Леонард Эйлер

Швейцарский математик (1707–1783).

Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər , ^[b] немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ^ⓘ ,швейцарский стандартный немецкий: [ˈleːɔnhart ˈɔʏlər] ; 15 апреля 1707 — 18 сентября 1783) —швейцарскийматематик,физик,астроном,географ,логикиинженер, который основал исследованиятеории графовитопологиии сделал новаторские и влиятельные открытия во многих других областяхматематики, таких каканалитическая теория чисел,комплексный анализиисчисление бесконечно малых. Он ввел большую часть современной математической терминологии иобозначений, включая понятиематематической функции. ^[6]Он также известен своими работами вобласти механики,гидродинамики,оптики,астрономииитеории музыки. ^[7]

Эйлер считается одним из величайших математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, написавших свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, о чем свидетельствуют цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он мастер из нас всех». ^{[8] [c]} Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение трудов Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не сможет заменить его». ^{[9] [d]} Эйлер также широко считается самым плодовитым; его 866 публикаций, а также его корреспонденция собраны в Opera Omnia Leonhard Euler , которая, когда будет завершена, будет состоять из 81 тома- кварто . ^{[11] [12] [13]} Большую часть своей взрослой жизни он провел в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .

Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы (строчная пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также первое использование обозначения значения функции, буквы для выражения воображаемой единицы , греческой буквы ( заглавная сигма ) для выражения суммирования , греческая буква (заглавная дельта ) для конечных разностей и строчные буквы для обозначения сторон треугольника, а углы представляются заглавными буквами. ^[14] Он дал нынешнее определение константы , основания натурального логарифма , теперь известного как число Эйлера . ^[15] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle e}$

Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (частично как решение проблемы семи мостов Кенигсберга , которую многие также считают первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, решением нескольких нерешенных проблем теории чисел и анализа, включая Базельскую проблему , которая оставалась нерешенной в течение 150 лет. Базельская задача состоит в нахождении суммы обратных квадратов натуральных чисел. Эйлер нашел, что эта сумма в точности равна π ² /6 . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма числа вершин и граней минус количество ребер многогранника равна 2, числу, которое сейчас широко известно как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер в своей двухтомной работе « Механика» переформулировал законы физики Ньютона в новые законы , чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес существенный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.

Ранний период жизни

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье Павла III Эйлера, пастора реформатской церкви , и Маргариты ( урожденной Брукер), чьи предки включают ряд известных ученых-классиков. ^[16] Он был старшим из четырех детей, имел двух младших сестер, Анну Марию и Марию Магдалену, и младшего брата Иоганна Генриха. ^{[17] [16]} Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риэн , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви и Леонард провел большую часть своего детства. ^[16]

С юных лет Эйлер получил математическое образование у своего отца, который несколькими годами ранее посещал курсы Якоба Бернулли в Базельском университете . Примерно в восемь лет Эйлера отправили жить в дом бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное репетиторство у Йоханнеса Буркхардта, молодого теолога, проявлявшего большой интерес к математике. ^[16]

В 1720 году, в тринадцатилетнем возрасте, Эйлер поступил в Базельский университет . ^[7] Посещение университета в таком юном возрасте не было чем-то необычным в то время. ^[16] Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (учивший отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии: ^[18]

«Знаменитый профессор Иоганн Бернулли [...] с особым удовольствием помогал мне в математических науках. Однако от частных уроков он отказался из-за своей занятости. Однако он дал мне гораздо более полезный совет. В случае, если я столкнусь с какими-либо возражениями или трудностями, он предлагал мне бесплатный доступ к нему каждую субботу днем ​​и был достаточно любезен, чтобы прокомментировать собранные трудности, что было сделано с такой желаемой выгодой, что, когда он разрешил одно из моих возражений, сразу исчезли десять других, что, несомненно, является лучшим методом достижения счастливого прогресса в математических науках».

Именно в это время Эйлер при поддержке Бернулли добился согласия своего отца стать математиком, а не пастором. ^{[19] [20]}

В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии за диссертацию, в которой сравнивались философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . ^[16] После этого он поступил на богословский факультет Базельского университета. ^[20]

В 1726 году Эйлер защитил диссертацию о распространении звука под названием «Де Соно» ^{[21] [22]} , с которой он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. ^[23] В 1727 году он впервые принял участие в конкурсе на приз Парижской академии (проводимом ежегодно, а затем раз в два года академией, начиная с 1720 года) ^{[24] .} Задача, поставленная в том году, заключалась в том, чтобы найти лучший способ разместить мачты на корабле. Победу одержал Пьер Бугер , ставший известным как «отец морской архитектуры», а Эйлер занял второе место. ^[25] За прошедшие годы Эйлер участвовал в этом соревновании 15 раз, ^[24] выиграв 12 из них. ^[25]

Карьера

Санкт-Петербург

Марка Советского Союза 1957 года , посвященная 250-летию Эйлера. В тексте написано: 250 лет со дня рождения великого математика, академика Леонарда Эйлера.

Два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николаус , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру уверенность, что они порекомендуют его на должность, когда она будет доступна. ^[23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. ^{[26] [27]} Когда Дэниел занял должность своего брата в отделе математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность по физиологии занял его друг Эйлер. ^[23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, поскольку безуспешно подал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. ^[23]

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. ^{[23] [20]} Его повысили с младшей должности в медицинском отделении академии до должности на математическом факультете. Он поселился у Даниэля Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. ^[28] Эйлер освоил русский язык , поселился в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу медиком в Российский флот . ^[29]

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных учёных, таких как Эйлер. ^[25] Благодетельница академии Екатерина I , продолжавшая прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла до приезда Эйлера в Петербург. ^[30] Русское консервативное дворянство пришло к власти после восшествия на престол двенадцатилетнего Петра II . ^[30] Дворянство, подозрительно относившееся к иностранным ученым академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег и препятствовало входу иностранных и неаристократических студентов в гимназии и университеты. ^[30]

Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находящаяся под немецким влиянием Анна Русская . ^[31] Эйлер быстро поднялся по карьерной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики . ^[31] Он также покинул российский флот, отказавшись от звания лейтенанта . ^[31] Два года спустя Даниэль Бернулли, уставший от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер сменил его на посту заведующего математическим факультетом. ^[32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля . ^[33] Фридрих II предпринял попытку нанять Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер первоначально предпочел остаться в Санкт-Петербурге. ^[34] Но после смерти императрицы Анны и Фридриха II согласился заплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер заработал в России), он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, мотивируя это тем, что ему нужен более мягкий климат для зрения. ^[34] Русская академия дала свое согласие и будет платить ему 200 рублей в год как одному из ее активных членов. ^[34]

