Линейная комбинация

Сумма членов, каждое из которых умножается на скаляр

В математике линейная комбинация — это выражение , построенное из набора членов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейная комбинация x и y будет любым выражением формы ax + by , где a и b являются константами). ^{[1] [2] [3] [4]} Концепция линейных комбинаций занимает центральное место в линейной алгебре и смежных областях математики. Большая часть этой статьи посвящена линейным комбинациям в контексте векторного пространства над полем , а некоторые обобщения приведены в конце статьи.

Определение

Пусть V — векторное пространство над полем K. Как обычно, мы называем элементы V векторами , а элементы K скалярами . Если v ₁ ,..., v _n — векторы, а a ₁ ,..., an _— скаляры, то линейная комбинация этих векторов с этими скалярами в качестве коэффициентов равна

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Существует некоторая двусмысленность в использовании термина «линейная комбинация» относительно того, относится ли он к выражению или к его значению. В большинстве случаев значение подчеркивается, как и в утверждении «множество всех линейных комбинаций v ₁ ,..., v _n всегда образует подпространство». Однако можно также сказать: «две разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение», и в этом случае ссылка будет на выражение. Тонкое различие между этими использованиями составляет суть понятия линейной зависимости : семейство векторов F является линейно независимым именно в том случае, если любая линейная комбинация векторов в F (как значение) является уникальной (как выражение). В любом случае, даже если рассматривать его как выражение, все, что имеет значение в линейной комбинации _, — это коэффициент каждого vi ; тривиальные модификации, такие как перестановка членов или добавление членов с нулевым коэффициентом, не создают отдельных линейных комбинаций.

В данной ситуации K и V могут быть указаны явно или могут быть очевидны из контекста. В этом случае мы часто говорим о линейной комбинации векторов v ₁ ,..., v _n с неуказанными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать K ). Или, если S является подмножеством V , мы можем говорить о линейной комбинации векторов в S , где и коэффициенты, и векторы не указаны, за исключением того , что векторы должны принадлежать множеству S (а коэффициенты должны принадлежать K ). Наконец, мы можем говорить просто о линейной комбинации , где ничего не указано (за исключением того, что векторы должны принадлежать V , а коэффициенты должны принадлежать K ); в данном случае, вероятно, имеется в виду выражение, поскольку каждый вектор в V заведомо является значением некоторой линейной комбинации.

Обратите внимание, что по определению линейная комбинация включает только конечное число векторов (за исключением случаев, описанных в разделе «Обобщения» ниже). Однако множество S , из которого взяты векторы (если оно упомянуто), все еще может быть бесконечным ; каждая отдельная линейная комбинация будет включать только конечное число векторов. Кроме того, нет причин, по которым n не может быть равно нулю ; в этом случае мы по соглашению объявляем, что результатом линейной комбинации является нулевой вектор в V .

Примеры и контрпримеры

Евклидовы векторы

Пусть поле K — множество R действительных чисел , а векторное пространство V — евклидово пространство R3 ^. Рассмотрим векторы e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) и e ₃ = (0,0,1) . Тогда любой вектор из R3 является линейной комбинацией e1 _, e2 и  _{e3 .} ^_ _

Чтобы убедиться в этом, возьмем произвольный вектор ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) в R ³ и напишем:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

Функции

Пусть K — множество C всех комплексных чисел , а V — множество C _C ( R ) всех непрерывных функций от вещественной прямой R до комплексной плоскости C. Рассмотрим векторы (функции) f и g , определяемые формулами f ( t ) := e ^it и g ( t ) := e ^{− it} . (Здесь e — основание натурального логарифма , около 2,71828..., а i — мнимая единица , квадратный корень из −1.) Некоторые линейные комбинации f и g  :

• ${\displaystyle \cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}}$
• ${\displaystyle 2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.}$

С другой стороны, постоянная функция 3 не является линейной комбинацией f и g . Чтобы убедиться в этом, предположим, что 3 можно записать как линейную комбинацию e ^it и e ^{− it} . Это означает, что существуют комплексные скаляры a и b такие, что ae ^it + be ^{− it} = 3 для всех действительных чисел t . Установка t = 0 и t = π дает уравнения a + b = 3 и a + b = −3 , и очевидно, что этого не может произойти. См. личность Эйлера .

