Серия Мадхава

Математический ряд

В математике ряд Мадхавы — одно из трёх разложений ряда Тейлора для функций синуса , косинуса и арктангенса, открытых в 14 или 15 веке в Керале , Индия , математиком и астрономом Мадхавой из Сангамаграмы (ок. 1350 — ок. 1425). или его последователи в Керальской школе астрономии и математики . ^[1] Используя современные обозначения, это следующие ряды:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\sin \theta &=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}\theta ^{2k+1},\\[10mu]\cos \theta &=1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}\theta ^{2k},\\[10mu]\arctan x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots &&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}x^{2k+1}\quad {\text{where }}|x|\leq 1.\end{alignedat}}}$

Все три серии позже были независимо обнаружены в Европе 17 века. Ряды для синуса и косинуса были заново открыты Исааком Ньютоном в 1669 году ^[2] , а ряд для арктангенса был заново открыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Готфридом Лейбницем в 1673 году ^[3] и условно называется рядом Грегори . Конкретное значение можно использовать для вычисления постоянной окружности π , а арктангенсный ряд для 1 условно называют рядом Лейбница . ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi }$

В знак признания приоритета Мадхавы в недавней литературе эти ряды иногда называют сериями Мадхавы-Ньютона , ^[4] сериями Мадхавы-Грегори , ^[5] или сериями Мадхавы-Лейбница ^[6] (среди других комбинаций). ^[7]

Ни одна из сохранившихся работ Мадхавы не содержит явных утверждений относительно выражений, которые сейчас называются сериями Мадхавы. Однако в трудах более поздних математиков керальской школы Нилаканты Сомаяджи и Джьештхадевы можно найти недвусмысленное приписывание этих рядов Мадхаве. Эти более поздние работы также включают доказательства и комментарии, которые показывают, как Мадхава мог прийти к этой серии.

Серия «Мадхава» в «Собственных словах Мадхавы»

Ни одно из произведений Мадхавы, содержащее какие-либо приписываемые ему серии выражений, не сохранилось. Эти ряды выражений встречаются в трудах последователей Мадхавы в школе Кералы . Во многих местах эти авторы ясно заявляли, что это «так, как сказал Мадхава». Таким образом, можно с уверенностью предположить, что изложения различных серий, встречающиеся в «Тантрасамграхе» и комментариях к ней, сделаны «собственными словами Мадхавы». Ниже воспроизводятся переводы соответствующих стихов, приведенные в комментарии «Юктидипика» к «Тантрасамграхе» (также известному как «Тантрасамграха-вьякхья ») Шанкары Вариара (около 1500–1560 гг. н.э.). Затем они отображаются в текущих математических обозначениях. ^{[8] [9]}

Синусоидальный ряд Мадхавы

По словам Мадхавы

Синусоидальный ряд Мадхавы изложен в стихах 2.440 и 2.441 в комментарии Юкти-дипика ( Тантрасамграха-вьякья ) Шанкары Вариара . Далее следует перевод стихов.

Умножьте дугу на квадрат дуги и повторите результат (любое количество раз). Разделите на квадраты последовательных четных чисел (таких, чтобы текущее умножалось на предыдущее), умноженное на это число и умноженное на квадрат радиуса. Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего. Вместе они дают дживу [синус], собранную вместе в стихе, начинающемся с «видван» и т. д.

Рендеринг в современных обозначениях

Пусть r обозначает радиус круга, а s — длину дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

  ${\displaystyle s\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad s\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

  ${\displaystyle s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}},\qquad s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего, чтобы получить дживу :

  ${\displaystyle {\text{jiva}}=s-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\left[s\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}+6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]\right]}$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ — угол, образованный дугой s в центре круга. Тогда s = r θ и джива = r sin θ . Подставив их в последнее выражение и упростив, получим

${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\quad \cdots }$

что представляет собой разложение синусоидальной функции в ряд по бесконечным степеням .

