Топологическое многообразие

Тип топологического пространства

В топологии топологическое многообразие — это топологическое пространство , локально напоминающее вещественное n - мерное евклидово пространство . Топологические многообразия — важный класс топологических пространств, имеющий приложения в математике. Все многообразия являются топологическими многообразиями по определению. Другие типы многообразий образуются путем добавления структуры к топологическому многообразию (например, дифференцируемые многообразия — это топологические многообразия, снабженные дифференциальной структурой ). Каждое многообразие имеет «базовое» топологическое многообразие, полученное простым «забыванием» добавленной структуры. ^[1] Однако не каждое топологическое многообразие может быть снабжено определенной дополнительной структурой. Например, многообразие E8 — это топологическое многообразие, которое не может быть снабжено дифференцируемой структурой.

Формальное определение

Топологическое пространство X называется локально евклидовым, если существует неотрицательное целое число n такое, что каждая точка в X имеет окрестность , гомеоморфную действительному n - пространству R ⁿ . ^[2]

Топологическое многообразие — это локально евклидово хаусдорфово пространство . Обычно к топологическим многообразиям предъявляют дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпактные ^[3] или секундно-счетные ^[2] .

В оставшейся части этой статьи многообразие будет означать топологическое многообразие. N-многообразие будет означать топологическое многообразие, такое, что каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную R ⁿ .

Примеры

н-многообразия

• Действительное координатное пространство R ⁿ представляет собой n -многообразие.
• Любое дискретное пространство представляет собой 0-мерное многообразие.
• Окружность — это компактное 1-многообразие.
• Тор и бутылка Клейна являются компактными 2-многообразиями (или поверхностями ) .
• N -мерная сфера S n ^{представляет} собой компактное n -многообразие.
• N -мерный тор T ⁿ (произведение n окружностей) является компактным n -многообразием.

Проективные многообразия

• Проективные пространства над действительными числами , комплексами или кватернионами являются компактными многообразиями.
  • Действительное проективное пространство RP ⁿ представляет собой n -мерное многообразие.
  • Комплексное проективное пространство CP ⁿ представляет собой 2 n -мерное многообразие.
  • Кватернионное проективное пространство HP ⁿ представляет собой 4 n -мерное многообразие.
• Многообразия, связанные с проективным пространством, включают грассманианы , флаговые многообразия и многообразия Штифеля .

Другие коллекторы

• Дифференцируемые многообразия — это класс топологических многообразий, снабженных дифференциальной структурой .
• Линзовые пространства — это класс дифференцируемых многообразий, являющихся факторами нечетномерных сфер.
• Группы Ли представляют собой класс дифференцируемых многообразий, снабженных совместимой групповой структурой.
• Многообразие E8 является топологическим многообразием, которому нельзя придать дифференцируемую структуру.

Характеристики

Свойство быть локально евклидовым сохраняется локальными гомеоморфизмами . То есть, если X локально евклидово размерности n и f  : Y → X — локальный гомеоморфизм, то Y локально евклидово размерности n . В частности, локально евклидовость является топологическим свойством .

Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства. В частности, они локально компактны , локально связны , обладают первой счетностью , локально стягиваемы и локально метризуемы . Будучи локально компактными хаусдорфовыми пространствами, многообразия обязательно являются тихоновскими пространствами .

Добавление условия Хаусдорфа может сделать несколько свойств эквивалентными для многообразия. В качестве примера, мы можем показать, что для многообразия Хаусдорфа понятия σ-компактности и вторичной счетности совпадают. Действительно, многообразие Хаусдорфа является локально компактным хаусдорфовым пространством, следовательно, оно (полностью) регулярно. ^[4] Предположим, что такое пространство X является σ-компактным. Тогда оно является линделёфовым, и поскольку линделёфовость + регулярность влечет паракомпактность, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве вторичная счетность совпадает с линделёфовостью, поэтому X является вторичной счетностью. И наоборот, если X является хаусдорфовым многообразием со вторичной счетностью, оно должно быть σ-компактным. ^[5]

Многообразие не обязательно должно быть связным, но каждое многообразие M является несвязным объединением связных многообразий. Это просто связные компоненты M , которые являются открытыми множествами , поскольку многообразия локально связны. Будучи локально путевым связным, многообразие путевым связным тогда и только тогда, когда оно связно. Из этого следует, что путевые компоненты те же самые, что и компоненты .

