Завершение квадрата

Метод решения квадратных уравнений

Анимация, изображающая процесс сборки квадрата. ( Подробности , анимированная GIF-версия )

В элементарной алгебре завершение квадрата — это метод преобразования квадратного многочлена вида в вид для некоторых значений h и k . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$ $${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$$

Другими словами, завершение квадрата помещает полный квадратный трехчлен внутрь квадратного выражения.

Завершение квадрата используется в

• решение квадратных уравнений ,
• выводя квадратную формулу ,
• построение графиков квадратичных функций ,
• вычисление интегралов в исчислении, таких как гауссовы интегралы с линейным членом в показателе степени, ^[1]
• нахождение преобразований Лапласа . ^{[2] [3]}

В математике возведение в квадрат часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратные многочлены.

История

Техника завершения квадрата была известна в Древневавилонской империи . ^[4]

Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми , известный полимат , написавший ранний алгебраический трактат «Аль-Джабр» , использовал технику завершения квадрата для решения квадратных уравнений. ^[5]

Обзор

Фон

Формула элементарной алгебры для вычисления квадрата двучлена выглядит следующим образом: $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

Например: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

В любом полном квадрате коэффициент при x в два раза больше числа p , а свободный член равен p ² .

Простой пример

Рассмотрим следующий квадратный многочлен : $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

Это квадратное уравнение не является точным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5: $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

Однако можно записать исходное квадратное уравнение как сумму этого квадрата и константы: $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

Это называется завершением квадрата .

Общее описание

Для любого монического квадратного уравнения можно образовать квадрат, имеющий те же первые два члена: $${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$ $${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

Этот квадрат отличается от исходного квадратного только значением постоянного члена. Поэтому мы можем записать, где . Эта операция известна как завершение квадрата . Например: $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$ ${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

Немонический случай

Для квадратного многочлена вида можно вынести коэффициент a за скобки , а затем возвести в квадрат полученный монический многочлен . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$

Пример: Этот процесс вынесения коэффициента a можно еще больше упростить, вынеся его только из первых двух членов. Целое число в конце многочлена включать не обязательно. $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Пример: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Это позволяет записать любой квадратный многочлен в виде $${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$$

Формула

Скалярный случай

Результат завершения квадрата можно записать в виде формулы. В общем случае имеем ^[6] с $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,}$$ $${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$$

В частности, когда a = 1 , то имеем с $${\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,}$$ $${\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$$

Решая уравнение в терминах и преобразовывая полученное выражение , получаем квадратную формулу для корней квадратного уравнения : ${\displaystyle a(x-h)^{2}+k=0}$ ${\displaystyle x-h,}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Матричный корпус

Матричный случай выглядит очень похоже: где и . Обратите внимание, что должно быть симметричным . $${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k}$$ ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$ ${\displaystyle A}$

Если не симметрично, то формулы для и следует обобщить до: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$$

Отношение к графику

В аналитической геометрии график любой квадратичной функции представляет собой параболу в плоскости xy . Для квадратичного многочлена вида числа h и k можно интерпретировать как декартовы координаты вершины (или неподвижной точки ) параболы. То есть h — это x -координата оси симметрии (т.е. ось симметрии имеет уравнение x = h ), а k — минимальное значение (или максимальное значение, если a <  0) квадратичной функции. $${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$$

Один из способов увидеть это — заметить, что график функции f ( x ) = x ² представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции f ( x − h ) = ( x − h ) ² представляет собой параболу, смещенную вправо на h , вершина которой находится в точке ( h , 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции f ( x ) + k = x ² + k представляет собой параболу, смещенную вверх на k , вершина которой находится в точке (0, k ) , как показано на центральном рисунке. Объединение как горизонтальных, так и вертикальных сдвигов дает f ( x − h ) + k = ( x − h ) ² + k — это парабола, смещенная вправо на h и вверх на k, вершина которой находится в точке ( h , k ) , как показано на нижнем рисунке.

Решение квадратных уравнений

Дополнение квадрата может быть использовано для решения любого квадратного уравнения . Например: $${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$$

Первый шаг — завершить квадрат: $${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$$

Далее решаем для квадратного члена: $${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$$

Тогда либо и, следовательно, $${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}$$ $${\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}$$

Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда x ² имеет коэффициент, отличный от 1, первым шагом является деление уравнения на этот коэффициент: для примера см. немонический случай ниже.

Иррациональные и комплексные корни

В отличие от методов, включающих факторизацию уравнения, которая надежна только в том случае, если корни рациональны , завершение квадрата найдет корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональны или сложны . Например, рассмотрим уравнение $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

Завершение квадрата дает так Тогда либо $${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$ $${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$ $${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

Короче говоря: так $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$ $${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

Уравнения с комплексными корнями можно решать таким же образом. Например: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

Немонический случай

Для уравнения, включающего немоническую квадратичную функцию, первым шагом к ее решению является деление на коэффициент x ^2. Например:

$${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$$

Применение этой процедуры к общему виду квадратного уравнения приводит к квадратной формуле .

