В элементарной математике числовая прямая — это изображение прямой линии , которая служит пространственным представлением чисел , обычно градуированной как линейка с определенной начальной точкой, представляющей число ноль, и равномерно расположенными отметками в обоих направлениях, представляющими целые числа , которые, как предполагается, простираются бесконечно. Метафорическая ассоциация между числами и точками на прямой связывает арифметические операции над числами с геометрическими отношениями между точками и обеспечивает концептуальную основу для изучения математики.
Числовая прямая изначально используется для обучения сложению и вычитанию целых чисел, особенно отрицательных . По мере продвижения учеников на ней можно размещать больше видов чисел, включая дроби , десятичные дроби , квадратные корни и трансцендентные числа , такие как постоянная окружности π : Каждая точка числовой прямой соответствует уникальному действительному числу , а каждое действительное число — уникальной точке. [1]
Используя числовую прямую, числовые понятия можно интерпретировать геометрически, а геометрические понятия — численно. Неравенство между числами соответствует отношению левого или правого порядка между точками. Числовые интервалы связаны с геометрическими сегментами прямой. Операции и функции над числами соответствуют геометрическим преобразованиям прямой. Сворачивание прямой в окружность связывает модульную арифметику с геометрическим составом углов . Маркировка прямой логарифмически расположенными делениями связывает умножение и деление с геометрическими переносами , принципом, лежащим в основе логарифмической линейки . В аналитической геометрии координатные оси — это числовые линии, которые связывают точки в геометрическом пространстве с кортежами чисел, поэтому геометрические фигуры можно описывать с помощью числовых уравнений , а числовые функции можно изображать графически .
В высшей математике числовая прямая обычно называется действительной прямой или действительной числовой прямой и является геометрической прямой, изоморфной множеству действительных чисел , с которым ее часто объединяют; действительные числа и действительная прямая обычно обозначаются R или . Действительная прямая является одномерным действительным координатным пространством , поэтому иногда обозначается R 1 при сравнении с многомерными пространствами. Действительная прямая является одномерным евклидовым пространством, использующим разность между числами для определения расстояния между точками на прямой. Ее также можно рассматривать как векторное пространство , метрическое пространство , топологическое пространство , пространство меры или линейный континуум . Действительная прямая может быть вложена в комплексную плоскость , используемую как двумерное геометрическое представление комплексных чисел .
Первое упоминание о числовой прямой, используемой для выполнения операций, встречается в «Трактате по алгебре» Джона Уоллиса ( 1685). [2] В своем трактате Уоллис описывает сложение и вычитание на числовой прямой с точки зрения движения вперед и назад, используя метафору идущего человека.
Однако более раннее описание без упоминания операций можно найти в работе Джона Непера «Описание замечательной таблицы логарифмов» (1616), где значения от 1 до 12 показаны в ряд слева направо. [3]
Вопреки распространенному мнению, в оригинальной работе Рене Декарта «La Géométrie» нет числовой прямой, определяемой так, как мы ее используем сегодня, хотя в ней используется система координат. В частности, работа Декарта не содержит конкретных чисел, отображенных на линии, а только абстрактные величины. [4]
Числовая прямая обычно представляется горизонтальной , но в декартовой системе координат вертикальная ось (ось Y) также является числовой прямой. [5] Согласно одному соглашению, положительные числа всегда лежат справа от нуля, отрицательные числа всегда лежат слева от нуля, а наконечники стрелок на обоих концах линии призваны указывать на то, что линия продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях. Другое соглашение использует только один наконечник стрелок, который указывает направление, в котором растут числа. [5] Линия продолжается бесконечно в положительном и отрицательном направлениях в соответствии с правилами геометрии, которые определяют линию без конечных точек как бесконечную линию , линию с одной конечной точкой как луч , а линию с двумя конечными точками как отрезок прямой .
Если определенное число находится правее на числовой прямой, чем другое число, то первое число больше второго (эквивалентно, второе меньше первого). Расстояние между ними равно величине их разности, то есть оно измеряет первое число минус второе, или, что эквивалентно, абсолютное значение второго числа минус первое. Получение этой разности есть процесс вычитания .
Так, например, длина отрезка прямой между 0 и некоторым другим числом представляет собой величину последнего числа.
Два числа можно сложить , «подняв» длину от 0 до одного из чисел и снова сложив ее так, чтобы конец, на котором был 0, поместили поверх другого числа.