Переформулировка Мадхавы для численных вычислений

Последняя строка в стихе, собранная вместе в стихе, начинающемся с «видван» и т. д. , является ссылкой на переформулировку ряда, введенную самим Мадхавой, чтобы сделать ее удобной для простых вычислений для заданных значений дуги и радиуса. . Для такой переформулировки Мадхава рассматривает круг, четверть которого имеет длину 5400 минут (скажем, C минут), и разрабатывает схему для простых вычислений джив различных дуг такого круга. Пусть R будет радиусом круга, четверть которого равна C. Мадхава уже вычислил значение π, используя свою формулу ряда для π . ^[10] Используя это значение π , а именно 3,1415926535922, радиус R вычисляется следующим образом: Тогда

R = 2 × 5400 / π = 3437,74677078493925 = 3437 угловых минут 44 угловых секунды 48 шестидесятых угловой секунды = 3437’ 44’’ 48’’’.

Выражение Мадхавы для дживы , соответствующей любой дуге круга радиуса R, эквивалентно следующему:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=s-{\frac {s^{3}}{R^{2}(2^{2}+2)}}+{\frac {s^{5}}{R^{4}(2^{2}+2)(4^{2}+4)}}-\cdots \\[6pt]&=s-\left({\frac {s}{C}}\right)^{3}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{3}}{3!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{5}}{5!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{7}}{7!}}-\cdots \right]\right]\right].\end{aligned}}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

Теперь дживу можно вычислить по следующей схеме:

джива знак равно s - ( s / C ) ³ [ (2220′ 39′′ 40′′′) - ( s / C ) ² [ (273′ 57′′ 47′′′) - ( s / C ) ² [ ( 16 '05'' 41''') - ( s / C ) ² [ (33'' 06''') - ( s / C ) ² (44''' ) ] ] ] ].

Это дает аппроксимацию дживы ее полиномом Тейлора 11-го порядка. Он включает в себя только одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему в следующих словах (перевод стиха 2.437 в «Юкти-дипике» ):

ви-дван, ту-нна-ба-ла, ка-ви-ша-ни-ча-йа, са-рва-ртха-ши-ла-стхи-ро, ни-рви-дха-нга-на-ре- ндра-рунг. Последовательно умножьте эти пять чисел по порядку на квадрат дуги, разделенный на четверть окружности (5400 футов), и вычтите из следующего числа. (Продолжите этот процесс с полученным таким образом результатом и следующим числом.) Умножьте окончательный результат на куб дуги, разделенный на четверть окружности, и вычтите из дуги.

Косинусный ряд Мадхавы

По словам Мадхавы

Косинусный ряд Мадхавы изложен в стихах 2.442 и 2.443 в комментарии Юкти-дипика ( Тантрасамграха-вьякхья ) Шанкары Вариара . Далее следует перевод стихов.

Умножьте квадрат дуги на единицу измерения (т. е. на радиус) и повторите результат (любое количество раз). Разделите (каждый из приведенных выше числителей) на квадрат последовательных четных чисел, уменьшенных на это число и умноженных на квадрат радиуса. Но первый член (сейчас) (тот, который есть) делится на двойной радиус. Поместите полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего. Вместе они дают шару, собранную вместе в стихе, начинающуюся со слов stena, stri и т. д.

Рендеринг в современных обозначениях

Пусть r обозначает радиус круга, а s — длину дуги.

• Сначала формируются следующие числители:

${\displaystyle r\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad r\cdot s^{2}\cdot s^{2}\cdot s^{2},\qquad \cdots }$

• Затем они делятся на количества, указанные в стихе.

${\displaystyle r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}},\qquad r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}},\qquad \cdots }$

• Поместите дугу и полученные таким образом последовательные результаты один под другим и вычтите каждый из предыдущего, чтобы получить śara :

${\displaystyle {\text{sara}}=r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}-\left[r\cdot {\frac {s^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}\cdot {\frac {s^{2}}{(6^{2}-6)r^{2}}}-\cdots \right]\right]}$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ — угол, образованный дугой s в центре круга. Тогда s = rθ и śara = r (1 − cos θ ). Подставив их в последнее выражение и упростив, получим

${\displaystyle 1-\cos \theta ={\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\quad \cdots }$

что дает разложение косинуса в ряд по бесконечной степени.

