Элементарная алгебра

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Квадратная формула , которая является решением квадратного уравнения где . Здесь символы

a

b

c

обозначают произвольные числа, а

x

— переменная, представляющая решение уравнения.

топор^{2}+bx+c=0

а\neq 0

Двумерный график (красная кривая) алгебраического уравнения . $y=x^{2}-x-2$

Элементарная алгебра , также известная как студенческая алгебра , ^[1] охватывает основные понятия алгебры . Ее часто противопоставляют арифметике : арифметика имеет дело с указанными числами , ^[2] тогда как алгебра вводит переменные (величины без фиксированных значений). ^[3]

Такое использование переменных влечет за собой использование алгебраических обозначений и понимание общих правил операций, введенных в арифметике: сложение, вычитание, умножение, деление и т. д. В отличие от абстрактной алгебры , элементарная алгебра не имеет дело с алгебраическими структурами вне области реальных чисел . и комплексные числа .

Обычно его преподают учащимся средних школ и на начальном уровне в колледжах США [ ^4] и основываются на их понимании арифметики . Использование переменных для обозначения величин позволяет формально и кратко выразить общие связи между величинами и, таким образом, решить более широкий круг задач. Многие количественные отношения в науке и математике выражаются в виде алгебраических уравнений .

Алгебраические операции

В математике базовая алгебраическая операция — это любая из распространенных операций элементарной алгебры, к которым относятся сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в степень целого числа и извлечение корня ( дробная степень). ^[5] Эти операции могут выполняться над числами , и в этом случае их часто называют арифметическими операциями . Аналогичным образом они также могут выполняться над переменными , алгебраическими выражениями ^[6] и , в более общем плане, над элементами алгебраических структур , такими как группы и поля . ^[7]Алгебраическую операцию также можно определить просто как функцию от декартовой степени множества к тому же множеству. ^[8]

Термин «алгебраическая операция» также может использоваться для операций, которые могут быть определены путем объединения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение . В исчислении и математическом анализе алгебраические операции также используются для операций, которые могут быть определены чисто алгебраическими методами . Например, возведение в степень с целым или рациональным показателем является алгебраической операцией, но не общее возведение в степень с действительным или комплексным показателем. Кроме того, производная — это операция, которая не является алгебраической.

Алгебраические обозначения

Алгебраическая нотация описывает правила и соглашения по написанию математических выражений , а также терминологию, используемую для обсуждения частей выражений. Например, выражение имеет следующие компоненты: $3x^{2}-2xy+c$

Коэффициент — это числовое значение или буква, обозначающая числовую константу, на которую умножается переменная (оператор опущен). Термин — это сложение или слагаемое , группа коэффициентов, переменных, констант и показателей степени, которые могут быть отделены от других членов операторами плюс и минус. ^[9] Буквы обозначают переменные и константы. По соглашению, буквы в начале алфавита (например , ) обычно используются для обозначения констант , а буквы в конце алфавита (например, и $z$ ) используются для обозначения переменных . ^[10] Обычно они выделяются курсивом. ^[11] ${\ displaystyle a, b, c}$ $x,y$

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции , ^[12] такие как сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . ^[13] и применяются к алгебраическим переменным и термам. Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда между двумя переменными или членами нет пробела или когда используется коэффициент . Например, записывается как , а может быть записано . ^[14] $3\times x^{2}$ $3x^{2}$ $2\times x\times y$ $2xy$

Обычно члены с наивысшей степенью ( показатель степени ), пишутся слева, например, пишется слева от $x$ . Когда коэффициент равен единице, он обычно опускается (например, пишется ). ^[15] Аналогично, когда показатель степени (степень) равен единице (например, пишется ). ^[16] Когда показатель степени равен нулю, результат всегда равен 1 (например , всегда перезаписывается на $1$ ). ^[17] Однако , будучи неопределенным, он не должен появляться в выражении, и следует проявлять осторожность при упрощении выражений, в которых переменные могут появляться в показателях степени. $x^{2}$ $1x^{2}$ $x^{2}$ $3x^{1}$ $3x$ $x^{0}$ $0^{0}$