Берлин

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер в июне 1741 года покинул Санкт-Петербург, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий Прусский . ^[35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. ^[20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием « Introductio in analysin infinitorum», а в 1755 году — текст по дифференциальному исчислению под названием « Institutiones Calculi Differentialis» . ^{[36] [37]} В 1755 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук ^[38] и Французской академии наук . ^[39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. ^{[40] [41]} В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. ^[20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. ^{[42] [43]}

Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. В начале 1760-х годов он написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в том, озаглавленный « Письма Эйлера на различные темы натуральной философии, адресованные немецкой принцессе ». ^[44] Эта работа содержала изложение Эйлера по различным предметам, касающимся физики и математики, и предлагала ценную информацию о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в США и стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность « Письм» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного своему делу ученого-исследователя. ^[37]

Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что Жан ле Рон д'Аламбер выдвинул ее кандидатом на пост президента , Фридрих II назвал себя ее президентом. ^[43] При дворе прусского короля был большой круг интеллектуалов, и он нашел математика неискушенным и плохо осведомленным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, глубоко религиозным человеком, который никогда не ставил под сомнение существующий общественный порядок или общепринятые убеждения. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , пользовавшегося высоким авторитетом при дворе Фридриха. Эйлер не был опытным спорщиком и часто спорил по темам, о которых мало что знал, что делало его частой мишенью остроумия Вольтера. ^[37] Фредерик также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:

Мне хотелось иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в водоем, откуда она должна упасть обратно по каналам, выплеснувшись наконец в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к водоему. Суета сует! Суета геометрии! ^[45]

Однако разочарование почти наверняка было неоправданным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, похоже, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть неблагополучным. ^[46]

На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесные связи с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 статей в России. ^[47] Он также помогал студентам Санкт-Петербургской академии и иногда размещал русских студентов в своем доме в Берлине. ^[47] В 1760 году, во время Семилетней войны , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. ^[42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, причиненный имуществу Эйлера, а российская императрица Елизавета позже добавила дополнительную выплату в размере 4000 рублей - непомерную сумму по тем временам. ^[48] ​​Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. ^[49]

В годы пребывания в Берлине (1741–1766) Эйлер находился на пике своей продуктивности. Он написал 380 произведений, 275 из которых были опубликованы. ^[50] Это включало 125 мемуаров в Берлинской Академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую Академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. «Introductio in Analysin Infinitorum» Эйлера было опубликовано в двух частях в 1748 году. Помимо своих собственных исследований, Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом, а также публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. ^[51] Он даже участвовал в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. ^[52]

Вернуться в Россию

Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую Академию. Условия его были весьма непомерными — годовое жалованье в 3000 рублей, пенсия жене и обещание высоких должностей сыновьям. В университете ему помогал его студент Андерс Йохан Лексель . ^[53] Когда он жил в Петербурге, пожар 1771 года уничтожил его дом. ^[54]

Личная жизнь

7 января 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гзелля , художника академической гимназии в Санкт-Петербурге. ^[33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .

Из их тринадцати детей в детстве дожили только пятеро: ^[55] три сына и две дочери. ^[56] Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах . ^[56]

Через три года после смерти жены в 1773 году ^[54] Эйлер женился на ее сводной сестре Саломеи Эбигейл Гзель (1723–1794). ^[57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.

Его брат Иоганн Генрих поселился в Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. ^[34]

Ухудшение зрения

Зрение Эйлера ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он едва не умер от лихорадки, ^[58] он почти ослеп на правый глаз. Эйлер винил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Петербургской Академии, ^[59] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. ^{[60] [61]} Зрение Эйлера этим глазом ухудшилось во время его пребывания в Германии до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер отметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». ^[59] В 1766 году у него была обнаружена катаракта в левом глазу. Хотя лечение катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге привели к тому, что он почти полностью ослеп и на левый глаз. ^[39] Однако его состояние, похоже, мало повлияло на его продуктивность. С помощью его писцов продуктивность Эйлера во многих областях исследований возросла; ^[62] , а в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью каждую неделю. ^[39]

Смерть

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Йоханом Лекселлом , когда тот потерял сознание и умер от кровоизлияния в мозг . ^[60] Якоб фон Штелин  [де] написал короткий некролог для Российской академии наук, а русский математик Николас Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробный панегирик, ^[55] который он произнес на мемориальном собрании. В своей хвалебной речи Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе писал:

Могила Эйлера в Александро-Невской лавре.

il cessa de Calculer et de vivre — … он перестал считать и жить. ^[63]

Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив ему заросшую могильную доску. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро-Невской лавры . ^[64]

Вклад в математику и физику

Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он — выдающаяся фигура в истории математики; в случае печати его работы, многие из которых представляют фундаментальный интерес, займут от 60 до 80 томов -кварто . ^[39] С именем Эйлера связано большое количество тем . Работа Эйлера в среднем составляет 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти совокупного объема работ по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. ^[14]

Математические обозначения

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений в своих многочисленных и широко распространенных учебниках. В частности, он ввел понятие функции [ ^6] и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f , применяемой к аргументу x . Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций , букву е для основания натурального логарифма (теперь также известного как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . ^[65] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя автором этой идеи стал валлийский математик Уильям Джонс . ^[66]

Анализ

Развитие исчисления бесконечно малых было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение математического анализа стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости ^[67] (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим большим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и разработкой степенных рядов , выражением функций в виде сумм бесконечного числа членов, ^[68] таких как

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить знаменитую Базельскую задачу в 1735 году (более подробный аргумент он представил в 1741 году): ^[67]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}$$

константа Эйлерагармоническим рядомгамма-функциейдзета-функции Римана^[69]

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера.

Эйлер ввёл использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математического применения логарифмов. ^[65] Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и обнаружил ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (которое принимается за радианы) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет условию

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

которую Ричард П. Фейнман назвал «самой замечательной формулой в математике» . ^[70]

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера .

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию ^{[71] [72]} и ввёл новый метод решения уравнений четвертой степени . ^[73] Он нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа , позволяющее свести оптимизационные задачи в этой области к решению дифференциальных уравнений .

