Вычитание (обозначаемое знаком минус – ) является одной из четырёх арифметических операций наряду со сложением , умножением и делением . Вычитание — это операция, представляющая собой удаление объектов из коллекции. [1] Например, на соседнем рисунке 5–2 персика — то есть 5 персиков, из которых 2 убраны, в результате чего получается 3 персика. Следовательно, разница 5 и 2 равна 3; то есть 5 - 2 = 3 . Хотя вычитание в первую очередь связано с натуральными числами в арифметике , оно также может представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных типов объектов, включая отрицательные числа , дроби , иррациональные числа , векторы , десятичные дроби, функции и матрицы. [2]
В некотором смысле вычитание является обратным действием сложения. То есть c = a − b тогда и только тогда, когда c + b = a . Прописью: разность двух чисел — это число, которое дает первое при сложении со вторым.
Вычитание следует нескольким важным закономерностям. Он антикоммутативен , то есть изменение порядка меняет знак ответа. Оно также не является ассоциативным , что означает, что при вычитании более двух чисел порядок выполнения вычитания имеет значение. Поскольку — это аддитивная единица , ее вычитание не меняет числа. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам, касающимся связанных операций, таких как сложение и умножение . Все эти правила можно доказать , начиная с вычитания целых чисел и обобщения действительных чисел и далее. Общие бинарные операции , которые следуют этим шаблонам, изучаются в абстрактной алгебре .
В теории вычислимости , учитывая, что вычитание не является четко определенным над натуральными числами , операции между числами фактически определяются с использованием «усеченного вычитания» или монуса . [3]
Вычитание обычно записывается со знаком минус «-» между членами; то есть в инфиксной записи . Результат выражается знаком равенства . Например,
Бывают также ситуации, когда вычитание «понятно», даже если символ не появляется :
Формально вычитаемое число называется вычитаемым , [ 4] [5], а число, из которого оно вычитается, — вычитаемым . [4] [5] Результат — это разница . [4] [5] [2] [6] То есть,
Вся эта терминология происходит от латыни . «Вычитание» — английское слово, происходящее от латинского глагола subtrahere , который, в свою очередь, представляет собой соединение слов sub «из-под» и trahere «тянуть». Таким образом, вычитать — значит рисовать снизу или отнимать . [7] Использование суффикса герундия -nd приводит к «вычитанию», «вещи, которую нужно вычесть». [а] Точно так же от minuere «уменьшать или уменьшать» получается «minuend», что означает «вещь, которую нужно уменьшить».
Представьте себе отрезок длины b с левым концом, обозначенным a, и правым концом, обозначенным c . Начиная с a , нужно сделать b шагов вправо, чтобы достичь c . Это движение вправо моделируется математически сложением :
Из c нужно сделать b шагов влево , чтобы вернуться в a . Это движение влево моделируется вычитанием:
Теперь отрезок прямой, помеченный цифрами 1 , 2 и 3 . Из позиции 3 не нужно делать никаких шагов влево, чтобы остаться в позиции 3, поэтому 3 − 0 = 3 . Чтобы добраться до позиции 1, нужно сделать 2 шага влево, поэтому 3 − 2 = 1 . Эта картина недостаточна для описания того, что произойдет после прохождения трех шагов влево от позиции 3. Чтобы представить такую операцию, линию необходимо продлить.
Чтобы вычесть произвольные натуральные числа , нужно начать со строки, содержащей все натуральные числа (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). От 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3 − 3 = 0 . Но 3−4 всё равно недействительно, так как снова выходит за пределы строки. Натуральные числа не являются полезным контекстом для вычитания.
Решение состоит в том, чтобы рассмотреть строку целых чисел (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, чтобы добраться до −1, потребуется сделать 4 шага влево от 3:
Вычитание натуральных чисел не является закрытым : разность не является натуральным числом, если вычитаемое не больше или равно вычитаемому. Например, из 11 нельзя вычесть 26, чтобы получить натуральное число. В таком случае используется один из двух подходов:
Поле действительных чисел можно определить, указав только две двоичные операции: сложение и умножение, а также унарные операции , дающие аддитивные и мультипликативные обратные операции. Вычитание одного действительного числа (вычитаемого) из другого (вычитаемого) можно тогда определить как сложение уменьшаемого и аддитивного обратного вычитаемого числа. Например, 3 − π = 3 + (− π ) . Альтернативно, вместо того, чтобы требовать этих унарных операций, в качестве базовых можно взять бинарные операции вычитания и деления .
Вычитание является антикоммутативным , что означает, что если поменять местами члены разности слева направо, результат будет отрицательным по сравнению с исходным результатом. Символически, если a и b — любые два числа, то
Вычитание неассоциативно , что возникает, когда кто-то пытается определить повторяющееся вычитание. В целом выражение
можно определить как ( a − b ) − c или a − ( b − c ), но эти две возможности приводят к разным ответам. Чтобы решить эту проблему, необходимо установить порядок операций , при котором разные порядки дают разные результаты.
В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a − 1) является наибольшим целым числом, меньшим, чем a , также известным как предшественник a .
При вычитании двух чисел с единицами измерения, такими как килограммы или фунты , они должны иметь одну и ту же единицу измерения. В большинстве случаев разница будет иметь ту же единицу измерения, что и исходные числа.
Об изменениях в процентах можно сообщать как минимум в двух формах: процентном изменении и изменении в процентных пунктах . Процентное изменение представляет собой относительное изменение между двумя величинами в процентах, тогда как изменение в процентном пункте — это просто число, полученное путем вычитания двух процентов. [8] [9] [10]
В качестве примера предположим, что 30% изделий, изготовленных на заводе, бракованы. Спустя полгода 20% виджетов оказались бракованными. Процентное изменение составляет20% − 30%/30%= −1/3= −33+1/3%, а изменение процентных пунктов составляет −10 процентных пунктов.
