Линейная независимость

Векторы, линейные комбинации которых не равны нулю

Линейно независимые векторы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Линейно зависимые векторы в плоскости в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

В теории векторных пространств набор векторов называетсялинейно независимы , если не существует нетривиальнойлинейной комбинациивекторов, которая равна нулевому вектору. Если такая линейная комбинация существует, то говорят, что векторылинейно зависимы . Эти концепции являются центральными для определенияразмерности.^[1]

Векторные пространства могут иметь конечную или бесконечную размерность в зависимости от максимального числа линейно независимых векторов. Определение линейной зависимости и способность определять, является ли подмножество векторов в векторном пространстве линейно зависимым, являются центральными для определения размерности векторного пространства.

Определение

Последовательность векторов из векторного пространства V называется линейно зависимой , если существуют скаляры, не все из которых равны нулю, такие, что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

где обозначает нулевой вектор. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Это подразумевает, что по крайней мере один из скаляров не равен нулю, скажем , и приведенное выше уравнение можно записать как ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},}$

если и если ${\displaystyle k>1,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle k=1.}$

Таким образом, набор векторов линейно зависим тогда и только тогда, когда один из них равен нулю или представляет собой линейную комбинацию остальных.

Последовательность векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, то есть если уравнение ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

может быть удовлетворено только для Это означает, что никакой вектор в последовательности не может быть представлен в виде линейной комбинации оставшихся векторов в последовательности. Другими словами, последовательность векторов линейно независима, если единственным представлением в виде линейной комбинации ее векторов является тривиальное представление, в котором все скаляры равны нулю. ^[2] Еще более кратко, последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда может быть представлена ​​в виде линейной комбинации ее векторов единственным образом. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\textstyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Если последовательность векторов содержит один и тот же вектор дважды, она обязательно зависима. Линейная зависимость последовательности векторов не зависит от порядка членов в последовательности. Это позволяет определить линейную независимость для конечного набора векторов: Конечный набор векторов линейно независим , если последовательность, полученная путем их упорядочивания, линейно независима. Другими словами, получается следующий результат, который часто бывает полезен.

Последовательность векторов линейно независима тогда и только тогда, когда она не содержит один и тот же вектор дважды и набор ее векторов линейно независим.

Бесконечный случай

Бесконечное множество векторов линейно независимо, если каждое непустое конечное подмножество линейно независимо. И наоборот, бесконечное множество векторов линейно зависимо, если оно содержит конечное подмножество, которое линейно зависимо, или, что эквивалентно, если некоторый вектор в множестве является линейной комбинацией других векторов в множестве.

Индексированное семейство векторов линейно независимо, если оно не содержит один и тот же вектор дважды, и если множество его векторов линейно независимо. В противном случае семейство называется линейно зависимым .

Набор векторов, который линейно независим и охватывает некоторое векторное пространство, образует базис для этого векторного пространства. Например, векторное пространство всех полиномов от x над вещественными числами имеет (бесконечное) подмножество {1, x , x ² , ...} в качестве базиса.

Геометрические примеры

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$и независимы и определяют плоскость P. ${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, и являются зависимыми, поскольку все три содержатся в одной и той же плоскости. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$и зависимы, поскольку они параллельны друг другу. ${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, и независимы, потому что и независимы друг от друга и не являются их линейной комбинацией или, что то же самое, потому что они не принадлежат общей плоскости. Три вектора определяют трехмерное пространство. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Векторы (нулевой вектор, компоненты которого равны нулю) и зависимы, поскольку ${\displaystyle {\vec {o}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

Географическое положение

Человек, описывающий местоположение определенного места, может сказать: «Оно находится в 3 милях к северу и в 4 милях к востоку отсюда». Этой информации достаточно для описания местоположения, поскольку географическую систему координат можно рассматривать как двумерное векторное пространство (игнорируя высоту и кривизну земной поверхности). Человек может добавить: «Это место находится в 5 милях к северо-востоку отсюда». Последнее утверждение верно , но оно не обязательно для нахождения местоположения.

В этом примере векторы «3 мили на север» и «4 мили на восток» линейно независимы. То есть, вектор на север не может быть описан в терминах вектора на восток, и наоборот. Третий вектор «5 миль на северо-восток» является линейной комбинацией двух других векторов, и он делает набор векторов линейно зависимым , то есть один из трех векторов не нужен для определения конкретного местоположения на плоскости.

