Длинная линия (топология)

Топологическое пространство в математике

В топологии длинная линия (или линия Александрова ) представляет собой топологическое пространство, чем-то похожее на реальную линию , но в определенном смысле «длиннее». Локально она ведет себя так же, как реальная линия, но имеет другие крупномасштабные свойства (например, она не является ни линделефовой , ни сепарабельной ). Поэтому он служит важным контрпримером в топологии. ^[1] Интуитивно понятно, что обычная линия действительных чисел состоит из счетного числа отрезков, уложенных встык, тогда как длинная линия состоит из несчетного числа таких отрезков. ${\displaystyle [0,1)}$

Определение

Замкнутый длинный луч определяется как декартово произведение первого несчетного ординала с полуоткрытым интервалом, снабженным топологией порядка , возникающей из лексикографического порядка на . Открытый длинный луч получается из закрытого длинного луча путем удаления наименьшего элемента. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

Длинная линия получается путем «склеивания» двух длинных лучей, одного в положительном направлении, а другого в отрицательном. Более строго ее можно определить как топологию порядка в непересекающемся объединении перевернутого открытого длинного луча («обратный» означает обратный порядок) (это отрицательная половина) и (не перевернутого) замкнутого длинного луча (положительный половина), полностью упорядоченный, позволяя точкам последнего быть больше, чем точки первого. Альтернативно, возьмите две копии открытого длинного луча и отождествите открытый интервал одного с тем же интервалом другого, но поменяв интервал, то есть определите точку (где такое действительное число, что ) одного с точку другого и определим длинную линию как топологическое пространство, полученное путем склеивания двух открытых длинных лучей вдоль открытого интервала, определенного между ними. (Первая конструкция лучше в том смысле, что она определяет порядок на длинной прямой и показывает, что топология является топологией порядка; вторая лучше в том смысле, что она использует склейку по открытому множеству, что более понятно из топологической топологии). точка зрения.) ${\displaystyle \{0\}\times (0,1)}$ ${\displaystyle (0,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle (0,1-t)}$

Интуитивно замкнутый длинный луч подобен настоящей (замкнутой) полупрямой, за исключением того, что он значительно длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и замкнутый на другом. Открытый длинный луч подобен настоящей линии (или, что то же самое, открытой полулинии), за исключением того, что он намного длиннее в одном направлении: мы говорим, что он длинный на одном конце и короткий (открытый) на другом. Длинная линия длиннее реальных линий в обоих направлениях: мы говорим, что она длинная в обоих направлениях.

Однако многие авторы говорят о «длинной линии» там, где мы говорили о (закрытом или открытом) длинном луче, и существует большая путаница между различными длинными пространствами. Однако во многих случаях использования или контрпримерах это различие несущественно, поскольку важной частью является «длинный» конец строки, и не имеет значения, что происходит на другом конце (длинный, короткий или закрытый).

Соответствующее пространство, (замкнутый) расширенный длинный луч , получается как одноточечная компактификация путем присоединения дополнительного элемента к правому концу. Можно аналогичным образом определить расширенную длинную линию , добавив к длинной линии два элемента, один в точке каждый конец. ${\displaystyle L^{*},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L.}$

Характеристики

Замкнутый длинный луч состоит из бесчисленного количества копий, «склеенных» встык. Сравните это с тем фактом, что для любого счетного ординала склеивание копий дает пространство, которое по-прежнему гомеоморфно (и порядково-изоморфно) (И если бы мы попытались склеить вместе больше копий , полученное пространство больше не было бы локально гомеоморфным к ) ${\displaystyle L=\omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Всякая возрастающая последовательность в сходится к пределу в ; это является следствием того факта, что (1) элементы являются счетными ординалами, (2) верхняя грань каждого счетного семейства счетных ординалов является счетным ординалом и (3) каждая возрастающая и ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Следовательно, не может быть строго возрастающей функции. Фактически, каждая непрерывная функция в конечном итоге является постоянной. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} }$

В качестве порядковой топологии длинные лучи и прямые (возможно, расширенные) являются нормальными хаусдорфовыми пространствами . Все они имеют ту же мощность , что и реальная линия, но «намного длиннее». Все они локально компактны . Ни один из них не метризуем ; это можно увидеть, поскольку длинный луч секвенционно компактен , но не компактен и даже не компактен по Линделефу .