Переформулировка Мадхавы для численных вычислений

Последняя строка стиха, « собранная вместе в стихе, начинающемся со слов stena, stri и т. д. », является ссылкой на переформулировку, введенную самим Мадхавой, чтобы сделать ряд удобным для простых вычислений для заданных значений дуги и радиуса. Как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава рассматривает круг, четверть которого имеет продолжительность 5400 минут (скажем, C минут), и разрабатывает схему для простых вычислений шар различных дуг такого круга. Пусть R — радиус круга, четверть которого равна C. Тогда, как и в случае с синусоидальным рядом, Мадхава получает R = 3437′ 44′′ 48′′′.

Выражение Мадхавы для шары , соответствующей любой дуге s круга радиуса R, эквивалентно следующему:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{jiva }}&=R\cdot {\frac {s^{2}}{R^{2}(2^{2}-2)}}-R\cdot {\frac {s^{4}}{R^{4}(2^{2}-2)(4^{2}-4)}}-\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}}{2!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{4}}{4!}}-\left({\frac {s}{C}}\right)^{2}\left[{\frac {R\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{6}}{6!}}-\cdots \right]\right]\right]\end{aligned}}}$

Мадхава теперь вычисляет следующие значения:

Теперь шару можно вычислить по следующей схеме:

шара знак равно ( s / C ) ² [ (4241′ 09′′ 00′′′) - ( s / C ) ² [ (872′ 03′′ 05 "′) − ( s / C ) ² [ (071′ 43'' 24''') - ( s / C ) ² [ (03' 09'' 37''') - ( s / C ) ² [(05'' 12''') - (s / C) ² (06′′′) ] ] ] ] ]

Это дает аппроксимацию Шары ее полиномом Тейлора 12-го порядка. Это также включает только одно деление, шесть умножений и пять вычитаний. Мадхава описывает эту численно эффективную вычислительную схему в следующих словах (перевод стиха 2.438 в «Юкти-дипике» ):

Шесть стен: стрипишуна, сугандхинагануд, бхадрангабхавьясана, минангонарасимха, унадханакритбхурева. Умножьте на квадрат дуги, разделенный на четверть окружности, и вычтите из следующего числа. (Продолжайте с результатом и следующим числом.) Окончательным результатом будет уткрама-джья (знак R).

Арктангенсный ряд Мадхавы

По словам Мадхавы

Арктангенсальная серия Мадхавы изложена в стихах 2.206–2.209 в комментарии Юкти-дипика ( Тантрасамграха-вьякхья ) Шанкары Вариара . Ниже приводится перевод стихов. ^[11] Джьештхадева также дал описание этой серии в «Юктибхасе» . ^{[12] [13] [14]}

Теперь, с помощью точно такого же рассуждения, можно (сделать) определение дуги искомого синуса. То есть: Первый результат — это произведение искомого синуса и радиуса, деленное на косинус дуги. Когда кто-то сделал квадрат синуса множителем, а квадрат косинуса делителем, теперь группа результатов должна быть определена из (предыдущих) результатов, начиная с первого. Когда они делятся по порядку на нечетные числа 1, 3 и т. д. и когда сумма четных (-нумерованных) результатов вычитается из суммы нечетных (единиц), это должна быть дуга. Здесь искомым (синусом) требуется считать меньший из синуса и косинуса. В противном случае не было бы прекращения результатов, даже если бы они были неоднократно (вычислены).

С помощью того же рассуждения длину окружности можно вычислить и другим способом. То есть (следующее): Первый результат должен быть квадратным корнем из квадрата диаметра, умноженного на двенадцать. С этого момента результат следует делить на три (в) каждом последующем (случайе). Если их разделить по порядку на нечетные числа, начиная с 1, и вычесть (четные) результаты из суммы нечетных, (это) должна быть длина окружности.