Также обратите внимание, что если высота не игнорируется, то необходимо добавить третий вектор к линейно независимому набору. В общем случае для описания всех местоположений в n -мерном пространстве требуется n линейно независимых векторов .

Оценка линейной независимости

Нулевой вектор

Если один или несколько векторов из заданной последовательности векторов являются нулевым вектором , то векторы обязательно линейно зависимы (и, следовательно, они не являются линейно независимыми). Чтобы понять, почему, предположим, что — индекс (т. е. элемент ), такой что Тогда пусть (в качестве альтернативы, пусть будет равен любому другому ненулевому скаляру, это также будет работать), а затем пусть все остальные скаляры будут (явно это означает, что для любого индекса, отличного от (т. е. для ), пусть так, что, следовательно, ). Упрощение дает: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{i}:=1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle a_{j}:=0}$ ${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Поскольку не все скаляры равны нулю (в частности, ), это доказывает, что векторы линейно зависимы. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

Как следствие, нулевой вектор не может принадлежать ни к какому набору векторов, который линейно независим .

Теперь рассмотрим особый случай, когда последовательность имеет длину (т.е. случай, когда ). Набор векторов, состоящий ровно из одного вектора, линейно зависим тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю. Явно, если — любой вектор, то последовательность (которая является последовательностью длины ) линейно зависима тогда и только тогда, когда ; в качестве альтернативы, набор линейно независим тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Линейная зависимость и независимость двух векторов

В этом примере рассматривается особый случай, когда имеется ровно два вектора и из некоторого действительного или комплексного векторного пространства. Векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$является скалярным кратным (явно это означает, что существует скаляр такой, что ) или ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$является скалярным кратным (явно это означает, что существует скаляр такой, что ). ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Если то, установив, мы имеем (это равенство выполняется независимо от значения ), что показывает, что (1) верно в этом конкретном случае. Аналогично, если то (2) верно, поскольку Если (например, если они оба равны нулевому вектору ), то оба (1) и (2) верны (при использовании для обоих). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=1}$

Если то возможно только если и ; в этом случае можно умножить обе стороны на , чтобы заключить Это показывает, что если и то (1) истинно тогда и только тогда, когда (2) истинно; то есть в этом конкретном случае либо оба (1) и (2) истинны (и векторы линейно зависимы), либо оба (1) и (2) ложны (и векторы линейно независимы ). Если но вместо этого то по крайней мере один из и должен быть равен нулю. Более того, если ровно один из и равен (а другой не равен нулю), то ровно один из (1) и (2) истинен (а другой ложен). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$ ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Векторы и линейно независимы тогда и только тогда, когда не является скалярным кратным и не является скалярным кратным . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Векторы в R2

Три вектора: Рассмотрим набор векторов , а затем условие линейной зависимости ищет набор ненулевых скаляров, такой, что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

или

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Уменьшим строку этого матричного уравнения, вычитая первую строку из второй, чтобы получить,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Продолжаем сокращение ряда, (i) разделив вторую строку на 5, а затем (ii) умножив на 3 и прибавив к первой строке, то есть

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Перестановка этого уравнения позволяет нам получить

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

что показывает, что существуют ненулевые a _{i ,} такие, что их можно определить через и Таким образом, три вектора линейно зависимы. ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Два вектора: Теперь рассмотрим линейную зависимость двух векторов и и проверим, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

или

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Такое же сокращение ряда, представленное выше, дает:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Это показывает, что это означает, что векторы и линейно независимы. ${\displaystyle a_{i}=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

Векторы в R4

Для того чтобы определить, являются ли три вектора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

линейно зависимы, образуют матричное уравнение,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Уменьшим это уравнение, чтобы получить,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Переставьте, чтобы решить для v ₃ и получите,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

Это уравнение легко решается для определения ненулевого a _i ,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

где можно выбрать произвольно. Таким образом, векторы и линейно зависимы. ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Альтернативный метод с использованием определителей

Альтернативный метод основан на том факте, что векторы в линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель матрицы, образованной путем взятия векторов в качестве столбцов, отличен от нуля. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В этом случае матрица, образованная векторами, имеет вид

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Мы можем записать линейную комбинацию столбцов как

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Нас интересует, выполняется ли условие A Λ = 0 для некоторого ненулевого вектора Λ. Это зависит от определителя , который равен ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Поскольку определитель отличен от нуля, векторы и линейно независимы. ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (-3,2)}$