Альтернативные обозначения

Другие типы обозначений используются в алгебраических выражениях, когда требуемое форматирование недоступно или не может подразумеваться, например, когда доступны только буквы и символы. В качестве иллюстрации: хотя экспоненты обычно форматируются с использованием надстрочных индексов, например, , в обычном тексте и в языке разметки TeX , символ каретки ^ представляет возведение в степень, поэтому записывается как «x^2». ^[18]^[19] Это также относится к некоторым языкам программирования, таким как Lua. В таких языках программирования, как Ada , ^[20]Fortran , ^[21]Perl , ^[22]Python ^[23] и Ruby , ^[24] используется двойная звездочка, поэтому она записывается как «x**2». Многие языки программирования и калькуляторы используют одну звездочку для обозначения символа умножения ^[25] , и он должен использоваться явно, например, пишется «3*x». $x^{2}$ $x^{2}$ $x^{2}$ $3x$

Концепции

Переменные

Пример переменных, показывающих связь между диаметром круга и его длиной. Для любого круга его длина $c$ , деленная на его диаметр $d$ , равна постоянной pi (приблизительно 3,14). $\pi$

Элементарная алгебра развивает и расширяет арифметику ^[26] введением букв, называемых переменными, для обозначения общих (неуказанных) чисел. Это полезно по нескольким причинам.

Переменные могут представлять числа, значения которых еще не известны . Например, если температура текущего дня C на 20 градусов выше температуры предыдущего дня P, то задачу можно алгебраически описать как . ^[27] $C=P+20$
Переменные позволяют описывать общие проблемы ^[4] без указания значений задействованных величин. Например, можно конкретно сказать, что 5 минут эквивалентны секундам. Более общее (алгебраическое) описание может утверждать, что количество секунд, , где m — количество минут. $60\times 5=300$ $s=60\times м$
Переменные позволяют описывать математические отношения между величинами, которые могут меняться. ^[28] Например, соотношение между длиной окружности c и диаметром d круга описывается формулой . $\pi =c/d$
Переменные позволяют описывать некоторые математические свойства. Например, основным свойством сложения является коммутативность , которая гласит, что порядок сложения чисел не имеет значения. Коммутативность выражается алгебраически как . ^[29] $(a+b)=(b+a)$

Упрощение выражений

Алгебраические выражения можно вычислять и упрощать на основе основных свойств арифметических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень ). Например,

Добавленные термины упрощаются с помощью коэффициентов. Например, можно упростить так (где 3 — числовой коэффициент). $х+х+х$ $3x$
Умноженные члены упрощаются с помощью показателей степени. Например, представлено как $x\times x\times x$ $x^{3}$
Подобно тому, как термины складываются вместе, ^[30] , например, записывается как , потому что термины, содержащие, складываются вместе, а термины, содержащие, складываются вместе. $2x^{2}+3ab-x^{2}+ab$ $x^{2}+4ab$ $x^{2}$ $аб$
Скобки можно «перемножать», используя распределительное свойство . Например, можно записать как что можно записать как $x(2x+3)$ $(x\times 2x)+(x\times 3)$ $2x^{2}+3x$
Выражения можно факторизовать. Например, разделив оба члена на, можно записать как $6x^{5}+3x^{2}$ $3x^{2}$ $3x^{2}(2x^{3}+1)$

Уравнения

Уравнение утверждает, что два выражения равны, используя символ равенства = ( знак равенства ). ^[31] Одно из самых известных уравнений описывает закон Пифагора, связывающий длины сторон прямоугольного треугольника : ^[32]

c^{2}=a^{2}+b^{2}

Это уравнение гласит, что , представляя квадрат длины стороны, которая является гипотенузой, сторона, противоположная прямому углу, равна сумме (сложению) квадратов двух других сторон, длины которых представлены $a$ и $b$ . . $c^{2}$