Два числа можно умножить, как в этом примере: Чтобы умножить 5 × 3, обратите внимание, что это то же самое, что 5 + 5 + 5, поэтому возьмите длину от 0 до 5 и поместите ее справа от 5, а затем возьмите эту длину снова и поместите ее справа от предыдущего результата. Это дает результат, который представляет собой 3 объединенные длины по 5 каждая; поскольку процесс заканчивается на 15, мы обнаруживаем, что 5 × 3 = 15.
Деление можно выполнить, как в следующем примере: Чтобы разделить 6 на 2, то есть узнать, сколько раз 2 входит в 6, обратите внимание, что длина от 0 до 2 лежит в начале длины от 0 до 6; возьмите бывшую длину и снова положите ее справа от ее первоначального положения, так чтобы конец, который раньше был в 0, теперь был в 2, а затем снова переместите длину вправо от ее последней позиции. Это помещает правый конец длины 2 в правый конец длины от 0 до 6. Поскольку три длины 2 заполнили длину 6, 2 входит в 6 три раза (то есть 6 ÷ 2 = 3).
Участок числовой прямой между двумя числами называется интервалом . Если участок включает оба числа, то он называется замкнутым интервалом, а если он исключает оба числа, то он называется открытым интервалом. Если он включает одно из чисел, но не включает другое, то он называется полуоткрытым интервалом.
Все точки, простирающиеся в одном направлении от определенной точки, вместе называются лучом . Если луч включает в себя определенную точку, то это замкнутый луч; в противном случае это открытый луч.
На числовой прямой расстояние между двумя точками равно единице длины тогда и только тогда, когда разность представленных чисел равна 1. Возможны и другие варианты.
Одним из наиболее распространенных вариантов является логарифмическая шкала , которая представляет собой представление положительных чисел на линии таким образом, что расстояние между двумя точками равно единице длины, если отношение представленных чисел имеет фиксированное значение, обычно 10. В такой логарифмической шкале начало координат представляет 1; один дюйм вправо имеет 10, один дюйм вправо от 10 имеет 10×10 = 100 , затем 10×100 = 1000 = 10 3 , затем 10×1000 = 10 000 = 10 4 и т. д. Аналогично, один дюйм влево от 1 имеет 1/10 = 10 –1 , затем 1/100 = 10 –2 и т. д.
Этот подход полезен, когда требуется представить на одном рисунке значения с очень разным порядком величины . Например, требуется логарифмическая шкала для одновременного представления размера различных тел, существующих во Вселенной , как правило, фотона , электрона , атома , молекулы , человека , Земли , Солнечной системы , галактики и видимой Вселенной.
Логарифмические шкалы используются в логарифмических линейках для умножения или деления чисел путем сложения или вычитания длин по логарифмическим шкалам.
Линия, проведенная через начало координат под прямым углом к действительной числовой прямой, может быть использована для представления мнимых чисел . Эта линия, называемая мнимой прямой , продолжает числовую прямую до плоскости комплексных чисел , с точками, представляющими комплексные числа .
В качестве альтернативы, одна действительная числовая линия может быть нарисована горизонтально для обозначения возможных значений одного действительного числа, обычно называемого x , а другая действительная числовая линия может быть нарисована вертикально для обозначения возможных значений другого действительного числа, обычно называемого y . Вместе эти линии образуют то, что известно как декартова система координат , и любая точка на плоскости представляет значение пары действительных чисел. Кроме того, декартова система координат сама по себе может быть расширена путем визуализации третьей числовой линии, «выходящей из экрана (или страницы)», измеряющей третью переменную, называемую z . Положительные числа находятся ближе к глазам зрителя, чем экран, в то время как отрицательные числа находятся «за экраном»; большие числа находятся дальше от экрана. Тогда любая точка в трехмерном пространстве, в котором мы живем, представляет значения трех действительных чисел.
Действительная линия является линейным континуумом при стандартном упорядочении < . В частности, действительная линия линейно упорядочена < , и это упорядочение является плотным и имеет свойство наименьшей верхней границы .
В дополнение к вышеперечисленным свойствам, действительная прямая не имеет максимального или минимального элемента . Она также имеет счетное плотное подмножество , а именно множество рациональных чисел . Теорема гласит, что любой линейный континуум со счетным плотным подмножеством и без максимального или минимального элемента является порядково изоморфным действительной прямой.
