В геометрии круглое сечение — это круг на квадратичной поверхности (например, эллипсоид или гиперболоид ). Это особое плоское сечение квадрики, так как эта окружность является пересечением с квадрикой плоскости, содержащей окружность.
Любое плоское сечение сферы является круговым, если оно содержит хотя бы две точки. Любая квадрика вращения содержит окружности как сечения с плоскостями, ортогональными ее оси; он не содержит никаких других кругов, если это не сфера. Более скрытыми являются окружности на других квадриках, например трехосных эллипсоидах, эллиптических цилиндрах и т. д. Тем не менее верно и то, что:
Любая квадрика, содержащая эллипсы, содержит и круги.
Эквивалентно, все квадратические поверхности содержат круги, за исключением параболических и гиперболических цилиндров и гиперболических параболоидов .
Если квадрика содержит окружность, то каждое пересечение квадрики плоскостью, параллельной этой окружности, также является окружностью, если оно содержит хотя бы две точки. За исключением сфер, все окружности, содержащиеся в квадрике, если таковые имеются, параллельны одной из двух неподвижных плоскостей (которые равны в случае квадрики вращения).
Круглые сечения используются в кристаллографии . [1] [2] [3]
Первый случай, который следует рассмотреть, - это когда пересечение Q с плоскостью на бесконечности состоит из одной или двух действительных линий, то есть когда Q является либо гиперболическим параболоидом , либо параболическим цилиндром , либо гиперболическим цилиндром . В этом случае точки на бесконечности C являются вещественными (пересечение вещественной плоскости с вещественными прямыми). Таким образом, плоские сечения Q не могут быть ни кругами (ни эллипсами ).
Если Q — сфера , то ее пересечение с плоскостью на бесконечности — это омбилика, а все сечения плоскости — круги.
Если Q — поверхность вращения , то ее пересечение с омбиликой состоит из пары комплексно-сопряженных точек (которые являются двойными точками ). Реальная плоскость содержит эти две точки тогда и только тогда, когда она перпендикулярна оси вращения. Таким образом, круговые сечения — это плоские сечения плоскостью, перпендикулярной оси, имеющей не менее двух действительных точек.
В остальных случаях пересечение Q с омбиликой состоит из двух разных пар комплексно-сопряженных точек. Поскольку C — кривая второй степени, ее пересечение с бесконечно удаленной плоскостью состоит из двух точек, возможно, равных. Таким образом, кривая C является окружностью, если эти две точки являются одной из этих двух пар комплексно-сопряженных точек на омбилике. Каждая из этих пар определяет действительную линию (проходящую через точки), которая является пересечением P с плоскостью, находящейся на бесконечности. Таким образом, существует круговое сечение тогда и только тогда, когда C имеет по крайней мере две действительные точки, а P содержит одну из этих линий на бесконечности (то есть, если P параллельна одному из двух направлений, определяемых этими линиями на бесконечности).
Определение круговых сечений квадрики
Чтобы найти плоскости, содержащие круговые сечения данной квадрики, используются следующие утверждения:
(S:) Если точки пересечения квадрики со сферой содержатся в паре плоскостей, то кривая пересечения состоит из двух окружностей.
(П:) Если пересечением плоскости и квадрики является окружность, то любая параллельная плоскость, содержащая хотя бы две точки квадрики, пересекает квадрику и по окружности.
трехосный эллипсоид с круглыми сечениями (синий и зеленый) и вспомогательной сферой (красный), пересекающей квадрику в синих кружкахЭллипсоид, пересекаемый сферами:
Для эллипсоида с уравнением
а в качестве полуосей используется вспомогательная сфера с уравнением
Радиус сферы должен быть выбран таким, чтобы пересечение с эллипсоидом находилось в двух плоскостях, проходящих через начало координат. Умножение уравнения эллипсоида на уравнение сферы и вычитание его дает:
Это уравнение описывает пару плоскостей, если один из трех коэффициентов равен нулю. В случае или уравнение выполняется только по оси x или по оси z. Только в том случае, если получается пара плоскостей с уравнением
потому что только в этом случае остальные коэффициенты имеют разные знаки (из-за: ).
Диаграмма дает представление о более распространенных пересечениях сферы и эллипсоида и подчеркивает исключительный круглый случай (синий).
Если значения полуосей приближаются, то приближаются и два пучка плоскостей (и окружностей). Ибо все плоскости ортогональны оси z (оси вращения).
Доказательство собственности (P)
Поворот эллипсоида вокруг оси Y так, чтобы один из двух кругов (синий) лежал в плоскости XY, приводит к новому уравнению эллипсоида:
Получается , которое должно быть уравнением окружности. Это верно только в том случае, если . Пересечение эллипсоида плоскостью с уравнением , (параллельной плоскости xy) имеет уравнение
.
Это уравнение описывает круг , точку или пустое множество. Центр и радиус круга можно найти, дополняя квадрат .