Уравнение — это утверждение, что два выражения имеют одинаковое значение и равны. Некоторые уравнения верны для всех значений задействованных переменных (например, ); такие уравнения называются тождествами . Условные уравнения верны только для некоторых значений задействованных переменных, например, верны только для и . Значения переменных, которые делают уравнение истинным, являются решениями уравнения и могут быть найдены путем решения уравнения . $a+b=b+a$ $x^{2}-1=8$ $x=3$ $x=-3$

Другой тип уравнения — неравенство. Неравенства используются, чтобы показать, что одна часть уравнения больше или меньше другой. Для этого используются следующие символы: где означает «больше», а где означает «меньше». Как и стандартные уравнения равенства, числа можно складывать, вычитать, умножать или делить. Единственным исключением является то, что при умножении или делении на отрицательное число символ неравенства необходимо перевернуть. $a>b$ $>$ $а<b$ $<$

Свойства равенства

По определению, равенство является отношением эквивалентности , то есть оно рефлексивно (т. е. ), симметрично (т. е. если то ) и транзитивно (т. е. если и то ). ^[33] Он также удовлетворяет важному свойству: если два символа используются для одинаковых вещей, то один символ можно заменить другим в любом истинном высказывании о первом, и это утверждение останется истинным. Это подразумевает следующие свойства: $b=b$ $a=b$ $b=a$ $a=b$ $b=c$ $а=с$

если и тогда и ; $a=b$ $c=d$ $a+c=b+d$ $ac=bd$
если тогда и ; $a=b$ $a+c=b+c$ $ac=bc$
в более общем смысле, для любой функции $f$ , если то . $a=b$ ${\ displaystyle f (a) = f (b)}$

Свойства неравенства

Отношения меньше и больше обладают свойством транзитивности: ^[34] $<$ $>$

Если и тогда ; $а<b$ $b<c$ $а<c$
Если и тогда ; ^[35] $а<b$ $c<d$ $a+c<b+d$
Если и тогда ; $а<b$ $c>0$ $ac<bc$
Если и то . $а<b$ $c<0$ $bc<ac$

Обращая неравенство, и можно поменять местами, ^[36] например: $<$ $>$

$а<b$ эквивалентно $b>а$

Замена

Замена — это замена членов выражения для создания нового выражения. Замена $a$ на 3 в выражении $a *5$ дает новое выражение $3*5$ со значением $15$ . Замена условий утверждения создает новое утверждение. Когда исходное утверждение истинно независимо от значений терминов, утверждение, созданное путем подстановок, также истинно. Следовательно, определения могут быть сделаны в символических терминах и интерпретированы посредством замены: если подразумевается определение как произведения $a$ на самого себя, замена $a$ на $3$ информирует читателя об этом утверждении, которое означает $3 \times 3 = 9$ . Часто неизвестно, верно ли утверждение, независимо от значений терминов. Кроме того, замена позволяет получить ограничения на возможные значения или показать, при каких условиях выполняется утверждение. Например, если взять утверждение $x$ $+ 1 = 0$ , то если $x$ заменить на $1$ , это подразумевает $1 + 1 = 2 = 0$ , что неверно, а это означает, что если $x$ $+ 1 = 0$ , то $x$ не может быть $1$ . $a^{2}:=a\times a$ $а^{2},$ $3^{2}$

Если $x$ и $y$ являются целыми , рациональными или действительными числами , то $xy = 0$ подразумевает $x = 0$ или $y = 0$ . Рассмотрим $abc = 0$ . Затем, подставив $a$ вместо $x$ и $bc$ вместо $y$ , мы узнаем $a = 0$ или $bc = 0$ . Затем мы можем снова заменить, полагая $x = b$ и $y = c$ , чтобы показать, что если $bc = 0$ , то $b = 0$ или $c = 0$ . Следовательно, если $abc = 0$ , то $a = 0$ или ( $b = 0$ или $c = 0$ ), поэтому $abc = 0$ подразумевает $a = 0$ , или $b = 0$ , или $c = 0$ .