(Нерасширенная) длинная линия или луч не является паракомпактным . Он связен по путям , локально связан по путям и просто связан , но не сжимаем . Это одномерное топологическое многообразие с краем в случае замкнутого луча. Она счетна в первую очередь , но не счетна во вторую и не отделима , поэтому авторы, которым требуются последние свойства в своих многообразиях, не называют длинную прямую многообразием. ^[2]

Имеет смысл рассматривать все длинные пространства сразу, поскольку каждое связное (непустое) одномерное (не обязательно сепарабельное ) топологическое многообразие , возможно, с краем, гомеоморфно либо окружности, либо замкнутому интервалу, либо открытому интервалу (действительной прямой ), полуоткрытый интервал, закрытый длинный луч, открытый длинный луч или длинная линия. ^[3]

Длинная прямая или луч может быть снабжена структурой (неразделимого) дифференцируемого многообразия (с краем в случае замкнутого луча). Однако в отличие от топологической структуры, которая уникальна (топологически существует только один способ сделать действительную линию «длиннее» с обоих концов), дифференцируемая структура не уникальна: на самом деле их (если быть точным) неисчислимо много. попарно недиффеоморфные гладкие структуры на нем. ^[4] Это резко контрастирует с реальной линией, где также присутствуют различные гладкие структуры, но все они диффеоморфны стандартной. ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

Длинная линия или луч может быть даже снабжена структурой (вещественного) аналитического многообразия (с краем в случае замкнутого луча). Однако это гораздо сложнее, чем для дифференцируемого случая (это зависит от классификации (сепарабельных) одномерных аналитических многообразий, которая сложнее, чем для дифференцируемых многообразий). Опять же, любая данная структура может быть расширена бесконечным множеством способов до различных (= аналитических) структур (которые попарно недиффеоморфны как аналитические многообразия). ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$

Длинную линию или луч нельзя снабдить римановой метрикой , индуцирующей ее топологию. Причина в том, что римановы многообразия , даже без предположения паракомпактности, можно показать как метризуемые. ^[6]

Вытянутый длинный луч компактен . Это одноточечная компактификация замкнутого длинного луча, но это также и его компактификация Стоуна-Чеха , поскольку любая непрерывная функция от (замкнутого или открытого) длинного луча до действительной прямой в конечном итоге является постоянной. ^[7] также связен , но не связан по пути , потому что длинная линия «слишком длинна», чтобы ее можно было покрыть путем, который представляет собой непрерывное изображение интервала. не является многообразием и не счетно. ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L^{*}}$

р -адический аналог

Существует p -адический аналог длинной линии, принадлежащий Джорджу Бергману . ^[8]

Это пространство строится как возрастающее объединение несчетного направленного множества копий кольца p -адических целых чисел, индексированных счетным ординалом. Определите отображение от до всякий раз следующим образом: ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$

• Если является преемником , то карта от до — это просто умножение на. Для других карта от до — это композиция карты от до и карты от до. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon +1}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }.}$
• Если - предельный ординал, то прямой предел множеств for представляет собой счетное объединение p -адических шаров, поэтому его можно вложить, поскольку с удаленной точкой оно также является счетным объединением p -адических шаров. Это определяет совместимые вложения в для всех ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$ ${\displaystyle X_{\gamma },}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma .}$

Это пространство не компактно, но объединение любого счетного множества компактных подпространств имеет компактное замыкание.

Высшие измерения

Некоторые примеры непаракомпактных многообразий в более высоких измерениях включают многообразие Прюфера , произведения любого непаракомпактного многообразия с любым непустым многообразием, шар большого радиуса и так далее. Теорема о волынке показывает, что существуют классы изоморфизма непаракомпактных поверхностей. ^{[ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

Комплексных аналогов длинной линии не существует, поскольку каждая риманова поверхность паракомпактна, но Калаби и Розенлихт привели пример непаракомпактного комплексного многообразия комплексной размерности 2. ^[9]

Смотрите также

• Топология лексикографического порядка на единичном квадрате
• Список топологий

Рекомендации

1. Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 71–72. ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446. Збл  1245.54001.
2. Шастри, Анант Р. (2011), Элементы дифференциальной топологии, CRC Press, стр. 122, ISBN 9781439831632.
3. Кунен, К.; Воган, Дж. (2014), Справочник по теоретико-множественной топологии, Elsevier, стр. 643, ISBN 9781483295152.
4. Никос, Питер Дж. (1992). «Различные сглаживания длинных линий и их касательных расслоений». Достижения в математике . 93 (2): 129–213. дои : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . МР  1164707.
5. Кнезер, Хельмут; Кнезер, Мартин (1960). «Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden». Архив математики . 11 : 104–106. дои : 10.1007/BF01236917.
6. С. Кобаяши и К. Номидзу (1963). Основы дифференциальной геометрии . Том. I. Межнаучный. п. 166.
7. Джоши, К.Д. (1983). «Глава 15 Раздел 3». Введение в общую топологию . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-27556-1. МР  0709260.
8. Серр, Жан-Пьер (1992). «IV («Аналитические многообразия»), приложение 3 («Трансфинитная p -адическая линия»)». Алгебры Ли и группы Ли (лекции в Гарвардском университете, 1964 г.) . Конспект лекций по математике, часть II («Группы Ли»). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-55008-9.
9. Калаби, Эухенио; Розенлихт, Максвелл (1953). «Комплексные аналитические многообразия без счетной базы». Труды Американского математического общества . 4 (3): 335–340. дои : 10.1090/s0002-9939-1953-0058293-x . МР  0058293.