Свойство, включающее две математические операции
В математике распределительное свойство бинарных операций является обобщением дистрибутивного закона , утверждающего равенство
элементарной алгебреэлементарной арифметике умножение распределяетсясложениемЭто основное свойство чисел является частью определения большинства алгебраических структур , в которых есть две операции, называемые сложением и умножением, таких как комплексные числа , многочлены , матрицы , кольца и поля . Оно также встречается в булевой алгебре и математической логике , где каждое из логического и (обозначается ) и логического или (обозначается ) распределяется над другим.
Определение
Дан набор и два бинарных оператора и
- операция является леводистрибутивной по (или относительно), если для любых элементов
- операция является правораспределительной по отношению к if при любых элементах
- и операция дистрибутивна , если она лево- и праводистрибутивна. [1]
Когда коммутативно , три приведенных выше условия логически эквивалентны .
Значение
В примерах этого раздела используются операторы обычного сложения и умножения.
Если обозначенная операция не является коммутативной, существует различие между левой и правой дистрибутивностью:
В любом случае распределительное свойство можно описать словами как:
Чтобы умножить сумму (или разницу ) на коэффициент, каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое ) умножается на этот коэффициент, а полученные произведения складываются (или вычитаются).
Если операция вне круглых скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то левая дистрибутивность влечет за собой правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о дистрибутивности .
Одним из примеров операции, которая является «только» правораспределительной, является деление, которое не является коммутативным:
Дистрибутивные законы входят в число аксиом колец (например, кольца целых чисел ) и полей (например, поля рациональных чисел ). Здесь умножение распределительно по отношению к сложению, но сложение не является распределительным по отношению к умножению. Примерами структур с двумя операциями, каждая из которых является дистрибутивной по отношению к другой, являются булевы алгебры, такие как алгебра множеств или алгебра переключения .
Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (следя за знаками), а затем сложите все полученные произведения.
Примеры
Вещественные числа
В следующих примерах иллюстрируется использование закона распределения на множестве действительных чисел . Когда в элементарной математике упоминается умножение, обычно имеется в виду именно этот вид умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле , обеспечивающее справедливость закона распределения.
- Первый пример (мысленное и письменное умножение)
- При ментальной арифметике распределительность часто используется неосознанно:
Таким образом, чтобы посчитать в уме, сначала нужно умножить и сложить промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительном законе. - Второй пример (с переменными)
- Третий пример (с двумя суммами)
Здесь распределительный закон был применен дважды, и не имеет значения, какая скобка умножается первой.- Четвертый пример
- Здесь распределительный закон применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Учитывать
Поскольку множитель встречается во всех слагаемых, его можно исключить. То есть в силу распределительного закона получаем
Матрицы
Дистрибутивный закон справедлив и для умножения матриц . Точнее,
Другие примеры
- Умножение порядковых чисел , напротив, является только левораспределительным, а не правораспределительным.
- Перекрестное произведение является лево- и правораспределительным по векторному сложению , хотя и не коммутативно.
- Объединение множеств дистрибутивно по пересечению , а пересечение дистрибутивно по объединению.
- Логическая дизъюнкция («или») дистрибутивна по отношению к логическому союзу («и»), и наоборот.
- Для действительных чисел (и для любого полностью упорядоченного множества ) максимальная операция является дистрибутивной по отношению к минимальной операции, и наоборот:
- Для целых чисел наибольший общий делитель является распределительным по наименьшему общему кратному , и наоборот:
- Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции:
- Для биномиального умножения распределение иногда называют методом FOIL [2] (первые термины Внешний Внутренний и Последний ), например:
- Во всех полукольцах , включая комплексные числа , кватернионы , полиномы и матрицы , умножение распределяется над сложением:
- Во всех алгебрах над полем , включая октонионы и другие неассоциативные алгебры , умножение распределяется по сложению.
Логика высказываний
Правило замены
В стандартной истинностно-функциональной логике высказываний распределение [3] [4] в логических доказательствах использует два действительных правила замены для расширения отдельных вхождений определенных логических связок внутри некоторой формулы в отдельные применения этих связок в подформулах данной формулы. Правила
металогический символлогически эквивалентенИстинные функциональные связки
Дистрибутивность — это свойство некоторых логических связок истинностно-функциональной логики высказываний . Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность является свойством определенных связок. Ниже приведены истиннофункциональные тавтологии .
- Двойное распределение
Распределение и округление
В приближенной арифметике, такой как арифметика с плавающей запятой , распределительное свойство умножения (и деления) над сложением может не работать из-за ограничений арифметической точности . Например, тождество не получается в десятичной арифметике , независимо от количества значащих цифр . В некоторых случаях могут помочь такие методы, как банковское округление , а также повышение используемой точности, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны.
В кольцах и других конструкциях
Дистрибутивность чаще всего встречается в полукольцах , особенно в частных случаях колец и дистрибутивных решеток .
Полукольцо имеет две бинарные операции, обычно обозначаемые и и требующие, которые должны распределяться по
Кольцо — это полукольцо с аддитивными обратными.
Решетка — это еще один вид алгебраической структуры с двумя бинарными операциями.
Если одна из этих операций распределяется по другой (скажем, распределяется по ), то обратное также справедливо ( распределяется по ), и решетка называется дистрибутивной. См. также Дистрибутивность (теория порядка) .
Булеву алгебру можно интерпретировать либо как особый вид кольца ( булевое кольцо ), либо как особый вид дистрибутивной решетки ( булева решетка ). Каждая интерпретация отвечает за разные законы распределения в булевой алгебре.
Подобные структуры без законов распределения представляют собой околокольца и околополя вместо колец и тел . Операции обычно определяются как распределительные справа, а не слева.
Обобщения
В нескольких математических областях рассматриваются обобщенные законы дистрибутивности. Это может включать ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теории порядка можно найти множество важных вариантов дистрибутивности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения ; другие определяются при наличии только одной бинарной операции, например, соответствующие определения и их отношения приведены в статье дистрибутивность (теория порядка) . Сюда также входит понятие полностью дистрибутивной решетки .
При наличии отношения упорядочения можно также ослабить приведенные выше равенства, заменив их на либо или. Естественно, это приведет к осмысленным понятиям лишь в некоторых ситуациях. Применением этого принципа является понятие субдистрибутивности , объясненное в статье об интервальной арифметике .
В теории категорий , если и являются монадами в категории, то дистрибутивный закон является естественным преобразованием , которое представляет собой нестрогую карту монад и карту колакса монад. Это именно те данные, которые необходимы для определения структуры монады : карта умножения а карта единиц — См.: Закон распределения между монадами .
Обобщенный распределительный закон был также предложен в области теории информации .
Антидистрибутивность
Вездесущее тождество , которое связывает обратные операции с бинарными операциями в любой группе , а именно которое принимается как аксиома в более общем контексте полугруппы с инволюцией , иногда называют антидистрибутивным свойством (инверсии как унарной операции ). [5]
В контексте околокольца , которое устраняет коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонних) дистрибутивных элементах , но также и об антидистрибутивных элементах . Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая приближение слева (т. е. тот, который все элементы распределяют при умножении слева), тогда антираспределительный элемент меняет порядок сложения при умножении вправо: [6]
При изучении логики высказываний и булевой алгебры термин «антидистрибутивный закон» иногда используется для обозначения обмена между соединением и дизъюнкцией, когда импликация влияет на них: [7]
Эти две тавтологии являются прямым следствием двойственности законов Де Моргана .
Примечания
Внешние ссылки
Поищите дистрибутивность в Викисловаре, бесплатном словаре.
- Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (из «разрубить узел »)