Эйлер первым применил аналитические методы для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Открывая основы этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию цепных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел , используя расхождение гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как распределяются простые числа . Работы Эйлера в этой области привели к разработке теоремы о простых числах . ^[74]

Теория чисел

Интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием Христиана Гольдбаха , ^[75] его друга по Петербургской Академии. ^[58] Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, например, гипотезу о том, что все числа формы ( числа Ферма ) являются простыми. ^[76] ${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$

Эйлер связал природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . ^[77]

Эйлер изобрел функцию тотента φ( n ), количество натуральных чисел, меньших или равных целому числу n , которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил маленькую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . ^[78] Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая очаровывала математиков со времен Евклида . Он доказал, что связь, показанная между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он ранее доказал), была взаимно однозначной, результат, также известный как теорема Евклида-Эйлера . ^[79] Эйлер также выдвинул гипотезу о квадратичном законе взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работ Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . ^[80] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 ³¹  − 1 = 2 147 483 647 является простым числом Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. ^[81]

Эйлер также внес важные разработки в теорию разбиения целого числа . ^[82]

Теория графов

Карта Кенигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов , с указанием реки Прегель и мостов.

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как «Семь мостов Кенигсберга» . ^[83] Город Кенигсберг в Пруссии был расположен на реке Прегель и включал в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, можно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: эйлеровой схемы не существует . Это решение считается первой теоремой теории графов . ^[83]

Эйлер также открыл формулу , связывающую число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника ^[84] и, следовательно, плоского графа . Константа в этой формуле теперь известна как эйлерова характеристика графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта. ^[85] Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши ^[86] и Л'Юилье , ^[87] лежит в основе топологии . ^[84] ${\displaystyle V-E+F=2}$

Физика, астрономия и инженерия

Некоторые из величайших успехов Эйлера были связаны с аналитическим решением реальных задач и описанием многочисленных применений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил дифференциальное исчисление Лейбница с методом флюксий Ньютона и разработал инструменты, упрощающие применение исчисления к физическим задачам. Он добился больших успехов в совершенствовании числовой аппроксимации интегралов, изобретя то, что сейчас известно как аппроксимации Эйлера . Наиболее заметными из этих приближений являются метод Эйлера ^[88] и формула Эйлера–Маклорена . ^{[89] [90] [91]}

Эйлер помог разработать уравнение балки Эйлера-Бернулли , которое стало краеугольным камнем техники. ^[92] Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к задачам классической механики , Эйлер применил эти методы к небесным задачам. За свою карьеру его работы в области астрономии были отмечены многочисленными премиями Парижской академии . Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет и других небесных тел, понимание природы комет и расчет параллакса Солнца . Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы . ^[93]

Эйлер внес важный вклад в оптику . ^{[94] Он не соглашался с} корпускулярной теорией света Ньютона , ^[95] которая была преобладающей теорией того времени. Его статьи по оптике 1740-х годов помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом , станет доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света . ^[96]

В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до его первого наблюдения в конце 19-го века, а число Эйлера , используемое в расчетах потока жидкости, взято из его родственных работ по эффективности турбин . ^[97] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений для невязкого течения в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . ^[98]

Эйлер хорошо известен в строительной технике своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . ^[99]

Логика

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . ^[100]

Диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их отношений. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно кругов) на плоскости, изображающих множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры и форма кривых не имеют значения; Значение диаграммы в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни одно из них), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют собой непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой совокупность элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, полностью находящаяся во внутренней зоне другой, представляет собой ее подмножество .

Диаграммы Эйлера (и их усовершенствование до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. ^[101] С тех пор они стали широко использоваться как способ визуализации комбинаций характеристик. ^[102]

Музыка

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae ( «Попытка новой теории музыки »), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию как часть математики. Эта часть его работ, однако, не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. ^[103] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический, ^[104] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. ^[105] Его сочинения о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц, общий объем его работы составляет около тридцати тысяч страниц), но они отражают ранние занятия, которые оставались с ним на протяжении всей его жизни. ^[104]

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», то есть возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2 m ^A , где A - «показатель степени». «жанра» (т.е. сумма показателей 3 и 5) и 2 ^m (где «m — неопределенное число, маленькое или большое, пока звуки ощутимы» ^[106] ) выражает, что соотношение независимо от количества соответствующих октав. Первый жанр с А = 1 — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 ^м .3, представляет собой октаву, разделенную на квинту (пятая + четвертая, C–G–C); третий жанр — 2 ^м.5 , мажорная терция + минорная шестая (C–E–C); четвертый — 2 ^{м.3 2} , две четверти и тон (C–F–B ♭ –C) ; пятый – 2 ^м.3,5 (C–E–G–B–C); и т . ^{д .} Жанры 12 (2 ^м.33.5 ), 13 (2 ^{м.32.52 )} и 14 (2 м.3,53 ⁾ представляют собой исправленные варианты диатонического ^, хроматического и энгармонического соответственно произведений Древних. . Жанр 18 (2 ^м 3 ³ 5 ² ) — «диатонико-хроматический», «используемый вообще во всех композициях» ^[107] и который оказывается тождественным системе, описанной Иоганном Маттезоном . ^[108] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. ^[109]

Эйлер разработал конкретный график Speculum musicum , ^{[110] [111]} для иллюстрации диатонико-хроматического жанра, и обсудил пути на этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше). Устройство вызвало новый интерес как Тоннец в неоримановой теории (см. Также Решетка (музыка) ). ^[112]

Далее Эйлер использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени учтивости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – нужно иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. ^[113] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме

$${\displaystyle ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}$$

p _ik _{i —}^[114]

Личная философия и религиозные убеждения

Эйлер всю свою жизнь был религиозным человеком. ^[20] Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Письм к немецкой принцессе» и более ранней работы «Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( «Защита Божественного Откровения против возражений вольнодумцев» ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который считал Библию богодухновенной; Реттунг был прежде всего аргументом в пользу божественного вдохновения Священного Писания . ^{[115] [116]}

Эйлер выступил против концепций монадизма Лейбница и философии Христиана Вольфа . ^[117] Эйлер настаивал на том, что знание частично основано на точных количественных законах, чего монадизм и вольфианская наука не смогли обеспечить. Эйлер также назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими». ^[118]

Существует известная легенда ^[119] , вдохновленная спорами Эйлера со светскими философами о религии, действие которой происходит во время второго пребывания Эйлера в Петербургской Академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма влияют на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили выступить против француза. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть это доказательство в том виде, в котором оно было представлено в суде. Появился Эйлер, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности заявил об этой нелогичности : «Сэр, значит, Бог существует — ответьте!» Дидро, для которого (как говорится в истории) вся математика была бредом, стоял ошеломленный, когда из двора раздались взрывы смеха. Смущенный, он попросил покинуть Россию, и эта просьба была милостиво удовлетворена императрицей. Каким бы забавным ни был этот анекдот, он является апокрифом, учитывая, что сам Дидро занимался математическими исследованиями. ^[120] Легенда, очевидно, была впервые рассказана Дьедонне Тьебо с прикрасами Огастеса Де Моргана . ^[119] ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$

Памятники

Портрет Эйлера на шестой серии банкноты номиналом 10 франков.