Рендеринг в современных обозначениях

Пусть s будет дугой искомого синуса ( jya или jiva ) y . Пусть r — радиус, а x — косинус ( котийя ).

• Первый результат . ${\displaystyle {\tfrac {y\cdot r}{x}}}$
• Формируем множитель и делитель . ${\displaystyle {\tfrac {y^{2}}{x^{2}}}}$
• Сформируем группу результатов:

${\displaystyle {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• Они делятся по порядку на цифры 1, 3 и т. д.:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}},\qquad {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad {\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}},\qquad \cdots }$

• Сумма нечетных результатов:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• Сумма четных результатов:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots }$

• Дуга теперь определяется выражением

${\displaystyle s=\left({\frac {1}{1}}{\frac {y\cdot r}{x}}+{\frac {1}{5}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)-\left({\frac {1}{3}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {y\cdot r}{x}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}\cdot {\frac {y^{2}}{x^{2}}}+\cdots \right)}$

Преобразование в текущие обозначения

Пусть θ — угол, образованный дугой s в центре круга. Тогда s = r θ, x = kotijya = r cos θ и y = jya = r sin θ. Тогда y / x = tan θ. Подставив их в последнее выражение и упростив, получим

• ${\displaystyle \theta =\tan \theta -{\frac {\tan ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\tan ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\tan ^{7}\theta }{7}}+\quad \cdots }$.

Полагая tan θ = q, мы наконец имеем

• ${\displaystyle \tan ^{-1}q=q-{\frac {q^{3}}{3}}+{\frac {q^{5}}{5}}-{\frac {q^{7}}{7}}+\quad \cdots }$

Еще одна формула длины окружности.

Во второй части цитируемого текста указана другая формула для вычисления длины окружности c круга диаметром d . Это происходит следующим образом.

${\displaystyle c={\sqrt {12d^{2}}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3\cdot 3}}+{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {\sqrt {12d^{2}}}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots }$

Поскольку c = π d, это можно переформулировать в формулу для вычисления π следующим образом.

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\quad \cdots \right)}$

Это получается путем подстановки q = (следовательно, θ = π /6) в разложение в степенной ряд для tan ⁻¹ q выше. ${\displaystyle 1/{\sqrt {3}}}$

Сравнение сходимости различных бесконечных рядов по π

Сравнение сходимости двух рядов Мадхавы (того, что с √ 12 темно-синим цветом) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Смотрите также

• Мадхава из Сангамаграмы
• Таблица синусов Мадхавы
• Срок исправления Мадхавы
• Аппроксимант Паде
• Серия Тейлора
• Лоран серии
• Серия Пюизо

