В математике порядковая топология — это определенная топология , которая может быть определена на любом полностью упорядоченном множестве . Это естественное обобщение топологии действительных чисел на произвольные полностью упорядоченные множества.
Если X — полностью упорядоченное множество, топология порядка на X порождается подбазой « открытых лучей».
для всех a, b в X. Если X имеет хотя бы два элемента, это эквивалентно тому, что открытые интервалы
вместе с вышеуказанными лучами образуют основу топологии порядка. Открытые множества в X — это множества, представляющие собой объединение (возможно, бесконечного числа) таких открытых интервалов и лучей.
Топологическое пространство X называется упорядочиваемым или линейно упорядочиваемым [1] , если существует такой полный порядок его элементов, что порядковая топология, индуцированная этим порядком, и заданная топология на X совпадают. Порядковая топология превращает X в совершенно нормальное хаусдорфово пространство .
Стандартные топологии на R , Q , Z и N являются топологиями порядка.
Если Y — подмножество X , X — полностью упорядоченное множество, то Y наследует полный порядок от X. Таким образом, множество Y имеет топологию порядка, топологию индуцированного порядка . Как подмножество X , Y также имеет топологию подпространства . Топология подпространства всегда не менее тонка , чем топология индуцированного порядка, но в целом они не одинаковы.
Например, рассмотрим подмножество Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ N рациональных чисел . В топологии подпространства одноэлементное множество {−1} открыто в Y , но в топологии индуцированного порядка любое открытое множество, содержащее −1, должно содержать все элементы пространства, кроме конечного числа.
Хотя топология подпространства Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ N в разделе выше показано, что она не порождается индуцированным порядком на Y , тем не менее, это топология порядка на Y ; действительно, в топологии подпространства каждая точка изолирована (т. е. одноэлементный элемент {y} открыт в Y для каждого y из Y ), поэтому топология подпространства является дискретной топологией на Y (топология, в которой каждое подмножество Y является открытым множество), а дискретная топология на любом множестве является порядковой топологией. Чтобы определить полный порядок на Y , который генерирует дискретную топологию на Y , просто измените индуцированный порядок на Y , определив -1 как наибольший элемент Y и в противном случае сохраняя тот же порядок для других точек, так что в этом новом порядке (назовем это, скажем, < 1 ), у нас есть 1/ n < 1 −1 для всех n ∈ N . Тогда в топологии порядка на Y , порожденной < 1 , каждая точка Y изолирована в Y .
Мы хотим определить здесь подмножество Z линейно упорядоченного топологического пространства X такое, что никакой полный порядок в Z не порождает топологию подпространства на Z , так что топология подпространства не будет порядковой топологией, даже если она является топологией подпространства пространства. топология которого является топологией порядка.
Пусть в настоящую очередь. Тот же аргумент, что и раньше, показывает, что топология подпространства на Z не равна топологии индуцированного порядка на Z, но можно показать, что топология подпространства на Z не может быть равна какой-либо топологии порядка на Z.
Далее следует аргумент. Предположим от противного, что существует некоторый строгий тотальный порядок < на Z такой, что топология порядка, порожденная <, равна топологии подпространства на Z (обратите внимание, что мы не предполагаем, что < является индуцированным порядком на Z, а скорее произвольно заданный полный порядок на Z, порождающий топологию подпространства). В дальнейшем обозначение интервала следует интерпретировать относительно отношения <. Кроме того, если A и B являются множествами, это означает, что для каждого a в A и b в B .
Пусть M = Z \ {−1} — единичный интервал. М подключен . _ Если m , n ∈ M и m < −1 < n , то и отделим M , противоречие. По аналогичным соображениям M плотно само по себе и не имеет пробелов относительно <. Таким образом, M < {−1} или {−1} < M . Предположим без ограничения общности, что {−1} < M . Поскольку {−1} открыто в Z , существует некоторая точка p в M такая, что интервал (−1, p ) пуст. Поскольку {−1} < M , мы знаем, что −1 — единственный элемент Z , который меньше p , поэтому p — минимум M. Тогда M \ { p } = A ∪ B , где A и B — непустые открытые и непересекающиеся подмножества M , заданные интервалами вещественной прямой (0, p ) и ( p ,1) соответственно. Обратите внимание, что границы A и B являются унитарными для p . Предполагая без ограничения общности a в A и b в B такие, что a < b , поскольку в M нет пробелов и оно плотное, существует граничная точка между A и B в интервале ( a , b ) (можно возьмем наивысший из множества элементов x из A такого, что [ a , x ] находится в A ). Это противоречие, поскольку единственная граница находится строго под .
Можно привести несколько вариантов топологии порядка:
Топологии левого и правого порядка можно использовать для получения контрпримеров в общей топологии. Например, топология левого или правого порядка на ограниченном множестве представляет собой пример компакта, не являющегося Хаусдорфовым.
Топология левого порядка — это стандартная топология, используемая для многих теоретико-множественных целей в булевой алгебре . [ нужны разъяснения ]
Для любого порядкового числа λ можно рассмотреть пространства порядковых чисел
вместе с топологией естественного порядка. Эти пространства называются порядковыми пространствами . (Обратите внимание, что в обычной теоретико-множественной конструкции порядковых чисел имеем λ = [0, λ ) и λ + 1 = [0, λ ]). Очевидно, что эти пространства представляют наибольший интерес, когда λ — бесконечный ординал; в противном случае (для конечных ординалов) топология порядка — это просто дискретная топология .