Аксиома Хаусдорфа

Свойство Хаусдорфа не является локальным; поэтому, хотя евклидово пространство является хаусдорфовым, локально евклидово пространство не обязательно является . Однако верно, что каждое локально евклидово пространство является T 1 .

Примером нехаусдорфова локально евклидова пространства является прямая с двумя началами . Это пространство создается путем замены начала действительной прямой двумя точками, открытая окрестность каждой из которых включает все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не является хаусдорфовым, поскольку два начала не могут быть разделены.

Аксиомы компактности и счетности

Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно . Длинная линия является примером нормального хаусдорфова одномерного топологического многообразия, которое не является ни метризуемым, ни паракомпактным. Поскольку метризуемость является столь желательным свойством для топологического пространства, принято добавлять паракомпактность к определению многообразия. В любом случае, непаракомпактные многообразия обычно считаются патологическими . Примером непаракомпактного многообразия является длинная линия . Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, они являются совершенно нормальными хаусдорфовыми пространствами .

Многообразия также обычно требуют, чтобы они были счетно-второстепенными . Это как раз то условие, которое требуется для того, чтобы гарантировать, что многообразие вкладывается в некоторое конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетно-второстепенности, линделефовости и σ-компактности эквивалентны.

Каждое многообразие, поддающееся второй счетности, является паракомпактным, но не наоборот. Однако обратное утверждение почти верно: паракомпактное многообразие является многообразием, поддающимся второй счетности, тогда и только тогда, когда оно имеет счетное число связных компонент . В частности, связное многообразие является паракомпактным тогда и только тогда, когда оно является многообразием, поддающимся второй счетности. Каждое многообразие, поддающееся второй счетности, является сепарабельным и паракомпактным. Более того, если многообразие является сепарабельным и паракомпактным, то оно также является многообразием, поддающимся второй счетности.

Каждое компактное многообразие является вторично счетным и паракомпактным.

Размерность

В силу инвариантности области определения непустое n -многообразие не может быть m -многообразием при n ≠ m . ^[6] Размерность непустого n -многообразия равна n . Быть n -многообразием является топологическим свойством , означающим, что любое топологическое пространство, гомеоморфное n -многообразию, также является n -многообразием. ^[7]

Координатные карты

По определению, каждая точка локально евклидова пространства имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству . Такие окрестности называются евклидовыми окрестностями . Из инвариантности области определения следует , что евклидовы окрестности всегда являются открытыми множествами. Всегда можно найти евклидовы окрестности, гомеоморфные «хорошим» открытым множествам в . Действительно, пространство M является локально евклидовым тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную самой себе. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Евклидова окрестность, гомеоморфная открытому шару в , называется евклидовым шаром . Евклидовы шары образуют основу топологии локально евклидова пространства. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Для любой евклидовой окрестности U гомеоморфизм называется координатной картой на U (хотя слово « карта» часто используется для обозначения области или диапазона такой карты). Пространство M является локально евклидовым тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто евклидовыми окрестностями. Набор евклидовых окрестностей, которые покрывают M , вместе с их координатными картами, называется атласом на M . (Терминология происходит от аналогии с картографией , согласно которой сферический глобус может быть описан атласом плоских карт или диаграмм). ${\displaystyle \phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}}$

Для двух диаграмм с перекрывающимися областями U и V существует функция перехода ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)}$

Такое отображение является гомеоморфизмом между открытыми подмножествами . То есть, координатные карты согласуются относительно перекрытий с точностью до гомеоморфизма. Различные типы многообразий могут быть определены путем наложения ограничений на типы разрешенных отображений перехода. Например, для дифференцируемых многообразий отображения перехода должны быть гладкими . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Классификация коллекторов

Дискретные пространства (0-многообразие)

0-многообразие — это просто дискретное пространство . Дискретное пространство является счетно-второстепенным тогда и только тогда, когда оно счетно . ^[7]

Кривые (1-многообразие)

Каждое непустое, паракомпактное, связное 1-многообразие гомеоморфно либо R , либо окружности . ^[7]

Поверхности (2-многообразие)

Сфера является 2-многообразием.

