Конус

Геометрическая форма

Прямой круговой конус и наклонный круговой конус.

Двойной конус (не показан бесконечно вытянутым)

3D модель конуса

Конус — это трехмерная геометрическая форма , которая плавно сужается от плоского основания (часто, но не обязательно круглого) к точке, называемой вершиной или вершиной .

Конус формируется набором отрезков , полупрямых или линий , соединяющих общую точку (вершину) со всеми точками основания, находящегося в плоскости , не содержащей вершину. В зависимости от автора основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленных плюс всеми заключенными в них точками. Если заключенные точки включены в основу, конус представляет собой сплошной объект ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность неограничена, то это коническая поверхность .

В случае отрезков конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямых — бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обе стороны от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом.. Любая половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .

Ось конуса — это прямая линия (если она есть), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .

В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются прямоугольными , где круговой означает, что основание представляет собой круг , а прямой означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к ​​его плоскости. ^[1] Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью представляет собой коническое сечение . Однако в целом основание может иметь любую форму ^[2] , а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь , а вершина лежит вне плоскости основания). Противопоставлением правых конусов являются косые конусы, у которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно. ^[3]

Вышка управления воздушным движением в форме конуса, аэропорт Шарджи.

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .

В зависимости от контекста «конус» может также означать выпуклый конус или проективный конус .

Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется «директрисой», а каждый из отрезков между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей линией» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Одуванчика .)

«Радиус основания» круглого конуса — это радиус его основания; часто это называют просто радиусом конуса. Апертура прямого кругового конуса — это максимальный угол между двумя образующими линиями ; если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ . В оптике угол θ называетсяполовину угла конуса, чтобы отличить его от апертуры.

Иллюстрация из «Проблемы математики...», опубликованной в Acta Eruditorum , 1734 г.

Конус, усеченный наклонной плоскостью

Конус, часть которого, включая его вершину, отрезана плоскостью, называется усеченным конусом ; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, это называется усеченной конусом . ^[1] Эллиптический конус — это конус с эллиптическим основанием. ^[1] Обобщенный конус — это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (см. также визуальную оболочку ).

Измерения и уравнения

Объем

Объем любого конического тела равен одной трети произведения площади основания на высоту ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью математического анализа — с точностью до масштабирования это интеграл

$${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}}$$

принцип Кавальериметод истощениетретьей проблемы Гильбертаконгруэнтны ножницам^[5]

Центр массы

Центр масс конического тела с одинаковой плотностью находится на четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.

Правый круглый конус

Объем

Для круглого конуса радиусом r и высотой h основанием является круг площади , поэтому формула объема принимает вид ^[6] ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

Высота наклона

Наклонная высота прямого кругового конуса — это расстояние от любой точки окружности его основания до вершины через отрезок линии, проходящий вдоль поверхности конуса. Оно определяется выражением , где – радиус основания, – высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора . ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна где - радиус круга в нижней части конуса и - наклонная высота конуса. ^[4] Площадь поверхности нижнего круга конуса такая же, как и у любого круга, . Таким образом, общую площадь поверхности прямого кругового конуса можно выразить следующим образом: ${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

• Радиус и высота

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин — наклонная высота) ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

где радиус и высота. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

• Радиус и наклонная высота

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

где радиус и высота наклона. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

• Окружность и наклонная высота

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

где окружность и высота наклона. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell }$

• Угол и высота вершины

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

где – угол при вершине, – высота. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$

Круговой сектор

Круглый сектор получается разворачиванием поверхности одного покрова конуса:

• радиус R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• длина дуги L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• центральный угол φ в радианах

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

Форма уравнения

Поверхность конуса можно параметризовать как

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

где – угол «вокруг» конуса, а – «высота» вдоль конуса. ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

Правый сплошной круговой конус с высотой и отверстием , ось которого является осью координат, а вершина - началом координат, параметрически описывается как ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

где диапазон превышает , и соответственно. ${\displaystyle s,t,u}$ ${\displaystyle [0,\theta )}$ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ ${\displaystyle [0,h]}$

В неявной форме одно и то же тело определяется неравенствами

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

где

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

В более общем смысле, правый круговой конус с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору , и апертурой задается неявным векторным уравнением где ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$   или   ${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

где и обозначает скалярное произведение . ${\displaystyle u=(x,y,z)}$ ${\displaystyle u\cdot d}$

Эллиптический конус

Квадрикическая поверхность эллиптического конуса

В декартовой системе координат эллиптический конус является геометрическим местом уравнения вида ^[7]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

Это аффинный образ единичного прямокруглого конуса с уравнением. Из того факта, что аффинный образ конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипс, парабола,...), получаем: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$

• Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).

Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой представляет собой сферический конус .

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится в бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, который выглядит как конус, обращенный к небу .

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого обращена в бесконечность . ^[8] Интуитивно, если оставить основание фиксированным и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, получится цилиндр, угол стороны которого увеличивается как арктанс , в пределе образуя прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник.

По мнению ГБ Хальстеда , конус генерируется аналогично конике Штейнера , только с использованием проективности и осевых карандашей (не в перспективе), а не проективных диапазонов, используемых для коники Штейнера:

«Если два копунктуальных непрямых осевых пучка проективны, но не перспективны, то места пересечения коррелирующих плоскостей образуют «коническую поверхность второго порядка», или «конус». ^[9]

Обобщения

Определение конуса можно распространить на более высокие измерения; см. выпуклый конус . В этом случае говорят, что выпуклое множество C в вещественном векторном пространстве является конусом (с вершиной в начале координат), если для каждого вектора x в C и каждого неотрицательного действительного числа a вектор ax находится в C . ^[2] В этом контексте аналоги круглых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле часто интересуются многогранными конусами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Еще более общим понятием является топологический конус , который определяется в произвольных топологических пространствах.

Смотрите также

• Биконус
• Конус (линейная алгебра)
• Цилиндр (геометрия)
• Демокрит
• Обобщенная коническая
• Гиперболоид
• Список фигур
• Пирометрический конус
• Квадрик
• Вращение осей
• Линейчатая поверхность
• Перевод осей

Примечания

1. Джеймс, RC ; Джеймс, Гленн (31 июля 1992 г.). Математический словарь. Springer Science & Business Media. стр. 74–75. ISBN 9780412990410.
2. Грюнбаум, Выпуклые многогранники , второе издание, с. 23.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Конус». Математический мир .
4. Александр, Дэниел С.; Кеберляйн, Джералин М. (1 января 2014 г.). Элементарная геометрия для студентов. Cengage Обучение. ISBN 9781285965901.
5. Хартсхорн, Робин (11 ноября 2013 г.). Геометрия: Евклид и не только. Springer Science & Business Media. Глава 27. ISBN 9780387226767.
6. Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (1 января 2006 г.). Исчисление: одна переменная. Springer Science & Business Media. Глава 8. ISBN 9781931914598.
7. Проттер и Морри (1970, стр. 583)
8. Даулинг, Линней Вэйланд (1 января 1917 г.). Проективная геометрия. Книжная компания McGraw-Hill, Incorporated.
9. ГБ Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 20

Рекомендации

• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  76087042

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конус». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус». Математический мир .
• Интерактивный вращающийся конус из Maths Is Fun
• Бумажная модель конуса
• Площадь боковой поверхности косого конуса
• Cut a Cone Интерактивная демонстрация пересечения конуса плоскостью.