Примечания

1. Гупта 1987; Кац 1995; Рой 2021, гл. 1. Серия Power в Керале пятнадцатого века, стр. 1–22.
2. Ньютон (1669) De analysi per aequationes numero terminorum infinitas был распространен в виде рукописи, но не публиковался до 1711 года. Контекст см.:
   Рой 2021, гл. 8. De Analysi per Aequationes Infinitas , стр. 165–185.
   Позже Лейбниц включил серию для синуса и косинуса в книгу Лейбница (1676) Dequadatura arithmetica circuli ellipseos et Hyperbola cujus corollarium est trigonometria sine tabulis , которая была наконец опубликована только в 1993 году. Однако Генри Ольденбург прислал ему ряды Ньютона по синусам и косинусам. в 1675 году и не утверждал, что открыл их. Видеть:
   Пробст, Зигмунд (2015). «Лейбниц как читатель и второй изобретатель: случаи Барроу и Менголи». В Гете, Н.; Били, П.; Рабуэн, Д. (ред.). Г.В. Лейбниц, Взаимосвязь математики и философии . Архимед. Том. 41. Спрингер. стр. 111–134. дои : 10.1007/978-94-017-9664-4_6. ISBN 978-94-017-9663-7.
3. Грегори получил письмо от Джона Коллинза, включающее ряды синусов и косинусов Ньютона, в конце 1670 года. Он открыл общий ряд Тейлора и в 1671 году отправил Коллинзу теперь знаменитое письмо, включающее несколько конкретных рядов, включая арктангенс. См. Рой, 1990.
   Хорват, Миклош (1983). «О лейбницевой квадратуре круга» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Buddhaiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
4. Например:
   Плофкер, Ким (2005). «Отношения между приближениями к синусу в математике Кералы». В Эмче — Жерар Г.; Шридхаран, Р.; Шринивас, доктор медицины (ред.). Вклад в историю индийской математики . Гургаон: Книжное агентство Индостан. стр. 135–152. дои : 10.1007/978-93-86279-25-5_6. ISBN 978-81-85931-58-6.
   Филали, Махмуд (2012). «Гармонический анализ и приложения». Кибернет . 41 : 129–144. дои : 10.1108/03684921211213160. S2CID  206377839.
5. Например: Гупта 1973; Джозеф 2011, с. 428;
   Леври, Пол (2011). «Потерянные и найденные: неопубликованное ζ (2) -доказательство». Математический интеллект . 33 : 29–32. doi : 10.1007/s00283-010-9179-y. S2CID  121133743.
6. Например: Гупта 1992;
   Пувро, Дэвид (2015). «Ускорение сближения серии Мадхавы-Лейбница». Квадратура (на французском языке). 97 : 17–25.
   Янг, Пол Томас (2022). «От Мадхавы – Лейбница до предела Лемера». Американский математический ежемесячник . 129 (6): 524–538. дои : 10.1080/00029890.2022.2051405. S2CID  247982859.
7. Например,
   Серия Мадхавы – Грегори – Лейбница : Бенко, Давид; Молокач, Джон (2013). «Базельская проблема как перестановка рядов». Математический журнал колледжа . 44 (3): 171–176. doi : 10.4169/college.math.j.44.3.171. S2CID  124737638.
   Серия Мадхава-Лейбниц-Грегори : Данези, Марсель (2021). «1. Открытие π и его проявлений». Пи ( π ) в природе, искусстве и культуре . Брилл. стр. 1–30. дои : 10.1163/9789004433397_002. ISBN 978-90-04-43337-3. S2CID  242107102.
   Серия Нилаканта-Грегори : Кэмпбелл, Пол Дж. (2004). «Борвейн, Джонатан и Дэвид Бейли, Математика посредством эксперимента ». Отзывы. Журнал «Математика» . 77 (2): 163. дои :10.1080/0025570X.2004.11953245. S2CID  218541218.
   Формула Грегори-Лейбница-Нилаканты : Гавронская, Наталья; Слота, Дамиан; Витула, Роман; Зеленка, Адам (2013). «Некоторые обобщения степенных рядов Грегори и их приложения» (PDF) . Журнал прикладной математики и вычислительной механики . 12 (3): 79–91. дои : 10.17512/jamcm.2013.3.09.
8. Сумка 1976.
9. Раджу 2007, стр. 114–120.
10. Раджу 2007, с. 119.
11. Раджу 2007, с. 231.
12. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000). «Мадхава Сангамаграммы». MacTutor Архив истории математики .
13. Гупта 1973.
14. Сарма 1972.

