ФОЛЬГОВЫЙ метод

Мнемоника для нахождения произведения двух биномиальных функций

В элементарной алгебре FOIL — это мнемоника стандартного метода умножения двух биномов ^[1] — следовательно, этот метод можно называть методом FOIL . Слово FOIL является аббревиатурой четырех терминов продукта:

• Первый («первые» члены каждого бинома перемножаются)
• Внешний («внешние» члены умножаются, то есть первый член первого бинома и второй член второго)
• Внутренние («внутренние» члены перемножаются — второй член первого бинома и первый член второго)
• L ast («последние» члены каждого бинома умножаются)

Общая форма

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

Обратите внимание, что a является одновременно «первым» и «внешним» термином; b является одновременно «последним» и «внутренним» термином и так далее. Порядок четырех членов суммы не важен и не обязательно должен совпадать с порядком букв в слове FOIL.

История

Метод FOIL является частным случаем более общего метода умножения алгебраических выражений с использованием закона распределения . Слово FOIL изначально предназначалось исключительно как мнемоника для старшеклассников, изучающих алгебру. Этот термин появляется в тексте Уильяма Бетца 1929 года «Алгебра сегодня» , где он утверждает: ^[2]

... первые сроки, внешние условия, внутренние условия, последние условия. (Правило, изложенное выше, можно также запомнить по слову ФОЛЬГА, которое обозначается первыми буквами слов первый, внешний, внутренний, последний.)

Уильям Бетц в то время принимал активное участие в движении за реформу математики в Соединенных Штатах, написал много текстов по темам элементарной математики и «посвятил свою жизнь улучшению математического образования». ^[3]

Многие студенты и преподаватели в США теперь используют слово «FOIL» как глагол, означающий «расширять произведение двух биномов». ^[4]

Примеры

Этот метод чаще всего используется для умножения линейных биномов. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

Если какой-либо бином включает вычитание , соответствующие члены должны быть инвертированы . Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

Распределительный закон

Метод FOIL эквивалентен двухэтапному процессу, включающему распределительный закон: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

На первом этапе ( c + d ) распределяется по сложению в первом биноме. На втором этапе распределительный закон используется для упрощения каждого из двух терминов. Обратите внимание, что этот процесс включает в себя в общей сложности три применения распределительного свойства. В отличие от метода FOIL, метод, использующий дистрибутивность, можно легко применить к продуктам с большим количеством членов, таких как трехчлены и выше.

Обратная ФОЛЬГА

Правило FOIL преобразует произведение двух биномов в сумму четырех (или меньше, если затем объединить одинаковые члены ) мономов . ^[6] Обратный процесс называется факторингом или факторизацией . В частности, если приведенное выше доказательство прочитать в обратном порядке, оно иллюстрирует метод, называемый факторингом по группировке .

Стол как альтернатива ФОЛЬГЕ

Инструмент визуальной памяти может заменить мнемонику FOIL для пары полиномов с любым количеством членов. Составьте таблицу с членами первого многочлена на левом краю и членами второго на верхнем краю, затем заполните таблицу произведениями умножения. Таблица, эквивалентная правилу FOIL, выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

В случае, если это полиномы ( ax + b )( cx + d ) , члены заданной степени находятся сложением по антидиагоналям :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

так ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

Чтобы умножить ( a + b + c )( w + x + y + z ) , таблица будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

Сумма записей таблицы представляет собой произведение полиномов. Таким образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

Аналогично, чтобы умножить ( ax ² + bx + c )( dx ³ + ex ² + fx + g ) , пишут ту же таблицу:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}$

и суммы по антидиагоналям:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

Обобщения

Правило FOIL не может быть напрямую применено к разложению произведений с более чем двумя множимыми или множимыми с более чем двумя слагаемыми. Однако применение ассоциативного закона и рекурсивного фольгирования позволяет расширять такие произведения. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

Альтернативные методы, основанные на распределении, не используют правило FOIL, но их легче запомнить и применять. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Биномиальная теорема
• Факторизация

Рекомендации

1. «Упрощение с помощью уроков метода FOIL» . Проверено 10 мая 2018 г.
2. Бетц, Уильям (1929), Алгебра сегодня (том 1) , Джинн и компания, стр. 291.
3. WDR (ноябрь 1937 г.), «Обзор алгебры на сегодняшний день: первый год», Учитель математики , 30 (7), Национальный совет по преподаванию математики: 348.
4. МакКри, Эмма (01 мая 2019 г.). «Каждый урок математики важен»: шесть принципов, которые помогут добиться хорошего преподавания математики (серия «Каждый урок имеет значение»). ISBN издательства Crown House Publishing Ltd. 978-1-78583-421-9.
5. Харе, Апурва; Лаховская, Анна (2015). Красиво, просто, точно, безумно: математика в реальном мире. Издательство Йельского университета. п. 3. ISBN 978-0-300-19089-2. Иногда его называют методом «ФОЛЬГИ» — по сути, это просто дважды применяемый закон распределения..
6. Киркланд, Карла С.; Кливленд, Чан (29 января 2020 г.). Praxis Core для чайников с практическими онлайн-тестами. Джон Уайли и сыновья. п. 78. ИСБН 978-1-119-62047-1. ...обратный FOIL может привести вас в противоположном направлении от одного выражения к двухчленным выражениям, умноженным друг на друга. Это форма факторинга.

дальнейшее чтение

• Стидж, Рэй; Бейли, Керри (1997). Очерк теории и проблем промежуточной алгебры Шаума . Серия набросков Шаума. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-060839-9.