Полиномы

Пусть K будет R , C или любым полем, и пусть V будет множеством P всех многочленов с коэффициентами, взятыми из поля K . Рассмотрим векторы (полиномы) p ₁  := 1, p ₂  := x + 1 и p ₃  := x ² + x + 1 .

Является ли многочлен x ²  − 1 линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ ? Чтобы выяснить это, рассмотрим произвольную линейную комбинацию этих векторов и попытаемся увидеть, когда она равна желаемому вектору x ²  − 1. Выбирая произвольные коэффициенты a ₁ , a ₂ и a ₃ , мы хотим

${\displaystyle a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

Умножая полиномы, это означает

${\displaystyle (a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

и собирая подобные степени x , мы получаем

${\displaystyle a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).}$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, поэтому мы можем заключить

${\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

Эту систему линейных уравнений легко решить. Во-первых, первое уравнение просто говорит, что a ₃ равно 1. Зная это, мы можем решить второе уравнение для a ₂ , которое равно −1. Наконец, последнее уравнение говорит нам, что ₁ также равно −1. Следовательно, единственный возможный способ получить линейную комбинацию — с помощью этих коэффициентов. Действительно,

${\displaystyle x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

итак, x ²  − 1 является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и  p ₃ .

С другой стороны, как насчет многочлена x ³  − 1? Если мы попытаемся сделать этот вектор линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ , то, следуя тому же процессу, что и раньше, мы получим уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}}$

Однако если в этом случае мы установим соответствующие коэффициенты равными, уравнение для x ³  будет иметь вид

${\displaystyle 0=1}$

что всегда неверно. Следовательно, это невозможно сделать, и x ³  − 1 не является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и  p ₃ .

Линейный пролет

Возьмем произвольное поле K , произвольное векторное пространство V и пусть v ₁ ,..., v _n — векторы (в V ). Интересно рассмотреть множество всех линейных комбинаций этих векторов. Этот набор называется линейной размахом (или просто размахом ) векторов, скажем, S = { v ₁ , ..., v _n }. Мы запишем диапазон S как span( S ) ^{[5] [6]} или sp( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Линейная независимость

Предположим, что для некоторых наборов векторов v ₁ ,..., v _n один вектор можно записать двумя разными способами как их линейную комбинацию:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Это эквивалентно вычитанию этих ( ) тому, что нетривиальная комбинация равна нулю: ^{[7] [8]} ${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

Если это возможно, то v ₁ ,..., v _n называются линейно зависимыми ; в противном случае они линейно независимы . Аналогично можно говорить о линейной зависимости или независимости произвольного набора S векторов.

Если S линейно независима и размер S равен V , то S является базой для V.

Аффинные, конические и выпуклые комбинации

Ограничивая коэффициенты, используемые в линейных комбинациях, можно определить соответствующие понятия аффинной комбинации , конической комбинации и выпуклой комбинации , а также связанные с ними понятия множеств, замкнутых относительно этих операций.

Поскольку это более ограниченные операции, под ними будет замкнуто больше подмножеств, поэтому аффинные подмножества, выпуклые конусы и выпуклые множества являются обобщениями векторных подпространств: векторное подпространство также является аффинным подпространством, выпуклым конусом и выпуклым множеством, но выпуклое множество не обязательно должно быть векторным подпространством, аффинным или выпуклым конусом.

Эти понятия часто возникают, когда можно взять определенные линейные комбинации объектов, но не любые: например, распределения вероятностей замыкаются относительно выпуклой комбинации (они образуют выпуклое множество), но не конические или аффинные комбинации (или линейные), а положительные меры замкнуты относительно конической комбинации, но не аффинны или линейны – следовательно, знаковые меры определяются как линейное замыкание.

Линейные и аффинные комбинации могут быть определены над любым полем (или кольцом), но коническая и выпуклая комбинация требуют понятия «положительный» и, следовательно, могут быть определены только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом ), обычно над действительными числами.