Если бы исходный факт был сформулирован как « $ab = 0$ подразумевает $a = 0$ или $b = 0$ », то, говоря «рассмотрим $abc = 0$ », у нас возник бы конфликт терминов при замене. Тем не менее, приведенная выше логика по-прежнему справедлива и показывает, что если $abc = 0$ , то $a = 0$ , или $b = 0$ , или $c = 0$ , если вместо того, чтобы позволить $a = a$ и $b = bc$ , заменить $a$ вместо $a$ и $b$ вместо $bc$ (и с $bc = 0$ , заменяя $b$ вместо $a$ и $c$ вместо $b$ ). Это показывает, что замена терминов в утверждении не всегда означает, что термины из утверждения равны замененным терминам. В этой ситуации ясно, что если мы подставим выражение $a$ в $член$ исходного уравнения, замененное $a$ не будет относиться к a $в$ утверждении « $ab = 0$ подразумевает $a = 0$ или $b = 0$ ».

Решение алгебраических уравнений

В следующих разделах приводятся примеры некоторых типов алгебраических уравнений, с которыми можно столкнуться.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения называются так потому, что при их построении они описывают прямую линию. Простейшими уравнениями для решения являются линейные уравнения , имеющие только одну переменную. Они содержат только постоянные числа и одну переменную без показателя степени. В качестве примера рассмотрим:

Задача словами: если удвоить возраст ребенка и прибавить 4, в результате получится 12. Сколько лет ребенку?

Эквивалентное уравнение: где

x

представляет возраст ребенка.

2x+4=12

Чтобы решить уравнение такого типа, используется метод сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же число, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Как только переменная изолирована, другой стороной уравнения является значение переменной. ^[37] Эта проблема и ее решение заключаются в следующем:

Прописью: ребенку 4 года.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной можно записать как: $топор+b=c$

Следуя той же процедуре (т.е. вычтите $b$ из обеих частей, а затем разделите на $a$ ), общее решение будет иметь вид $x={\frac {cb}{a}}$

Линейные уравнения с двумя переменными

Решение двух линейных уравнений с единственным решением в точке их пересечения.

Линейное уравнение с двумя переменными имеет множество (то есть бесконечное число) решений. ^[38] Например:

Проблема словами: Отец старше сына на 22 года. Сколько им лет?

Эквивалентное уравнение: где

y

— возраст отца,

x

— возраст сына.

y=x+22

Это невозможно решить само собой. Если бы возраст сына стал известен, то двух неизвестных (переменных) уже не было бы. Тогда проблема превращается в линейное уравнение всего с одной переменной, которое можно решить, как описано выше.

Чтобы решить линейное уравнение с двумя переменными (неизвестными), требуются два связанных уравнения. Например, если также выяснилось, что:

Проблема словами: Через 10 лет отец будет вдвое старше сына.
Эквивалентное уравнение: ${\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&& {\text{Вычтите 10 из обеих сторон}}\\y&= 2x+20-10&&{\text{Несколько выходных скобок}}\\y&=2x+10&&{\text{Упростить}}\end{aligned}}$

Теперь есть два связанных линейных уравнения, каждое с двумя неизвестными, что позволяет составить линейное уравнение только с одной переменной путем вычитания одного из другого (так называемый метод исключения): ^[39]

{\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}

{\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}

Другими словами, сыну 12 лет, а поскольку отец на 22 года старше, ему должно быть 34. Через 10 лет сыну будет 22, а отцу будет вдвое больше его, 44. Эта проблема иллюстрируется на рисунке. связанный график уравнений.