Портрет Эйлера на седьмой серии банкноты номиналом 10 франков.

Эйлер был изображен как на шестой ^[121], так и на седьмой ^[122] сериях швейцарских банкнот номиналом 10 франков , а также на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В 1782 году он был избран иностранным почётным членом Американской академии искусств и наук . ^[123] В его честь был назван астероид 2002 Эйлер . ^[124]

Избранная библиография

Эйлер имеет обширную библиографию . Его книги включают:

• Механика (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio jobatis isoperimetrici latissimo sensu Accepti (1744) ^[125] ( Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решения изопериметрических задач в самом широком принятом смысле ) ^[126]
• Introductio in analysin infinitorum (1748) ^{[127] [128]} ( Введение в анализ бесконечного ) ^[129]
• Institutiones Calculi Differentialis (1755) ^{[128] [130]} ( Основы дифференциального исчисления )
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) ^[128] ( Элементы алгебры )
• Institutiones Calculi Integralis (1768–1770) ^[128] ( Основы интегрального исчисления )
• Письма к немецкой принцессе (1768–1772) ^[37]
• Dioptrica , изданная в трёх томах, начиная с 1769 года ^[94]

Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была опубликована индивидуально ^[131] с дополнительной партией из 61 неопубликованной работы, обнаруженной Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фусса ) и опубликованной в виде сборника. в 1862 году. ^{[131] [132]} Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестремом и опубликован с 1910 по 1913 год. ^[133] Каталог, известный как индекс Энестрема, нумерует работы Эйлера от E1 до E866. ^[134] Архив Эйлера был создан в Дартмутском колледже ^[135], а затем в 2017 году он был переведен в Математическая ассоциация Америки ^[136] и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет. ^[137]

В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в 19 веке, ^[131] первый том Opera Omnia был опубликован в 1911 году . ^[138] Однако открытие новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера стабильно продвигается: к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году - 80 томов. ^{[139] [12] [14]} Эти тома разделены на четыре серии. В первой серии собраны работы по анализу, алгебре и теории чисел; он состоит из 29 томов и насчитывает более 14 000 страниц. 31 том серии II общим объемом 10 660 страниц содержит труды по механике, астрономии и технике. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, содержащая огромное количество переписки Эйлера, неопубликованных рукописей и заметок, начала составляться только в 1967 году. Планируется, что серия будет состоять из 16 томов, восемь томов из которых будут выпущены по состоянию на 2022 год ^[update]. ^{[12] [138] [14]}

• 
  Иллюстрация из «Решения проблем... а». Предложения 1743 г. опубликованы в Acta Eruditorum , 1744 г.
• 
  Титульный лист книги Эйлера Methodus inveniendi lineas curvas.
• 
  Карта мира Эйлера 1760 года.
• 
  Карта Африки Эйлера 1753 года.

Примечания

1. Эйлер указан в академической генеалогии как эквивалент докторантуры Лагранжа . ^[1]
2. Произношение / ˈ juː l ər / YOO -lər считается неправильным. ^{[2] [3] [4] [5]}
3. Цитата появилась в обзоре Гульемо Либри недавно опубликованного сборника переписки математиков восемнадцатого века: « ... nous rappellerions que Laplace lui même, ... ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles mémorables que nous avons entendues de sa propre bouche: «Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous». " [...напомним, что сам Лаплас... не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали из его собственных уст: "Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш мастер во всем".] ^{[ 140]}
4. Эта цитата появилась в письме Гаусса Паулю Фуссу от 11 сентября 1849 года: ^[10] « Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, [...] und das Studium aller Eulerschen Arbeiten doch stets die beste durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird. » [Специальная публикация меньших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма достойным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда будет оставаться лучшей школой для различные математические области, которые невозможно заменить ничем другим.]

Рекомендации

1. Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия» , дата обращения 2 июля 2021 г.; В архиве
2. «Эйлер». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
3. «Эйлер». Интернет-словарь Мерриама-Вебстера . 2009. Архивировано из оригинала 25 апреля 2009 года . Проверено 5 июня 2009 г.
4. «Эйлер, Леонард». Словарь английского языка американского наследия (5-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin . 2011. Архивировано из оригинала 4 октября 2013 года . Проверено 30 мая 2013 г.
5. Хиггинс, Питер М. (2007). Сети, головоломки и почтальоны: исследование математических связей . Издательство Оксфордского университета . п. 43. ИСБН 978-0-19-921842-4.
6. Данэм 1999, с. 17.
7. Дебнат, Локенат (2010). Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию. Лондон: Издательство Имперского колледжа. стр. VII. ISBN 978-1-84816-525-0.
8. Данэм 1999, стр. xiii «Лисез Эйлер, Лисез Эйлер, c'est notre maître à tous».
9. Гринштейн, Луиза; Липси, Салли И. (2001). «Эйлер, Леонард (1707–1783)». Энциклопедия математического образования . Рутледж . п. 235. ИСБН 978-0-415-76368-4.
10. Фусс, Пол Генрих; Гаусс, Карл Фридрих (11 сентября 1849 г.). «Карл Фридрих Гаус → Пауль Генрих Фусс, Геттинген, 11 сентября 1849 года».
11. "Леонхарди Эйлери Opera Omnia (LEOO)" . Центр Бернулли Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.
12. "Работы". Общество Бернулли-Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.
13. Гаучи 2008, с. 3.
14. Асад, Арджанг А. (2007). «Леонард Эйлер: Краткая оценка». Сети . 49 (3): 190–198. дои : 10.1002/net.20158. S2CID  11298706.
15. Бойер, Карл Б. (1 июня 2021 г.). «Леонард Эйлер». Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
16. Гаучи 2008, с. 4.
17. Калинджер 2016, с. 11.
18. Гаучи 2008, с. 5.
19. Калинджер 1996, с. 124.
20. Кноблох, Эберхард ; Лоухиваара, Исландия; Винклер Дж., ред. (май 1983 г.). Zum Werk Леонард Эйлерс: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 в Берлине (PDF) . Биркхойзер Верлаг . дои : 10.1007/978-3-0348-7121-1. ISBN 978-3-0348-7122-8.
21. Калинджер 2016, с. 32.
22. Эйлер, Леонард (1727). Dissertatio physica de sono [ Физическая диссертация о звуке ] (на латыни). Базель: Э. и Дж. Р. Турнисиорум. Архивировано из оригинала 6 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
    Переводится на английский как Брюс, Ян. «Диссертация Эйлера De Sono: E002» (PDF) . Некоторые математические работы 17-го и 18-го веков, в том числе «Начала» Ньютона, «Механика» Эйлера, «Введение в анализ» и т. д., были переведены в основном с латыни на английский язык . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2016 года . Проверено 12 июня 2021 г.
    