Метод дополнений — это метод, используемый для вычитания одного числа из другого, используя только сложение положительных чисел. Этот метод обычно использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах .
Чтобы вычесть двоичное число y (вычитаемое) из другого числа x (вычитаемое), к x добавляется дополнение до единиц y , а к сумме добавляется единица. Затем первая цифра «1» результата отбрасывается.
Метод дополнений особенно полезен в двоичной системе счисления (основание 2), поскольку дополнение до единиц очень легко получить путем инвертирования каждого бита (замены «0» на «1» и наоборот). А добавление 1 для получения дополнения до двух можно выполнить путем имитации переноса в младший бит. Например:
01100100 (x, равно десятичному 100)- 00010110 (y, равно десятичному 22)
становится суммой:
01100100 (х)+ 11101001 (дополнение к единице y)+ 1 (чтобы получить дополнение до двух)—————————— 101001110
Удаление начальной «1» дает ответ: 01001110 (равно десятичному 78).
Методы обучения вычитанию в начальной школе различаются от страны к стране, и внутри страны в разное время применяются разные методы. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционная математика , в конце 1-го курса (или в течение 2-го года) студентам преподают определенный процесс для использования с многозначными целыми числами, который расширяется либо на четвертом, либо на четвертом курсе. В пятом классе включить десятичные представления дробных чисел.
Практически во всех американских школах сейчас преподают метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм декомпозиции) и систему разметки, называемую костылями. [11] [12] Хотя метод заимствования был известен и опубликован в учебниках ранее, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, в котором утверждалось, что костыли были полезны для учащихся, использующих этот метод. [13] Эта система быстро завоевала популярность, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.
Некоторые европейские школы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствований. Есть также костыли (маркировки для улучшения памяти), которые различаются в зависимости от страны. [14] [15]
Оба эти метода разбивают вычитание на процесс вычитания одной цифры по разряду. Вычитание вычитаемого, начиная с младшей значащей цифры:
из минуса
где каждый s i и m i является цифрой, продолжается записью m 1 - s 1 , m 2 - s 2 и т. д. до тех пор, пока s i не превышает m i . В противном случае m i увеличивается на 10, и какая-то другая цифра изменяется, чтобы исправить это увеличение. Американский метод корректирует, пытаясь уменьшить уменьшаемую цифру m i +1 на единицу (или продолжая заимствование влево до тех пор, пока не появится ненулевая цифра, из которой можно заимствовать). Европейский метод исправляет, увеличивая вычитаемую цифру s i +1 на единицу.
Пример: 704–512.
Сокращаемое — 704, вычитаемое — 512. Сокращаемые цифры — m 3 = 7 , m 2 = 0 и m 1 = 4 . Вычитаемые цифры: s 3 = 5 , s 2 = 1 и s 1 = 2 . Начиная с единицы, 4 не меньше 2, поэтому разница 2 записывается на месте единицы результата. В разряде десятков 0 меньше 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разница с 1, равная 9, записывается в разряде десятков. Американский метод корректирует увеличение десяти путем уменьшения цифры в разряде сотен на единицу. То есть 7 зачеркивается и заменяется 6. Затем вычитание продолжается в разряде сотен, где 6 не меньше 5, поэтому разница записывается в разряде сотен результата. Мы закончили, результат — 192.
Австрийский метод не уменьшает 7 до 6, а увеличивает вычитаемую цифру сотен на единицу. Рядом с этой цифрой или под ней делается небольшая отметка (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, когда задается вопрос, какое число, увеличенное на 1 и добавленное к нему 5, дает 7. Ответ — 1, и он записывается в разряде сотен результата.
Есть еще одна тонкость: в американском методе ученик всегда пользуется мысленной таблицей вычитания. Австрийский метод часто побуждает ученика мысленно использовать таблицу сложения в обратном порядке. В приведенном выше примере вместо того, чтобы прибавлять 1 к 5, получать 6 и вычитать это из 7, ученика просят подумать, какое число, увеличенное на 1 и добавленное к нему 5, дает 7.
Пример: [ нужна ссылка ]
Пример: [ нужна ссылка ]
В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры над ней, начиная справа налево. Если верхнее число слишком мало, чтобы из него можно было вычесть нижнее, прибавляем к нему 10; эта 10 «позаимствована» у верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию по мере необходимости, пока не будет вычтена каждая цифра. Пример: [ нужна ссылка ]
Вариант американского метода, в котором все заимствования выполняются перед вычитанием. [16]
Пример:
Метод частичных разностей отличается от других методов вертикального вычитания тем, что не происходит заимствования или переноса. Вместо них ставятся знаки плюс или минус в зависимости от того, больше или меньше вычитаемое вычитаемое. Сумма частных разностей равна общей разнице. [17]
Пример:
Вместо того, чтобы находить разницу по цифрам, можно подсчитать числа между вычитаемым и вычитаемым. [18]
Пример: 1234 − 567 = можно найти, выполнив следующие действия:
Сложите значения каждого шага, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .
Другой метод, полезный для ментальной арифметики , — разбить вычитание на небольшие этапы. [19]
Пример: 1234 − 567 = можно решить следующим образом:
Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание одного и того же числа из уменьшаемого и вычитаемого не меняет ответ. Просто прибавляется сумма, необходимая для получения нулей в вычитаемом. [20]
Пример:
«1234 − 567 =" можно решить следующим образом: