мера Бореля

Мера, определенная на всех открытых множествах топологического пространства

В математике , в частности в теории меры , борелевская мера на топологическом пространстве — это мера , которая определена на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех борелевских множествах ). ^[1] Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений на меру, как описано ниже.

Формальное определение

Пусть будет локально компактным хаусдорфовым пространством , и пусть будет наименьшей σ-алгеброй , которая содержит открытые множества ; это известно как σ-алгебра борелевских множеств . Борелевская мера — это любая мера , определенная на σ-алгебре борелевских множеств. ^[2] Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы было локально конечно , то есть чтобы каждая точка имела открытую окрестность с конечной мерой. Для хаусдорфовых пространств это означает, что для каждого компактного множества , а для локально компактных хаусдорфовых пространств эти два условия эквивалентны. Если борелевская мера является как внутренней регулярной , так и внешней регулярной , она называется регулярной борелевской мерой . Если является как внутренней регулярной, так и внешней регулярной и локально конечной , она называется мерой Радона . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (C)<\infty }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

На реальной линии

Действительная прямая с ее обычной топологией является локально компактным хаусдорфовым пространством; следовательно, мы можем определить на ней меру Бореля. В этом случае — наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы . Хотя существует много мер Бореля μ , выбор меры Бореля, которая назначает для каждого полуоткрытого интервала, иногда называют «мерой Бореля» на . Эта мера оказывается ограничением на σ-алгебру Бореля меры Лебега , которая является полной мерой и определена на σ-алгебре Лебега. σ-алгебра Лебега на самом деле является пополнением σ-алгебры Бореля, что означает, что она является наименьшей σ-алгеброй, содержащей все множества Бореля и может быть снабжена полной мерой . Кроме того, мера Бореля и мера Лебега совпадают на множествах Бореля (т. е. для каждого измеримого по Борелю множества, где — мера Бореля, описанная выше). Эта идея распространяется на конечномерные пространства ( теорема Крамера–Вольда , ниже), но в общем случае не выполняется для бесконечномерных пространств. Бесконечномерных мер Лебега не существует. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ((a,b])=b-a}$ ${\displaystyle (a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (E)=\mu (E)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пространства продукта

Если X и Y являются хаусдорфовыми топологическими пространствами со второй аксиомой счетности , то множество борелевских подмножеств их произведения совпадает с произведением множеств борелевских подмножеств X и Y. [ ^{3] То есть,} функтор Бореля ${\displaystyle B(X\times Y)}$ ${\displaystyle B(X)\times B(Y)}$

${\displaystyle \mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas} }$

из категории хаусдорфовых пространств со второй аксиомой счетности в категорию измеримых пространств сохраняет конечные произведения .

Приложения

Интеграл Лебега–Стилтьеса

Интеграл Лебега –Стилтьеса — это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега–Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на действительной прямой. Мера Лебега–Стилтьеса — это регулярная мера Бореля , и наоборот, каждая регулярная мера Бореля на действительной прямой имеет этот вид. ^[4]

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа конечной борелевской меры μ на вещественной прямой можно определить с помощью интеграла Лебега ^[5]

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$

Важный особый случай — когда μ — вероятностная мера или, еще более конкретно, дельта-функция Дирака. В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера исходила из функции распределения f . В этом случае, чтобы избежать возможной путаницы, часто пишут

${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

где нижний предел 0 ⁻ является сокращенной записью для

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в точке 0, полностью охвачена преобразованием Лапласа. Хотя с интегралом Лебега нет необходимости брать такой предел, он выглядит более естественно в связи с преобразованием Лапласа–Стилтьеса .

Проблема моментов

Моменты конечной борелевской меры μ на вещественной прямой можно определить с помощью интеграла

${\displaystyle m_{n}=\int _{a}^{b}x^{n}\,d\mu (x).}$

Для них соответствуют проблема моментов Гамбургера , проблема моментов Стилтьеса и проблема моментов Хаусдорфа соответственно. Вопрос или проблема, которые необходимо решить, заключается в том, существует ли соответствующая мера для заданного набора таких моментов? Для проблемы моментов Хаусдорфа соответствующая мера уникальна. Для других вариантов, в общем случае, существует бесконечное число различных мер, которые дают те же самые моменты. ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,\infty ),\;(0,\infty ),\;(0,1)}$

Размерность Хаусдорфа и лемма Фростмана

Если задана мера Бореля μ на метрическом пространстве X , такая, что μ ( X ) > 0 и μ ( B ( x , r )) ≤ r ^s выполняется для некоторой константы s > 0 и для каждого шара B ( x , r ) в X , то размерность Хаусдорфа dim _Haus ( X ) ≥ s . Частичное обратное утверждение дается леммой Фростмана : ^[6]

Лемма: Пусть A — борелевское подмножество R ⁿ , и пусть s  > 0. Тогда следующие условия эквивалентны:

• H ^s ( A ) > 0, где H ^s обозначает s -мерную меру Хаусдорфа .
• Существует (беззнаковая) мера Бореля μ, удовлетворяющая μ ( A ) > 0, и такая, что

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

справедливо для всех ^x ∈  Rn  и r >  0.

Теорема Крамера–Вольда

Теорема Крамера –Вольда в теории меры утверждает, что борелевская вероятностная мера на однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций. ^[7] Она используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальда Крамера и Германа Оле Андреаса Вольда . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Смотрите также

• оператор Якоби

Ссылки

1. DH Fremlin, 2000. Теория меры Архивировано 01.11.2010 на Wayback Machine . Торрес Фремлин.
2. Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и мера . Cambridge University Press . С. 158–184. ISBN 0-521-29715-X.
3. Владимир И. Богачев . Теория меры, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.
4. Халмос, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
5. Феллер 1971, §XIII.1
6. Rogers, CA (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.
7. К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков . Чепмен и Холл.

Дальнейшее чтение

• Гауссова мера , конечномерная мера Бореля
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• JD Pryce (1973). Основные методы функционального анализа . Библиотека университета Хатчинсона. Хатчинсон . стр. 217. ISBN 0-09-113411-0.
• Ransford, Thomas (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости. London Mathematical Society Student Texts. Том 28. Кембридж: Cambridge University Press . С. 209–218. ISBN 0-521-46654-7. Збл  0828.31001.
• Тешль, Джеральд , Темы по реальному и функциональному анализу, (конспекты лекций)
• Лемма Винера, связанная с

Внешние ссылки

• Мера Бореля в Encyclopedia of Mathematics