Коконечность

Быть подмножеством, дополнением которого является конечное множество

В математике коконечное подмножество множества — это подмножество , дополнением которого в является конечное множество . Другими словами, содержит все , кроме конечного числа элементов из Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество сосчетно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

Они возникают естественным образом при обобщении структур конечных множеств на бесконечные множества, в частности на бесконечные произведения, как в топологии произведения или прямой суммы.

Такое использование префикса « со » для описания свойства, которым обладает дополнение множества, согласуется с его использованием в других терминах, таких как « со -тощее множество ».

Булевы алгебры

Множество всех подмножеств , которые являются либо конечными, либо коконечными, образует булеву алгебру , что означает, что она замкнута относительно операций объединения , пересечения и дополнения. Эта булева алгебра является ${\displaystyle X}$конечно-коконечная алгебра на ${\displaystyle X.}$

В другом направлении булева алгебра имеет единственный неглавный ультрафильтр (то есть максимальный фильтр, не порожденный ни одним элементом алгебры) тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество такое, что изоморфно конечно-коконечной алгебре на В этом случае неглавный ультрафильтр — это множество всех коконечных подмножеств . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Кофинитная топология

Кофинитная топология (иногда называемая конечной дополнительной топологией ) — это топология , которая может быть определена на каждом множестве Она имеет в точности пустое множество и все кофинитные подмножества как открытые множества. Как следствие, в кофинитной топологии единственными замкнутыми подмножествами являются конечные множества или все Символически топологию можно записать как ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.}$$

Эта топология естественным образом возникает в контексте топологии Зарисского . Поскольку многочлены от одной переменной над полем равны нулю на конечных множествах, или вся топология Зарисского на (рассматриваемая как аффинная прямая ) является кофинитной топологией. То же самое верно для любой неприводимой алгебраической кривой ; это неверно, например, для в плоскости. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle XY=0}$

Характеристики

• Подпространства: Каждая топология подпространства кофинитной топологии также является кофинитной топологией.
• Компактность: Поскольку каждое открытое множество содержит все точки, кроме конечного числа, пространство является компактным и последовательно компактным . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
• Разделение: Кофинитная топология — это грубейшая топология, удовлетворяющая аксиоме T 1 ; то есть это наименьшая топология, для которой каждое одноэлементное множество замкнуто. Фактически, произвольная топология на удовлетворяет аксиоме T ₁ тогда и только тогда, когда она содержит кофинитную топологию. Если является конечным, то кофинитная топология — это просто дискретная топология . Если не является конечным, то эта топология не является хаусдорфовой (T 2 ) , регулярной или нормальной , потому что никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися (то есть она является гиперсвязной ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Двуточечная кофинитная топология

Двуточечная кофинитная топология — это кофинитная топология, в которой каждая точка удвоена; то есть это топологическое произведение кофинитной топологии с недискретной топологией на двухэлементном множестве. Это не T 0 или T 1 , поскольку точки каждого дублета топологически неразличимы . Однако это R 0 , поскольку топологически различимые точки разделены . Пространство компактно как произведение двух компактных пространств; или же оно компактно, поскольку каждое непустое открытое множество содержит все, кроме конечного числа точек.

В качестве примера счетной двуточечной кофинитной топологии множеству целых чисел можно задать топологию, такую, что каждое четное число топологически неотличимо от следующего нечетного числа . Замкнутые множества являются объединениями конечного числа пар или всего множества. Открытые множества являются дополнениями замкнутых множеств; а именно, каждое открытое множество состоит из всех пар, кроме конечного числа , или является пустым множеством. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$ ${\displaystyle 2n,2n+1,}$

Другие примеры

Топология продукта

Топология произведения на произведении топологических пространств имеет базис , где открыто, и коконечное множество ${\displaystyle \prod X_{i}}$ ${\displaystyle \prod U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}=X_{i}.}$

Аналогом, не требующим, чтобы коконечное число факторов охватывало все пространство, является топология ящика .

Прямая сумма

Элементы прямой суммы модулей — это последовательности , в которых коконечное число ${\displaystyle \bigoplus M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0.}$

Аналогом, не требующим, чтобы конечное число слагаемых было равно нулю, является прямое произведение .

Смотрите также

• Фильтр Фреше  - фильтр ФрешеСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446 (См. пример 18)