23. Calinger 1996, с. 125.
24. "Парижская академия". Архив Эйлера . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 30 июля 2021 года . Проверено 29 июля 2021 г.
25. Calinger 1996, с. 156.
26. Калинджер 1996, стр. 121–166.
27. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Николаус (II) Бернулли». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .Проверено 2 июля 2021 г.
28. Калинджер 1996, стр. 126–127.
29. Калинджер 1996, с. 127.
30. Calinger 1996, с. 126.
31. Calinger 1996, с. 128.
32. Калинджер 1996, стр. 128–129.
33. Gekker & Euler 2007, с. 402.
34. Calinger 1996, стр. 157–158.
35. Гаучи 2008, с. 7.
36. Эйлер, Леонард (1787). «Institutiones Calculi Differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum» [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (на латыни). Петри Галеатий. 1 :1–880. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
37. Dunham 1999, стр. xxiv – xxv.
38. Стен, Йохан К.-Э. (2014). «Академические мероприятия в Санкт-Петербурге». Комета Просвещения . Вита Математика. Том. 17. Биркхойзер . стр. 119–135. дои : 10.1007/978-3-319-00618-5_7.См., в частности, сноску 37, с. 131.
39. Финкель, Б.Ф. (1897). «Биография - Леонард Эйлер». Американский математический ежемесячник . 4 (12): 297–302. дои : 10.2307/2968971. JSTOR  2968971. MR  1514436.
40. Тримбл, Вирджиния ; Уильямс, Томас; Брейчер, Кэтрин; Джаррелл, Ричард; Марше, Джордан Д.; Рагеп, Ф. Джамиль, ред. (2007). Биографическая энциклопедия астрономов . Springer Science+Business Media . п. 992. ИСБН 978-0-387-30400-7.Доступно на Archive.org.
41. Кларк, Уильям; Голинский, Ян; Шаффер, Саймон (1999). Науки в просвещенной Европе. Издательство Чикагского университета . п. 395. ИСБН 978-0-226-10940-4. Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
42. Кноблох, Эберхард (2007). «Леонхард Эйлер 1707–1783. Zum 300. Geburtstag eines langjährigen Wahlberliners». Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 15 (4): 276–288. дои : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID  122271644.
43. Gautschi 2008, стр. 8–9.
44. Эйлер, Леонард (1802). Письма Эйлера о различных предметах физики и философии, адресованные немецкой принцессе . Перевод Хантера, Генри (2-е изд.). Лондон: Мюррей и Хайли.Архивировано через интернет-архивы.
45. Фридрих II Прусский (1927). Письма Вольтера и Фридриха Великого, письмо H 7434, 25 января 1778 г. Ричард Олдингтон . Нью-Йорк: Брентано .
46. Линч, Питер (сентябрь 2017 г.). «Эйлер и несостоявшийся фонтан Сан-Суси — это математика: Фридрих Великий проигнорировал советы гения математики и физики». Айриш Таймс . Проверено 26 декабря 2023 г.
47. Вучинич, Александр (1960). «Математика в русской культуре». Журнал истории идей . 21 (2): 164–165. дои : 10.2307/2708192. ISSN  0022-5037. JSTOR  2708192. Архивировано из оригинала 3 августа 2021 года . Проверено 3 августа 2021 г. - через JSTOR .
48. Гиндикин, Саймон (2007). «Леонард Эйлер». Сказки математиков и физиков . Издательство Спрингер . стр. 171–212. дои : 10.1007/978-0-387-48811-0_7. ISBN 978-0-387-48811-0.См., в частности, стр. 182. Архивировано 10 июня 2021 года в Wayback Machine .
49. Гаучи 2008, с. 9.
50. Кноблох, Эберхард (1998). «Математика в Прусской академии наук 1700–1810». Ин Бегер, Генрих; Кох, Гельмут ; Крамер, Юрг; Шаппахер, Норберт ; Тиле, Эрнст-Йохен (ред.). Математика в Берлине . Базель: Биркхойзер Базель . стр. 1–8. дои : 10.1007/978-3-0348-8787-8_1. ISBN 978-3-7643-5943-0.
51. Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера (1707–1783)». Математика и ремесло историка . Книги CMS по математике. Нью-Йорк: Издательство Springer . стр. 81–140. дои : 10.1007/0-387-28272-6_6. ISBN 978-0-387-25284-1.
52. Эккерт, Майкл (2002). «Эйлер и фонтаны Сан-Суси». Архив истории точных наук . 56 (6): 451–468. дои : 10.1007/s004070200054. ISSN  0003-9519. S2CID  121790508.
53. Маэхара, Хироши; Мартини, Хорст (2017). «О теореме Лекселла». Американский математический ежемесячник . 124 (4): 337–344. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. S2CID  125175471. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.
54. Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера». В Киньоне, Майкл; ван Бруммелен, Глен (ред.). Математика и ремесло историка: Лекции Кеннета О. Мэя . Издательство Спрингер . стр. 81–140. ISBN 978-0-387-25284-1.
55. Фусс, Николас (1783). «Éloge de M. Léonhard Euler» [Похвальная речь Леонарду Эйлеру]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на французском языке). 1 : 159–212. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Получено 19 мая 2018 г. - из Библиотеки разнообразия бионаследия.Переведено на английский как «Похвала Леонарда Эйлера Николаса Фусса». MacTutor Архив истории математики . Перевод Глауса, Джона С.Д. Университета Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Проверено 30 августа 2006 г.
56. Calinger 1996, с. 129.
57. Геккер и Эйлер 2007, с. 405.
58. Гаучи 2008, с. 6.
59. Ивс, Ховард В. (1969). «Слепота Эйлера». В математических кругах: Подборка математических рассказов и анекдотов, квадранты III и IV . Приндл, Вебер и Шмидт. п. 48. ОСЛК  260534353.Также цитируется Richeson (2012), с. 17. Архивировано 16 июня 2021 года в Wayback Machine , процитировано Ивсом.
60. Асенси, Виктор; Асенси, Хосе М. (март 2013 г.). «Правый глаз Эйлера: темная сторона яркого ученого». Клинические инфекционные болезни . 57 (1): 158–159. doi : 10.1093/cid/cit170. ПМИД  23487386.
61. Буллок, Джон Д.; Война, Рональд Э.; Хоули, Х. Брэдфорд (апрель 2022 г.). «Почему Леонард Эйлер был слепым?». Британский журнал истории математики . 37 : 24–42. дои : 10.1080/26375451.2022.2052493. S2CID  247868159.
62. Гаучи 2008, стр. 9–10.
63. Маркиз де Кондорсе . «Похвальная речь Эйлера – Кондорсе». Архивировано из оригинала 16 сентября 2006 года . Проверено 30 августа 2006 г.
64. Калингер 2016, стр. 530–536.
65. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики. Джон Уайли и сыновья . стр. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
66. Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе. Спрингер-Верлаг . п. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4. Архивировано из оригинала 17 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
67. Ваннер, Герхард ; Хайрер, Эрнст (2005). Анализ по истории (1-е изд.). Издательство Спрингер . п. 63. ИСБН 978-0-387-77036-9.
68. Ферраро 2008, с. 155.
69. Лагариас, Джеффри К. (октябрь 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. МР  3090422. S2CID  119612431.
70. Фейнман, Ричард (1970). «Глава 22: Алгебра». Фейнмановские лекции по физике . Том. И. п. 10.
71. Ферраро 2008, с. 159.
72. Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонхарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». Американский математический ежемесячник . 66 : 849–869. дои : 10.2307/2309786. JSTOR  2309786. МР  0106810.
73. Никаллс, RWD (март 2009 г.). «Уравнение четвертой степени: раскрыты инварианты и решение Эйлера». Математический вестник . 93 (526): 66–75. дои : 10.1017/S0025557200184190. JSTOR  40378672. S2CID  16741834.
74. Данэм 1999, гл. 3, гл. 4.
75. Калинджер 1996, с. 130.
76. Данэм 1999, стр. 7.
77. Паттерсон, SJ (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 14. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 1. дои : 10.1017/CBO9780511623707. ISBN 978-0-521-33535-5. MR  0933558. Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г.
78. Шиу, Питер (ноябрь 2007 г.). «Вклад Эйлера в теорию чисел». Математический вестник . 91 (522): 453–461. дои : 10.1017/S0025557200182099. JSTOR  40378418. S2CID  125064003.
79. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история. Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. п. 40. ИСБН 978-1-4419-6052-8. Архивировано из оригинала 27 июля 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г..
80. Данэм 1999, гл. 1, гл. 4.
81. Колдуэлл, Крис . «Самое большое известное простое число за год». ПраймПейджс . Университет Теннесси в Мартине . Архивировано из оригинала 8 августа 2013 года . Проверено 9 июня 2021 г.
82. Хопкинс, Брайан; Уилсон, Робин (2007). «Наука комбинаций Эйлера». Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Стад. Хист. Филос. Математика. Том. 5. Амстердам: Эльзевир. стр. 395–408. МР  3890500.
83. Александерсон, Джеральд (июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кенигсберга: исторический взгляд». Бюллетень Американского математического общества . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
84. Ричесон 2012.
85. Гиббонс, Алан (1985). Алгоритмическая теория графов. Издательство Кембриджского университета . п. 72. ИСБН 978-0-521-28881-1. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
86. Коши, AL (1813). «Recherche sur les polyèdres – главные воспоминания». Журнал политехнической школы (на французском языке). 9 (Каир 16): 66–86. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
87. L'Huillier, S.-A.-J. (1812–1813). «Мемуар о полиэдрометрии». Анналы чистой и прикладной математики . 3 : 169–189. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
88. Мясник, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . п. 45. ИСБН 978-0-471-96758-3. Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
89. Калингер 2016, стр. 96, 137.
90. Ферраро 2008, стр. 171–180, Глава 14: Вывод Эйлером формулы суммирования Эйлера-Маклорена.
91. Миллс, Стелла (1985). «Независимые выводы Леонарда Эйлера и Колина Маклорена формулы суммирования Эйлера-Маклорена». Архив истории точных наук . 33 (1–3): 1–13. дои : 10.1007/BF00328047. MR  0795457. S2CID  122119093.
92. Охалво, Моррис (декабрь 2007 г.). «Триста лет теории баров». Журнал строительной техники . 133 (12): 1686–1689. дои : 10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686).
93. Юшкевич, AP (1971). «Эйлер, Леонард». В Гиллиспи, Чарльз Коулстон (ред.). Словарь научной биографии . Том. 4: Ричард Дедекинд – Фирмикус Матернус. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера . стр. 467–484. ISBN 978-0-684-16964-4.
94. Дэвидсон, Майкл В. (февраль 2011 г.). «Пионеры оптики: Леонард Эйлер и Этьен-Луи Малюс». Микроскопия сегодня . 19 (2): 52–54. дои : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID  122853454.
95. Калинджер 1996, стр. 152–153.
96. Дом, RW (1988). «Антиньютоновская» теория света Леонарда Эйлера». Анналы науки . 45 (5): 521–533. дои : 10.1080/00033798800200371. МР  0962700.
97. Ли, Шэнцай (октябрь 2015 г.). «Крошечные пузыри бросают вызов гигантским турбинам: головоломка «Три ущелья»». Фокус на интерфейсе . Королевское общество . 5 (5): 20150020. doi :10.1098/rsfs.2015.0020. ПМЦ 4549846 . ПМИД  26442144. 
98. Эйлер, Леонард (1757). «Общие принципы состояния равновесия жидкости». Королевская академия наук и изящной словесности Берлина, Mémoires (на французском языке). 11 : 217–273. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г.Переведено на английский как Фриш, Уриэль (2008). «Перевод Леонарда Эйлера: Общие принципы движения жидкостей». arXiv : 0802.2383 [nlin.CD].
99. Гаучи 2008, с. 22.
100. Барон, Маргарет Э. (май 1969 г.). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». Математический вестник . 53 (383): 113–125. дои : 10.2307/3614533. JSTOR  3614533. S2CID  125364002.
101. Лемански, Йенс (2016). «Средство или цель? Об оценке логических диаграмм». Логико-философские исследования . 14 : 98–122.
102. Роджерс, Питер (июнь 2014 г.). «Обзор диаграмм Эйлера» (PDF) . Журнал визуальных языков и вычислений . 25 (3): 134–155. дои : 10.1016/j.jvlc.2013.08.006. S2CID  2571971. Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 23 июля 2021 г.
103. Калинджер 1996, стр. 144–145.
104. Пешич, Питер (2014). «Эйлер: математика музыкальной грусти; Эйлер: от звука к свету». Музыка и создание современной науки . МТИ Пресс . стр. 133–160. ISBN 978-0-262-02727-4. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
105. Тегг, Томас (1829). «Двоичные логарифмы». Лондонская энциклопедия; или «Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний», Том 4 . стр. 142–143. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 года . Проверено 13 июня 2021 г.
106. Эйлер 1739, с. 115.
107. Эмери, Эрик (2000). Времена и музыка . Лозанна: L'Age d'homme. стр. 344–345.
108. Маттесон, Йоханнес (1731). Grosse General-Baß-Schule. Том. Я. Гамбург. стр. 104–106. ОСЛК  30006387.Упоминается Эйлером. Также: Маттесон, Йоханнес (1719). Образцовый органистен-зонд. Гамбург. стр. 57–59.
109. См.:
     • Перре, Уилфрид (1926). Некоторые вопросы музыкальной теории . Кембридж: В. Хеффер и сыновья. стр. 60–62. ОСЛК  3212114.
     • «Что такое род Эйлера-Фоккера?». Микротональность . Фонд Гюйгенса-Фоккера . Архивировано из оригинала 21 мая 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
110. Эйлер 1739, с. 147.
111. Эйлер, Леонард (1774). Индекс Энестрема 457. «Deharmoniae veris principiis per speculum musicum repreesentatis». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae . 18 : 330–353 . Проверено 12 сентября 2022 г.
112. Голлин, Эдвард (2009). «Комбинаторные и трансформационные аспекты Speculum Musicum Эйлера ». В Клуш, Т.; Нолл, Т. (ред.). Математика и вычисления в музыке: Первая международная конференция, MCM 2007, Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г., Переработанные избранные статьи . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 37. Спрингер. стр. 406–411. дои : 10.1007/978-3-642-04579-0_40.