Каждое непустое, компактное, связное 2-многообразие (или поверхность ) гомеоморфно сфере , связной сумме торов или связной сумме проективных плоскостей . ^[8]

Объемы (3-х коллекторные)

Классификация 3-многообразий вытекает из гипотезы геометризации Терстона , доказанной Григорием Перельманом в 2003 году. Более конкретно, результаты Перельмана предоставляют алгоритм для определения того, являются ли два 3-многообразия гомеоморфными друг другу. ^[9]

Общийн-коллектор

Известно, что полная классификация n -многообразий для n больше трех невозможна; она по крайней мере так же сложна, как и проблема со словами в теории групп , которая, как известно, алгоритмически неразрешима . ^[10]

На самом деле, не существует алгоритма для определения, является ли заданное многообразие односвязным . Однако существует классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5. ^{[11] [12]}

Многообразия с границей

Иногда бывает полезной немного более общая концепция. Топологическое многообразие с границей — это хаусдорфово пространство , в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству евклидова полупространства (для фиксированного n ):

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.}$

Каждое топологическое многообразие является топологическим многообразием с границей, но не наоборот. ^[7]

Конструкции

Существует несколько методов создания коллекторов из других коллекторов.

Продуктовые коллекторы

Если M является m -многообразием, а N является n -многообразием, то декартово произведение M × N является ( m + n )-многообразием при заданной топологии произведения . ^[13]

Несвязное объединение

Несвязное объединение счетного семейства n -многообразий является n -многообразием (все части должны иметь одинаковую размерность). ^[7]

Связанная сумма

Связная сумма двух n -многообразий определяется путем удаления открытого шара из каждого многообразия и взятия частного несвязного объединения полученных многообразий с краем, причем частное берется относительно гомеоморфизма между граничными сферами удаленных шаров. Это приводит к другому n -многообразию. ^[7]

Подмногообразие

Любое открытое подмножество n -многообразия является n -многообразием с топологией подпространства . ^[13]

Сноски

1. Раджендра Бхатия (6 июня 2011 г.). Труды Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 19–27 августа 2010 г. World Scientific. стр. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
2. Джон М. Ли (6 апреля 2006 г.). Введение в топологические многообразия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.
3. Тьерри Обен (2001). Курс дифференциальной геометрии. Американское математическое общество. стр. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
4. Топопространства subwiki, Локально компактный Хаусдорф подразумевает полностью регулярный
5. Stack Exchange, Хаусдорф локально компактен и имеет вторую счетность, является сигма-компактным
6. Таммо том Дик (2008). Алгебраическая топология. Европейское математическое общество. стр. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
7. Джон Ли (25 декабря 2010 г.). Введение в топологические многообразия. Springer Science & Business Media. стр. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
8. Жан Галлье; Дианна Сюй (5 февраля 2013 г.). Руководство по теореме классификации компактных поверхностей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3.
9. Геометризация 3-многообразий. Европейское математическое общество. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1.
10. Лоуренс Конлон (17 апреля 2013 г.). Дифференцируемые многообразия: первый курс. Springer Science & Business Media. стр. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0.
11. Žubr AV (1988) Классификация односвязных топологических 6-многообразий. В: Viro OY, Vershik AM (ред.) Топология и геометрия — семинар Рохлина. Lecture Notes in Mathematics, т. 1346. Springer, Берлин, Гейдельберг
12. Барден, Д. «Просто связные пятимерные многообразия». Annals of Mathematics, т. 82, № 3, 1965, стр. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.
13. Джеффри Ли; Джеффри Марк Ли (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Американское математическое общество. стр. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Ссылки

• Голд, ДБ (1974). «Топологические свойства многообразий». The American Mathematical Monthly . 81 (6). Математическая ассоциация Америки: 633–636. doi :10.2307/2319220. JSTOR  2319220.
• Кирби, Робион К.; Зибенманн, Лоренс К. (1977). Основополагающие эссе о топологических многообразиях. Сглаживания и триангуляции (PDF) . Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
• Ли, Джон М. (2000). Введение в топологические многообразия. Graduate Texts in Mathematics 202. Нью-Йорк: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Математические многообразия на Wikimedia Commons