Когда λ = ω (первый бесконечный ординал), пространство [0,ω) представляет собой просто N с обычной (пока дискретной) топологией, а [0,ω] — одноточечная компактификация N .
Особый интерес представляет случай, когда λ = ω 1 , множество всех счетных ординалов и первый несчетный ординал . Элемент ω 1 является предельной точкой подмножества [0,ω 1 ), хотя ни одна последовательность элементов из [0,ω 1 ) не имеет элемента ω 1 в качестве своего предела. В частности, [0,ω 1 ] не является счетным в первую очередь . Однако подпространство [0,ω 1 ) является счетным, поскольку единственной точкой в [0,ω 1 ] без счетной локальной базы является ω 1 . Некоторые дополнительные свойства включают в себя
Любое порядковое число можно превратить в топологическое пространство , наделив его топологией порядка (поскольку, будучи хорошо упорядоченным, порядковый номер является, в частности, полностью упорядоченным ): при отсутствии указаний на обратное всегда именно такая топология порядка имеется в виду, когда ординал рассматривается как топологическое пространство. (Обратите внимание: если мы готовы принять собственный класс в качестве топологического пространства, то класс всех ординалов также является топологическим пространством для порядковой топологии.)
Набор предельных точек ординала α — это в точности набор предельных ординалов , меньших, чем α . Последующие ординалы (и ноль) меньше α являются изолированными точками в α . В частности, конечные ординалы и ω являются дискретными топологическими пространствами, и никакой ординал за их пределами не является дискретным. Ординал α компактен как топологическое пространство тогда и только тогда, когда α является либо последующим ординалом , либо нулем.
Замкнутые множества предельного ординала α — это замкнутые множества в том смысле, который мы уже определили, а именно те, которые содержат предельный ординал всякий раз, когда они содержат все достаточно большие ординалы ниже него.
Любой порядковый номер, конечно, является открытым подмножеством любого дальнейшего порядкового номера. Мы также можем определить топологию ординалов следующим индуктивным способом: 0 — пустое топологическое пространство, α +1 получается одноточечной компактификацией α , а для δ предельный ординал, δ снабжен индуктивным предельная топология. Обратите внимание, что если α является порядковым ординалом-преемником, то α компактен, и в этом случае его одноточечная компактификация α +1 представляет собой дизъюнктное объединение α и точки.
В топологических пространствах все ординалы хаусдорфовы и даже нормальны . Они также полностью несвязны (компоненты связности — это точки), разбросаны (каждое непустое подпространство имеет изолированную точку; в этом случае достаточно взять наименьший элемент), нульмерны (топология имеет открытозамкнутый базис : здесь напишите открытый интервал ( β , γ ) как объединение открытых интервалов ( β , γ '+1)=[ β +1, γ '] для γ '< γ ). Однако они, вообще говоря, не являются экстремально несвязными (существуют открытые множества, например четные числа из ω, замыкание которых не открыто).
Топологические пространства ω 1 и его преемники ω 1 +1 часто используются в качестве хрестоматийных примеров несчетных топологических пространств. Например, в топологическом пространстве ω 1 +1 элемент ω 1 находится в замыкании подмножества ω 1 , хотя ни одна последовательность элементов из ω 1 не имеет элемента ω 1 в качестве своего предела: элемент из ω 1 является счетное множество; для любой последовательности таких множеств объединение этих множеств является объединением счетного числа счетных множеств, поэтому все еще счетных; это объединение является верхней границей элементов последовательности и, следовательно, пределом последовательности, если она есть.
Пространство ω 1 является счетным в первую очередь , но не счетным во вторую очередь , а ω 1 +1 не обладает ни одним из этих двух свойств, несмотря на то, что оно компактно . Также стоит отметить, что любая непрерывная функция от ω 1 до R ( действительная линия ) в конечном итоге является постоянной: поэтому компактификация Стоуна–Чеха ω 1 равна ω 1 +1, так же, как и ее одноточечная компактификация (в резком контрасте до ω, чья компактификация Стоуна–Чеха намного больше , чем ω).
Если α — предельный ординал, а X — множество, α- индексированная последовательность элементов X просто означает функцию от α до X. Это понятие, трансфинитная последовательность или порядково-индексная последовательность , является обобщением понятия последовательности . Обычная последовательность соответствует случаю α = ω.
Если X является топологическим пространством, мы говорим, что α -индексированная последовательность элементов X сходится к пределу x , когда она сходится как сеть , другими словами, когда для любой окрестности U из x существует порядковый номер β < α такой, что что x ι находится в U для всех ι ≥ β .
Порядковые индексы более эффективны, чем обычные (ω-индексированные) последовательности, для определения пределов топологии: например, ω 1 ( омега-один , набор всех счетных порядковых чисел и наименьшее неисчисляемое порядковое число) является пределом. точка ω 1 +1 (поскольку это предельный ординал), и, действительно, это предел ω 1 -индексированной последовательности, которая отображает любой ординал, меньший, чем ω 1 , в себя: однако это не предел любого обычная (ω-индексированная) последовательность в ω 1 , поскольку любой такой предел меньше или равен объединению ее элементов, которое является счетным объединением счетных множеств и, следовательно, само счетно.
Однако порядково-индексированные последовательности недостаточно мощны, чтобы заменить сети (или фильтры ) в целом: например, на тихоновской планке (пространстве произведения ) угловая точка является предельной точкой (она находится в замыкании) открытого subset , но это не предел порядкового индекса.
![{\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e469e57aa87041df20c6275a3b21c0795321ce7)