113. Линдли, Марк ; Тернер-Смит, Рональд (1993). Математические модели музыкальных гамм: новый подход. Бонн: Verlag für Systematische Musikwissenschaft. стр. 234–239. ISBN 9783922626664. ОСЛК  27789639.См. также Нолан, Кэтрин (2002). «Теория музыки и математика». В Кристенсене, Т. (ред.). Кембриджская история теории западной музыки . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 278–279. ISBN 9781139053471. ОКЛК  828741887.
114. Байяш, Патрис (17 января 1997 г.). «Трудовая музыка в математике: Леонард Эйлер». Общение в коллоквиуме Центра Франсуа Вьета, «Проблемы перевода в XVIII веке», Нант (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
115. Эйлер, Леонард (1747). Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister [ Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев ] (на немецком языке). Индекс Энестрема 92. Берлин: Амброзиус Хауде и Иоганн Карл Шпенер. Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
116. Маркиз де Кондорсе (1805). Сравнение с последним изданием писем Эйлера, опубликованным де Кондорсе, с оригинальным изданием: «Защита Откровения против возражений вольнодумцев» г-на Эйлера с последующими мыслями автора о религии, исключенными из последнего издания его писем принцессе Германии (PDF) . Перевод Хо, Энди. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2015 г. Проверено 26 июля 2021 г.
117. Калинджер 1996, с. 123.
118. Калинджер 1996, стр. 153–154.
119. См.:
     • Браун, Б.Х. (май 1942 г.). «Анекдот Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 49 (5): 302–303. дои : 10.2307/2303096. JSTOR  2303096.
     • Жиллингс, Р.Дж. (февраль 1954 г.). «Так называемый инцидент Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 61 (2): 77–80. дои : 10.2307/2307789. JSTOR  2307789.
     • Струик, Дирк Дж. (1967). Краткая история математики (3-е исправленное изд.). Дуврские книги . п. 129. ИСБН 978-0-486-60255-4.
120. Марти, Жак (1988). «Quelquesspectes des travaux de Diderot en «mathématiques mixtes»» [Некоторые аспекты работ Дидро по общей математике]. Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie (на французском языке). 4 (1): 145–147. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 года . Проверено 20 апреля 2012 г.
121. "Швейцарский национальный банк (SNB) - Sechste Banknotenserie (1976)" . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
122. "Швейцарский национальный банк (SNB) - Siebte Banknotenserie (1984)" . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
123. «Е» (PDF) . Члены Американской академии искусств и наук, 1780–2017 гг . Американская академия искусств и наук . стр. 164–179. Архивировано (PDF) из оригинала 18 февраля 2019 года . Проверено 17 февраля 2019 г.Вступление к Эйлеру находится на стр. 177.
124. Шмадель, Лутц Д. , изд. (2007). «(2002) Эйлер». Словарь названий малых планет . Берлин , Гейдельберг : Издательство Springer . п. 162. дои : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN 978-3-540-29925-7.
125. Фрейзер, Крейг Г. (11 февраля 2005 г.). Книга Леонарда Эйлера 1744 года по вариационному исчислению. Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4.В Grattan-Guinness 2005, стр. 168–180.
126. Эйлер, Леонард (1744). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio pumpatis isoperimetrici lattissimo sensu Accepti [ Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком принятом смысле ] (на латыни). Боскет. Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
127. Райх, Карин (11 февраля 2005 г.). «Введение» в анализ. Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4.В Grattan-Guinness 2005, стр. 181–190.
128. Ферраро, Джованни (2007). «Трактаты Эйлера об анализе бесконечно малых: Введение в анализ бесконечности, институты дифференциального исчисления, институты интегрального исчисления ». В Бейкер, Роджер (ред.). Пересмотр Эйлера: Очерки трехсотлетия (PDF) . Хибер-Сити, Юта: Кендрик Пресс. стр. 39–101. MR  2384378. Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2022 года.
129. Обзоры введения в анализ бесконечного :
     • Эйтон, Э.Дж. «Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод Джона Д. Блэнтона. (Английский)». zbМАТ . Збл  0657.01013.
     • Шиу, П. (декабрь 1990 г.). «Введение в анализ бесконечного (Книга II) Леонарда Эйлера (перевод Джона Д. Блэнтона)». Математический вестник . 74 (470): 392–393. дои : 10.2307/3618156. JSTOR  3618156.
     • Штефанеску, Дору. «Эйлер, Леонард. Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод с латыни и с введением Джона Д. Блэнтона». Математические обзоры . МР  1025504.
130. Демидов, СС (2005). Трактат по дифференциальному исчислению. Эльзевир. ISBN 978-0080457444. Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.В Grattan-Guinness 2005, стр. 191–198.
131. Кляйнерт, Андреас (2015). «Леонарди Эйлери Opera omnia: Редактирование произведений и переписки Леонарда Эйлера». Праце Комисджи истории науки ПАУ . Ягеллонский университет . 14 :13–35. дои : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
132. Эйлер, Леонард; Фусс, Никола Иванович ; Фусс, Пол (1862). Opera postuma mathematica et physica anno 1844 Deteta Que Academiae scientiarum Petropolitanae obtulerunt ejusque auspicus ediderunt auctoris pronepotes Paulus Henricus Fuss et Nicolaus Fuss . Императорская академия наук (Россия) . ОКЛК  9094558695.
133. Calinger 2016, стр. ix–x.
134. "Индекс Энестрема". Архив Эйлера . Архивировано из оригинала 9 августа 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
135. Кнапп, Сьюзен (19 февраля 2007 г.). «Студенты Дартмута создают онлайн-архив исторического математика». Вокс Дартмута . Дартмутский колледж . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года.
136. Клив, Доминик (июнь – июль 2011 г.). «Архив Эйлера переезжает на сайт МАА» . МАА ФОКУС . Математическая ассоциация Америки . Проверено 9 января 2020 г.
137. "Архив Эйлера". Тихоокеанский университет . Архивировано из оригинала 7 июня 2021 года.
138. Плюсс, Матиас. «Гёте дер Математика». Швейцарский национальный научный фонд . Архивировано из оригинала 24 июня 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.
139. Варадараджан, В.С. (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7. ОКЛК  803144928.
140. Либри, Гульемо (январь 1846 г.). «Correspondance mathématique et Physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, ...» [Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров восемнадцатого века, ...]. Journal des Savants (на французском языке): 51. Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года . Проверено 7 апреля 2014 г.

