, страница цитаты 76, в книге « От исчисления к теории множеств, 1630–1910: Вводная история» , под редакцией Айвора Граттана-Гиннесса. , ISBN Дакворта 0-7156-1295-6 
5. Карл Бойер (апрель 1951 г.). «Важнейший учебник современности». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 58 (4): 223–226. дои : 10.2307/2306956. JSTOR  2306956.
6. Леонард Эйлер; Джей Ди Блэнтон (перевод) (1988). Введение в анализ бесконечного, Книга 1. Спрингер. ISBN 978-0-387-96824-7.
7. Введение в анализ infinitorum.
8. В. Фредерик Рики. Руководство для читателей по введению Эйлера.