Действительная прямая также удовлетворяет счетному условию цепи : любая совокупность взаимно непересекающихся , непустых открытых интервалов в R счетна. В теории порядка известная проблема Суслина спрашивает, является ли каждый линейный континуум, удовлетворяющий счетному условию цепи, который не имеет максимального или минимального элемента, обязательно порядково изоморфным R. Было показано, что это утверждение не зависит от стандартной аксиоматической системы теории множеств, известной как ZFC .
Действительная прямая образует метрическое пространство , в котором функция расстояния задается абсолютной разностью:
Метрический тензор , очевидно, является 1-мерной евклидовой метрикой . Поскольку n -мерная евклидова метрика может быть представлена в матричной форме как единичная матрица размером n на n , метрика на действительной прямой — это просто единичная матрица размером 1 на 1, т. е. 1.
Если p ∈ R и ε > 0 , то ε - шар в R с центром в точке p — это просто открытый интервал ( p − ε , p + ε ) .
Эта вещественная прямая имеет несколько важных свойств как метрическое пространство:
.png/1280px-Real_Projective_Line_(RP1).png)
Действительная прямая несет стандартную топологию , которая может быть введена двумя различными эквивалентными способами. Во-первых, поскольку действительные числа полностью упорядочены , они несут упорядоченную топологию . Во-вторых, действительные числа наследуют метрическую топологию из метрики, определенной выше. Упорядоченная топология и метрическая топология на R совпадают. Как топологическое пространство, действительная прямая гомеоморфна открытому интервалу (0, 1) .
Действительная прямая тривиально является топологическим многообразием размерности 1. С точностью до гомеоморфизма это одно из всего лишь двух различных связных 1-многообразий без границы , другое — окружность . На ней также имеется стандартная дифференцируемая структура, что делает ее дифференцируемым многообразием . (С точностью до диффеоморфизма существует только одна дифференцируемая структура, которую поддерживает топологическое пространство.)
Действительная прямая является локально компактным пространством и паракомпактным пространством , а также счетно-секундным и нормальным . Она также линейно связна , и, следовательно, также связна , хотя ее можно разорвать, удалив любую точку. Действительная прямая также стягиваема , и, как таковая, все ее гомотопические группы и редуцированные группы гомологии равны нулю.
Как локально компактное пространство, действительная прямая может быть компактифицирована несколькими различными способами. Одноточечная компактификация R представляет собой окружность (а именно, действительную проективную прямую ), а дополнительную точку можно рассматривать как беззнаковую бесконечность. В качестве альтернативы действительная прямая имеет два конца , и полученная конечная компактификация является расширенной действительной прямой [−∞, +∞] . Существует также компактификация Стоуна–Чеха действительной прямой, которая включает добавление бесконечного числа дополнительных точек.
В некоторых контекстах полезно размещать другие топологии на множестве действительных чисел, такие как топология нижнего предела или топология Зарисского . Для действительных чисел последняя совпадает с топологией конечного дополнения .
Действительная прямая — это векторное пространство над полем R действительных чисел (то есть над собой) размерности 1. Она имеет обычное умножение в качестве внутреннего произведения , что делает ее евклидовым векторным пространством . Норма, определяемая этим внутренним произведением, — это просто абсолютное значение .
Действительная прямая несет каноническую меру , а именно меру Лебега . Эта мера может быть определена как завершение меры Бореля, определенной на R , где мера любого интервала является длиной интервала.
Мера Лебега на вещественной прямой является одним из простейших примеров меры Хаара на локально компактной группе .
Когда A — унитальная вещественная алгебра , произведение вещественных чисел на 1 — вещественная прямая внутри алгебры. Например, в комплексной плоскости z = x + i y подпространство { z : y = 0} — вещественная прямая. Аналогично, алгебра кватернионов
имеет действительную линию в подпространстве { q : x = y = z = 0 }.
Когда действительная алгебра является прямой суммой , то сопряжение на A вводится отображением подпространства V. Таким образом, действительная прямая состоит из неподвижных точек сопряжения.
Для размерности n квадратные матрицы образуют кольцо , имеющее действительную строку в виде действительных произведений с единичной матрицей в кольце.
Медиафайлы по теме Числовые линии на Wikimedia Commons