Другие способы решения такого рода уравнений см. ниже в разделе « Система линейных уравнений» .

Квадратные уравнения

График квадратного уравнения, показывающий его корни в и , и что квадратное уравнение можно переписать как $y=x^{2}+3x-10$ $x=-5$ $x=2$ $y=(x+5)(x-2)$

Квадратное уравнение – это уравнение, которое включает член с показателем степени 2, например, [ ^40] и не содержит члена с более высоким показателем. Название происходит от латинского Quadrus , что означает квадрат. ^[41] В общем, квадратное уравнение можно выразить в форме , ^[42] где $a$ не равно нулю (если бы оно было нулем, то уравнение было бы не квадратным, а линейным). По этой причине квадратное уравнение должно содержать член , который известен как квадратичный член. Следовательно , и поэтому мы можем разделить на $a$ и привести уравнение к стандартной форме $x^{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$ $ax^{2}$ $a\neq 0$

x^{2}+px+q=0

где и . Решение этой задачи с помощью процесса, известного как завершение квадрата , приводит к квадратичной формуле $p={\frac {b}{a}}$ $q={\frac {c}{a}}$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

где символ «±» означает, что оба

x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

являются решениями квадратного уравнения.

Квадратные уравнения также можно решать с помощью факторизации (обратный процесс которой — разложение , но для двух линейных членов иногда называют фольгированием ). Пример факторинга:

x^{2}+3x-10=0,

это то же самое, что

(x+5)(x-2)=0.

Из свойства нулевого произведения следует , что либо или являются решениями, поскольку ровно один из сомножителей должен быть равен нулю . Все квадратные уравнения имеют два решения в комплексной системе счисления , но не обязательно имеют их в действительной системе счисления . Например, $x=2$ $x=-5$

x^{2}+1=0

не имеет решения в действительных числах, поскольку ни одно вещественное число в квадрате не равно -1. Иногда квадратное уравнение имеет корень кратности 2, например:

(x+1)^{2}=0.

Для этого уравнения -1 является корнем кратности 2. Это означает, что -1 появляется дважды, поскольку уравнение можно переписать в факторизованной форме как

[x-(-1)][x-(-1)]=0.

Комплексные числа

Все квадратные уравнения имеют ровно два решения в комплексных числах (но они могут быть равны друг другу), категории, которая включает действительные числа , мнимые числа и суммы действительных и мнимых чисел. Комплексные числа впервые возникают при обучении квадратным уравнениям и квадратным формулам. Например, квадратное уравнение

x^{2}+x+1=0

имеет решения

x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.

Поскольку это не какое-либо действительное число, оба этих решения для x являются комплексными числами. ${\sqrt {-3}}$

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Показательное уравнение – это уравнение для , ^[43] которое имеет решение $a^{x}=b$ $a>0$

X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}

когда . Элементарные алгебраические методы используются для переписывания данного уравнения указанным выше способом перед тем, как прийти к решению. Например, если $b>0$

3\cdot 2^{x-1}+1=10

затем, вычитая 1 из обеих частей уравнения, а затем разделив обе части на 3, получаем

2^{x-1}=3

откуда

x-1=\log _{2}3

или

x=\log _{2}3+1.

Логарифмическим уравнением называется уравнение вида для , имеющее решение $log_{a}(x)=b$ $a>0$

X=a^{b}.

Например, если

4\log _{5}(x-3)-2=6

затем, добавив 2 к обеим частям уравнения, а затем разделив обе части на 4, мы получим

\log _{5}(x-3)=2

откуда

x-3=5^{2}=25

из чего мы получаем

x=28.

Радикальные уравнения

{\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}

Радикальное уравнение, показывающее два способа представления одного и того же выражения. Тройная черта означает, что уравнение верно для всех значений x .