В противном случае предположим, что у нас есть векторы координат, с Тогда A — матрица n × m , а Λ — вектор-столбец с записями, и нас снова интересует A Λ = 0 . Как мы видели ранее, это эквивалентно списку уравнений. Рассмотрим первые строки , первые уравнения; любое решение полного списка уравнений также должно быть верным для сокращенного списка. Фактически, если ⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩ — любой список строк, то уравнение должно быть верным для этих строк. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m<n.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Более того, верно и обратное. То есть, мы можем проверить, являются ли векторы линейно зависимыми, проверив, являются ли ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

для всех возможных списков строк. (В случае , для этого требуется только один определитель, как и выше. Если , то это теорема, что векторы должны быть линейно зависимы.) Этот факт ценен для теории; в практических расчетах доступны более эффективные методы. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m>n}$

Векторов больше, чем измерений

Если векторов больше, чем измерений, то векторы линейно зависимы. Это показано в примере выше трех векторов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Естественные базисные векторы

Пусть и рассмотрим следующие элементы в , известные как естественные базисные векторы: ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Тогда линейно независимы. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Доказательство

Предположим, что — действительные числа, такие, что ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .}$

С

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),}$

тогда для всех ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Линейная независимость функций

Пусть — векторное пространство всех дифференцируемых функций действительной переменной . Тогда функции и в линейно независимы. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle V}$

Доказательство

Предположим, что и — два действительных числа, такие, что ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Возьмем первую производную приведенного выше уравнения:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

для всех значений Нам нужно показать, что и Для этого вычитаем первое уравнение из второго, получая . Поскольку не равно нулю для некоторых , то это тоже следует. Поэтому, согласно определению линейной независимости, и линейно независимы. ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle be^{2t}=0}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$

Пространство линейных зависимостей

Линейная зависимость или линейное отношение между векторами v ₁ , ..., v _n представляет собой кортеж ( a ₁ , ..., a _n ) с n скалярными компонентами, такой что

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Если такая линейная зависимость существует хотя бы с ненулевым компонентом, то n векторов линейно зависимы. Линейные зависимости между v ₁ , ..., v _n образуют векторное пространство.

Если векторы выражены их координатами, то линейные зависимости являются решениями однородной системы линейных уравнений , с координатами векторов в качестве коэффициентов. Базис векторного пространства линейных зависимостей может быть, таким образом, вычислен методом исключения Гаусса .

Обобщения

Аффинная независимость

Набор векторов называется аффинно зависимым , если хотя бы один из векторов в наборе может быть определен как аффинная комбинация других. В противном случае набор называется аффинно независимым . Любая аффинная комбинация является линейной комбинацией; поэтому каждый аффинно зависимый набор является линейно зависимым. И наоборот, каждый линейно независимый набор является аффинно независимым.

Рассмотрим набор векторов размера каждый и рассмотрим набор расширенных векторов размера каждый. Исходные векторы аффинно независимы тогда и только тогда, когда расширенные векторы линейно независимы. ^{[3] : 256} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$ ${\displaystyle n+1}$

Линейно независимые векторные подпространства

Два векторных подпространства и векторного пространства называются линейно независимыми , если ^[4] В более общем смысле, совокупность подпространств называется линейно независимой , если для каждого индекса , где ^[4] Вектор пространства называется прямой суммой , если эти подпространства линейно независимы и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

Смотрите также

• Матроид  – Абстракция линейной независимости векторов

Ссылки

1. Г. Е. Шилов, Линейная алгебра (перевод Р. А. Сильвермана), Dover Publications, Нью-Йорк, 1977.
2. Фридберг, Стивен; Инсел, Арнольд; Спенс, Лоуренс (2003). Линейная алгебра . Пирсон, 4-е издание. стр. 48–49. ISBN 0130084514.
3. Ловас, Ласло ; Пламмер, доктор медицинских наук (1986), Теория соответствия , Анналы дискретной математики, том. 29, Северная Голландия, ISBN 0-444-87916-1, МР  0859549
4. Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс (2000). Функциональный анализ (второе изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC  829157984.стр. 3–7

Внешние ссылки

• «Линейная независимость», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Линейно зависимые функции в WolframMathWorld.
• Учебное пособие и интерактивная программа по линейной независимости.
• Введение в линейную независимость в KhanAcademy.