Рекомендации

• Андерсон, Марлоу; Кац, Виктор; Уилсон, Робин, ред. (2004). Шерлок Холмс в Вавилоне и других рассказах математической истории. Математическая ассоциация Америки. стр. 107–174. ISBN 978-0-88385-546-1. JSTOR  10.4169/j.ctt13x0n0r.
• Сумка, Амуля Кумар (1976). «Ряд синусов и косинусов Мадхавы» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 11 (1): 54–57. Архивировано из оригинала (PDF) 14 февраля 2010 года.
• Брессуд, Дэвид (2002). «Было ли исчисление изобретено в Индии?». Математический журнал колледжа . 33 (1): 2–13. дои : 10.1080/07468342.2002.11921911 .Перепечатано в Anderson & al. 2004, стр. 131–137.
• Голд, Дэвид; Пингри, Дэвид (1991). «До сих пор неизвестная санскритская работа, касающаяся вывода Мадхавой степенного ряда для синуса и косинуса». История науки . 42 : 49–65.
• Гупта, Радха Чаран (1973). «Серия Мадхава-Грегори». Математическое образование . 7 . Б: 67–70.
• Гупта, Радха Чаран (1975). «Мадхава и другие средневековые индийские ценности Пи». Математическое образование . 9 . Б: 45–48.
• Гупта, Радха Чаран (1976). «Вычисление синуса степенным рядом Мадхавы». Ганита . 27 (1–2): 19–24.
• Гупта, Радха Чаран (1987). «Южноиндийские достижения в средневековой математике». Ганита Бхарати . 9 :15–40.Перепечатано в Рамасубраманиане К., изд. (2019). Ганитананда: Избранные труды Радхи Чарана Гупты по истории математики . Спрингер. стр. 417–442. дои : 10.1007/978-981-13-1229-8_40. S2CID  213756968.
• Гупта, Радха Чаран (1991). «Серия Мадхавы – Грегори для загара ^-1 x ». Индийский журнал математического образования . 11 (3): 107–110.
• Гупта, Радха Чаран (1992). «Об оставшемся члене серии Мадхавы – Лейбница». Ганита Бхарати . 14 (1–4): 68–71.
• Хаяси, Такао; Кусуба, Таканори; Яно, Мичио (1990). «Коррекция серии Мадхавы на длину окружности». Центавр . 33 (2): 149–174. Бибкод : 1990Cent...33..149H. doi :10.1111/j.1600-0498.1990.tb00725.x.
• Джозеф, Джордж Гевергезе (2011) [1-е изд. 1991]. Герб павлина: неевропейские корни математики (3-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13526-7.
• Кац, Виктор Дж. (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии» (PDF) . Журнал «Математика» . 68 (3): 163–174. дои : 10.1080/0025570X.1995.11996307. JSTOR  2691411.Перепечатано в Anderson & al. 2004, стр. 122–130.
• Кац, Виктор Дж. , изд. (2007). «Глава 4: Математика в Индии IV. Школа Кералы». Математика Египта, Месопотемии, Китая, Индии и ислама: Справочник . Издательство Принстонского университета. стр. 480–495. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 217–254. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Пувро, Дэвид (2003). Trigonométrie et «développements en séries» en Inde mediévale (на французском языке). ИРЕМ Тулузы.
• Раджу, Чандракант К. (2007). Культурные основы математики: природа математического доказательства и распространение исчисления из Индии в Европу в 16 веке. СЕ . История науки, философии и культуры в индийской цивилизации. Том. X пт. 4. Нью-Дели: Пирсон Лонгман. ISBN 978-81-317-0871-2.
• Рой, Ранджан (1990). «Открытие Лейбницем, Грегори и Нилакантой формулы ряда для числа π» (PDF) . Журнал «Математика» . 63 (5): 291–306. дои : 10.1080/0025570X.1990.11977541.Перепечатано в Anderson & al. 2004, стр. 111–121.
• Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и произведения в развитии математики . Том. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета.

• Сарма, Кришна Венкатешвара (1972). «2. Ожидание современных математических открытий астрономов Кералы» (PDF) . История школы индийской астрономии Кералы . Хошиарпур: Институт Вишвешварананда. стр. 11–28.
• Ван Браммелен, Глен (2009). «§3.8. Ряды Тейлора для тригонометрических функций в школе Мадхавы в Керале». Математика неба и земли: ранняя история тригонометрии . Издательство Принстонского университета. стр. 113–120. дои : 10.2307/j.ctv1pzk6f0.7. ISBN 978-0-691-12973-0.
• Виш, Чарльз М. (1834). «XXXIII. Об индуистской квадратуре круга и бесконечной серии пропорций окружности к диаметру, представленных в четырех шастрах, Тантра Санграхам, Юкти Бхаша, Чарана Падхати и Садратнамака». Труды Королевского Азиатского общества . 3 (3): 509–523. дои : 10.1017/S0950473700001221. JSTOR  25581775 .