Радикальное уравнение — это уравнение, которое включает знак радикала, который включает квадратные корни , кубические корни , и корни n- й степени , . Напомним, что корень n- й степени можно переписать в экспоненциальном формате, что эквивалентно . В сочетании с обычными показателями степени (степенью) тогда (квадратный корень из куба $x$ ) можно переписать как . ^[44] Таким образом, распространенная форма радикального уравнения (эквивалентна ) где $m$ и $n$ — целые числа . У него есть реальные решения: ${\sqrt {x}},$ ${\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $x^{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt[{2}]{x^{3}}}$ $x^{\frac {3}{2}}$ ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a$ $x^{\frac {m}{n}}=a$

Например, если:

(x+5)^{2/3}=4

затем

{\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}

и поэтому

x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13

Система линейных уравнений

Существуют различные методы решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

Метод устранения

Пример решения системы линейных уравнений — методом исключения:

{\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}

Умножив члены второго уравнения на 2:

4x+2y=14

4x-2y=2.

Сложив два уравнения, получим:

8x=16

что упрощается до

x=2.

Поскольку тот факт известен, то можно сделать вывод, что с помощью любого из двух исходных уравнений (используя 2 вместо $x$ ) Полное решение этой проблемы тогда будет $x=2$ $y=3$

{\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; $y$ можно было решить до $x$ .

Метод замены

Другой способ решения той же системы линейных уравнений — путем замены.

{\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}

Эквивалент для $y$ можно получить, используя одно из двух уравнений. Используя второе уравнение:

2x-y=1

Вычитая из каждой части уравнения: $2x$

{\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}

и умножив на −1:

y=2x-1.

Используя это значение $y$ в первом уравнении исходной системы:

{\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}

Добавляем по 2 в каждую сторону уравнения:

{\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}

что упрощается до

x=2

Используя это значение в одном из уравнений, получается то же решение, что и в предыдущем методе.

{\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}

Это не единственный способ решить эту конкретную систему; и в этом случае $y$ можно было решить до $x$ .

Другие типы систем линейных уравнений

Несогласованные системы

График квадратного уравнения (красный) и линейного уравнения (синий), которые не пересекаются и, следовательно, не имеют общего решения.

В приведенном выше примере решение существует. Однако существуют системы уравнений, не имеющие решения. Такая система называется несовместной . Очевидным примером является

{\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}

Поскольку 0≠2, второе уравнение системы не имеет решения. Следовательно, система не имеет решения. Однако не все противоречивые системы распознаются с первого взгляда. В качестве примера рассмотрим систему

{\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}

Умножив на 2 обе части второго уравнения и прибавив его к первому, получим

0x+0y=4\,,

которая явно не имеет решения.

Неопределенные системы

Существуют также системы, которые имеют бесконечно много решений, в отличие от системы с единственным решением (то есть уникальной парой значений $x$ и $y$ ). Например:

{\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}

Изолирование $y$ во втором уравнении:

y=-2x+6

И используя это значение в первом уравнении системы:

{\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}

Равенство верно, но оно не дает значения $x$ . Действительно, можно легко проверить (просто заполнив некоторые значения $x$ ), что для любого $x$ существует решение, пока . Существует бесконечное множество решений этой системы. $y=-2x+6$

Пере- и недоопределенные системы

Системы, в которых переменных больше, чем число линейных уравнений, называются недоопределенными . Такая система, если и имеет какие-либо решения, то не единственное, а их бесконечное множество. Примером такой системы является

{\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}

При попытке ее решения приходится выражать некоторые переменные как функции других, если какие-либо решения существуют, но он не может выразить все решения численно , поскольку их бесконечное количество, если они вообще есть.

Система, в которой число уравнений превышает число переменных, называется переопределенной . Если переопределенная система имеет решения, то некоторые уравнения обязательно являются линейными комбинациями других.

Смотрите также

Внешние ссылки

СМИ, связанные с элементарной алгеброй, на Викискладе?