Другие приложения

Интеграция

Дополнение квадрата может быть использовано для оценки любого интеграла вида с использованием основных интегралов $${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$ $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

Например, рассмотрим интеграл $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

Возведение в квадрат знаменателя дает: $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

Теперь это можно оценить, используя подстановку u  =  x  + 3, что дает $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

Комплексные числа

Рассмотрим выражение , где z и b — комплексные числа , z ^* и b ^* — комплексно-сопряженные числа z и b соответственно, а c — действительное число . Используя тождество | u | ² = uu ^*, мы можем переписать это как что, очевидно, является действительной величиной. Это потому, что $${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$ $${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

В качестве другого примера, выражение , где a , b , c , x и y — действительные числа, причем a  > 0 и b  > 0, может быть выражено через квадрат абсолютного значения комплексного числа. Определить $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$ $${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

Тогда так $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

Идемпотентная матрица

Матрица M является идемпотентной , когда M ² = M. Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратного метода решения уравнения показывает , что некоторые идемпотентные матрицы 2×2 параметризуются окружностью в плоскости ( a , b ): $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$

Матрица будет идемпотентной при условии , что после возведения в квадрат она становится В плоскости ( a , b ) это уравнение окружности с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$ $${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$

Геометрическая перспектива

Рассмотрим завершение квадрата для уравнения $${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$$

Поскольку x ² представляет собой площадь квадрата со стороной длиной x , а bx представляет собой площадь прямоугольника со сторонами b и x , процесс завершения квадрата можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.

Простые попытки объединить прямоугольники x ² и bx в больший квадрат приводят к отсутствующему углу. Член ( b /2) ^{2 ,} добавленный к каждой стороне приведенного выше уравнения, как раз и есть площадь отсутствующего угла, откуда и происходит термин «завершение квадрата». ^[7]

Вариация техники

Как обычно учат, завершение квадрата состоит в добавлении третьего члена, v ^{2 ,} чтобы получить квадрат. Существуют также случаи, в которых можно добавить средний член, либо 2 uv , либо −2 uv , чтобы получить квадрат. $${\displaystyle u^{2}+2uv}$$ $${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$$

Пример: сумма положительного числа и его обратного числа

Записывая, мы показываем, что сумма положительного числа x и его обратной величины всегда больше или равна 2. Квадрат действительного выражения всегда больше или равен нулю, что и дает указанную границу; и здесь мы достигаем 2 как раз тогда, когда x равен 1, в результате чего квадрат обращается в нуль. $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$

Пример: факторизация простого многочлена четвертой степени

Рассмотрим задачу разложения многочлена на множители $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

Таким образом , средний член равен 2( x ² )(18) = 36 x ^2. Таким образом, мы получаем (последняя строка добавлена ​​просто для того, чтобы следовать соглашению об уменьшении степеней членов). $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$

Тот же аргумент показывает, что всегда факторизуемо как (Также известно как тождество Софи Жермен ). ${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$ $${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$

Завершение куба

«Завершение квадрата» состоит в том, чтобы заметить, что два первых члена квадратного многочлена являются также первыми членами квадрата линейного многочлена , и использовать это для выражения квадратного многочлена в виде суммы квадрата и константы.

Дополнение куба — аналогичный прием, позволяющий преобразовать кубический многочлен в кубический многочлен без члена второй степени.

Точнее, если

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

— это многочлен по x, такой, что его два первых члена являются двумя первыми членами развернутой формы ${\displaystyle a\neq 0,}$

${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.}$

Итак, замена переменной

${\displaystyle t=x+{\frac {b}{3a}}}$

дает кубический многочлен без членов второй степени , который называется подавленной формой исходного многочлена. ${\displaystyle t}$

Это преобразование обычно является первым шагом методов решения общего кубического уравнения.

В более общем случае аналогичное преобразование можно использовать для удаления членов степени из многочленов степени , что называется преобразованием Чирнхауза . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

Ссылки

1. Диониссиос Т. Христопулос (2020). Случайные поля для моделирования пространственных данных: учебник для ученых и инженеров. Springer Nature. стр. 267. ISBN 978-94-024-1918-4.Выдержка из страницы 267
2. Джеймс Р. Брэннан; Уильям Э. Бойс (2015). Дифференциальные уравнения: Введение в современные методы и приложения (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 314. ISBN 978-1-118-98122-1.Выдержка из страницы 314
3. Стивен Л. Кэмпбелл; Ричард Хаберман (2011). Введение в дифференциальные уравнения с динамическими системами (иллюстрированное издание). Princeton University Press. стр. 214. ISBN 978-1-4008-4132-5.Выдержка из страницы 214
4. Тони Филипс, «Завершение квадрата», колонка Американского математического общества , 2020.
5. Хьюз, Варнава. «Завершение квадрата — квадратные уравнения с использованием сложения». Математическая ассоциация Америки . Получено 21 октября 2022 г.
6. Нарасимхан, Ревати (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. С. 133–134. ISBN 978-0-618-41301-0., Раздел Формула для вершины квадратичной функции, стр. 133–134, рисунок 2.4.8
7. Кэрролл, Морин Т.; Райккен, Элин (2018). Геометрия: линия и окружность. Учебники AMS/MAA. Американское математическое общество. стр. 162. ISBN 978-1-4704-4843-1. Получено 2024-03-31 .

• Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8 , страницы 539–544 
• Алгебра 2, саксонский, ISBN 0-939798-62-X , страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 

Внешние ссылки

• Завершение квадрата на PlanetMath .