Источники

• Калинджер, Рональд (1996). «Леонард Эйлер: Первые петербургские годы (1727–1741)». История Математики . 23 (2): 121–166. дои : 10.1006/hmat.1996.0015 .
• Калинджер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11927-4. Архивировано из оригинала 13 июля 2017 года . Проверено 4 января 2017 г.
• Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Мастер всех нас. Математические изложения Дольчиани. Том. 22. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-328-3. Архивировано из оригинала 13 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
• Эйлер, Леонард (1739). Tentamen novae theoriae musicae [ Попытка новой теории музыки, изложенной во всей ясности, согласно наиболее обоснованным принципам гармонии ] (на латыни). СПб.: Императорская Академия наук . Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
• Ферраро, Джованни (2008). Возникновение и развитие теории рядов до начала 1820-х годов. Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-73467-5. Архивировано из оригинала 29 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
• Геккер, ИК; Эйлер, А.А. (2007). «Семья и потомки Леонарда Эйлера». В Боголюбов Николай Николаевич ; Михайлов, ГК; Юшкевич, Адольф Павлович (ред.). Эйлер и современная наука. Перевод Роберта Бернса. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-564-5. Архивировано из оригинала 18 мая 2016 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
• Гаучи, Уолтер (2008). «Леонард Эйлер: его жизнь, человек и его произведения». Обзор СИАМ . 50 (1): 3–33. Бибкод : 2008SIAMR..50....3G. CiteSeerX  10.1.1.177.8766 . дои : 10.1137/070702710. ISSN  0036-1445. JSTOR  20454060.
• Граттан-Гиннесс, Айвор , изд. (2005). Знаковые сочинения по западной математике 1640–1940 гг. Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4.
• Ричесон, Дэвид С. (2012). Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Издательство Принстонского университета . п. 17. ISBN 978-1-4008-3856-1.

дальнейшее чтение

• Брэдли, Роберт Э.; Д'Антонио, Лоуренс А.; Сандифер, Чарльз Эдвард (2007). Эйлеру 300 лет: признание. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-565-2.
• Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Чарльз Эдвард, ред. (2007). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие. Исследования по истории и философии математики. Том. 5. Эльзевир. ISBN 978-0-444-52728-8. Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
• Данэм, Уильям (2007). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-558-4.
• Хашер, Ксавье; Пападопулос, Атанас, ред. (2015). Леонард Эйлер: математика, физик и теория музыки (на французском языке). Париж: издания CNRS. ISBN 978-2-271-08331-9. Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
• Сандифер, К. Эдвард (2007). Ранняя математика Леонарда Эйлера. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-559-1.
• Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-563-8.
• Сандифер, К. Эдвард (2015). Как Эйлер сделал еще больше. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-584-3. Архивировано из оригинала 16 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
• Шатшнайдер, Дорис , изд. (ноябрь 1983 г.). «Дань Леонарду Эйлеру 1707–1783 (специальный выпуск)». Журнал «Математика» . 56 (5). JSTOR  i326726.

Внешние ссылки

• Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия»
• Архив Эйлера: Состав сочинений Эйлера с переводами на английский язык.
• Опера-Бернулли-Эйлер (сборник произведений Эйлера, семьи Бернулли и современных ему коллег)
• Трехсотлетие Эйлера, 2007 г.
• Общество Эйлера
• Эйлериана в Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук
• Генеалогическое древо Эйлера
• Переписка Эйлера с Фридрихом Великим, королем Пруссии.
• Работы Леонарда Эйлера в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Леонард Эйлер». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
• Данэм, Уильям (24 сентября 2009 г.). «Вечер с Леонардом Эйлером». YouTube . Колледж Мюленберга : philoctetesctr (опубликовано 9 ноября 2009 г.).(выступление Уильяма Данэма на сайте )
• Данэм, Уильям (14 октября 2008 г.). «Дань Эйлеру - Уильям Данэм». YouTube . Колледж Мюленберга: Пуанкаре Двойственность (опубликовано 23 ноября 2011 г.).