Если разрешить только скалярное умножение, а не сложение, получится конус (не обязательно выпуклый ) ; часто ограничивают определение, допуская умножение только на положительные скаляры.

Все эти концепции обычно определяются как подмножества объемлющего векторного пространства (за исключением аффинных пространств, которые также считаются «векторными пространствами, забывающими начало координат»), а не аксиоматизируются независимо.

Теория операд

Более абстрактно, на языке теории операд , можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой (бесконечная прямая сумма , поэтому только конечное число членов ненулевые; это соответствует взятию только конечных сумм), что параметризует линейные комбинации : например, вектор соответствует линейной комбинации . Точно так же можно рассматривать аффинные комбинации, конические комбинации и выпуклые комбинации как соответствующие подоперадам, где сумма членов равна 1, все термины неотрицательны или и то, и другое соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под бытием или стандартным симплексом как модельным пространством, а также такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь субоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$ ${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

С этой точки зрения мы можем думать о линейных комбинациях как о наиболее общем виде операций над векторным пространством: сказать, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, — это в точности утверждение, что все возможные алгебраические операции над вектором пространство представляют собой линейные комбинации.

Основные операции сложения и скалярного умножения вместе с наличием аддитивного тождества и аддитивных обратных не могут быть объединены каким-либо более сложным способом, чем общая линейная комбинация: основные операции представляют собой порождающий набор для операды всех линейных комбинаций.

В конечном итоге этот факт лежит в основе полезности линейных комбинаций при изучении векторных пространств.

Обобщения

Если V — топологическое векторное пространство , то может быть способ понять некоторые бесконечные линейные комбинации, используя топологию V. Например, мы могли бы говорить о 1 v ₁  + a ₂ v ₂  + a ₃ v _{3 + ⋯ ,}  продолжающемся вечно. Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл; мы называем их конвергентными, когда они это делают. Разрешение большего количества линейных комбинаций в этом случае также может привести к другой концепции диапазона, линейной независимости и базиса. В статьях о различных вариантах топологических векторных пространств они рассматриваются более подробно.

Если К — не поле, а коммутативное кольцо , то все сказанное выше о линейных комбинациях обобщается на этот случай без изменений. Единственное отличие состоит в том, что мы называем такие пространства V- модулями вместо векторных пространств. Если K — некоммутативное кольцо, то концепция по-прежнему обобщает с одной оговоркой: поскольку модули над некоммутативными кольцами бывают левой и правой версий, наши линейные комбинации также могут существовать в любой из этих версий, в зависимости от того, что подходит для данного модуля. Это просто вопрос скалярного умножения с правильной стороны.

Более сложный поворот происходит, когда V является бимодулем над двумя кольцами K _L и K _R . В этом случае наиболее общая линейная комбинация имеет вид

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

где a ₁ , ..., an _{принадлежат} K _L , b ₁ ,..., _bn принадлежат K R _, а v ₁ ,…, v n _{принадлежат} V .

Приложение

Важным применением линейных комбинаций является волновые функции в квантовой механике .

Смотрите также

• Взвешенная сумма

Цитаты

1. Стрэнг (2016), с. 3, § 1.1
2. Лэй, Лэй и Макдональд (2016), с. 28, гл. 1
3. Экслер (2015) с. 28, § 2.3
4. nLab (2015) Линейные комбинации.
5. Экслер (2015), стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8.
6. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 9, § 1.2.3
7. Экслер (2015), стр. 32-33, §§ 2.17, 2.19.
8. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 14, § 1.3.2

Рекомендации

Учебник

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Лэй, Дэвид С.; Лэй, Стивен Р.; Макдональд, Джуди Дж. (2016). Линейная алгебра и ее приложения (5-е изд.). Пирсон. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (5-е изд.). Уэлсли Кембридж Пресс. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Интернет

• «Линейные комбинации». нЛаб . 27 октября 2015 г. Проверено 16 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Линейные комбинации и диапазон: понимание линейных комбинаций и диапазонов векторов, khanacademy.org.