Мнимое число

Квадратный корень из неположительного действительного числа

Мнимое число — это действительное число , умноженное на мнимую единицу i , ^{[примечание 1]} , которая определяется его свойством i ² = −1 . ^{[ 1] [2]} Квадрат мнимого числа bi равен − b 2 . Например, 5 i — мнимое число, а его квадрат равен −25 . Число ноль считается как действительным, так и мнимым. ^[3]

Первоначально придуманная в 17 веке Рене Декартом ^[4] как уничижительный термин и считавшаяся вымышленной или бесполезной, эта концепция получила широкое признание после работ Леонарда Эйлера (в 18 веке), Огюстена-Луи Коши и Карла Фридриха Гаусса ( в начале 19 века).

Мнимое число bi можно прибавить к вещественному числу a , чтобы образовать комплексное число вида a + bi , где действительные числа a и b называются соответственно действительной частью и мнимой частью комплексного числа. ^[5]

История

Иллюстрация сложной плоскости. Мнимые числа расположены на вертикальной оси координат.

Хотя греческий математик и инженер Герон Александрийский известен как первый, кто представил вычисления, включающие квадратный корень из отрицательного числа, ^{[6] [7]} именно Рафаэль Бомбелли первым установил правила умножения комплексных чисел в 1572 году. Эта концепция уже появлялась в печати ранее, например, в работе Джероламо Кардано . В то время мнимые и отрицательные числа были плохо изучены и считались некоторыми вымышленными или бесполезными, как когда-то ноль. Многие другие математики не спешили использовать мнимые числа, в том числе Рене Декарт , который писал о них в своей «Геометрии» , в которой он ввел термин «мнимые» и считал его уничижительным. ^{[8] [9]} Использование мнимых чисел не получило широкого распространения до работ Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745–1818). ^[10]

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырехмерного пространства воображаемых кватернионов , в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

Геометрическая интерпретация

Повороты на 90 градусов в комплексной плоскости

Геометрически мнимые числа располагаются на вертикальной оси плоскости комплексных чисел , что позволяет представлять их перпендикулярно действительной оси. Один из способов просмотра мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую линию, величина которой увеличивается положительно вправо и отрицательно увеличивается влево. При значении 0 на оси x ось y может быть нарисована с «положительным» направлением вверх; «Положительные» мнимые числа затем увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эту вертикальную ось часто называют «мнимой осью» ^[11] и обозначают или ℑ . ^[12] ${\displaystyle i\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {I} ,}$

В этом представлении умножение на  i соответствует повороту против часовой стрелки на 90 градусов вокруг начала координат, что составляет четверть круга. Умножение на  — i соответствует повороту по часовой стрелке на 90 градусов относительно начала координат. Аналогично, умножение на чисто мнимое число bi , где b — действительное число, вызывает поворот против часовой стрелки вокруг начала координат на 90 градусов и масштабирует ответ в b раз . Когда b < 0 , это можно вместо этого описать как поворот по часовой стрелке на 90 градусов и масштабирование на | б | . ^[13]

Квадратные корни отрицательных чисел

Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, которые выражаются как главные значения квадратных корней отрицательных чисел . ^[14] Для x и y оба положительные действительные числа:

${\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}={\sqrt {(-x)\cdot (-y)}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {-x}}\cdot {\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\cdot i{\sqrt {y}}=-{\sqrt {x\cdot y}}\,.}$

Смотрите также

• Октонион
• −1

Примечания

1. j обычно используется в инженерном контексте, где i имеет другие значения (например, электрический ток)

Рекомендации

1. Уно Ингард, К. (1988). "Глава 2". Основы волн и колебаний . Издательство Кембриджского университета. п. 38. ISBN 0-521-33957-Х.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Воображаемое число». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
3. Синха, КЦ (2008). Учебник по математике XI класса (второе изд.). Публикации Растоги. п. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
4. Джаквинта, Мариано; Модика, Джузеппе (2004). Математический анализ: аппроксимация и дискретные процессы (иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 121. ИСБН 978-0-8176-4337-9.Выдержка со страницы 121
5. Ауфманн, Ричард; Баркер, Вернон К.; Нация, Ричард (2009). Студенческая алгебра: расширенное издание (6-е изд.). Cengage Обучение. п. 66. ИСБН 978-1-4390-4379-0.
6. Харгиттай, Иштван (1992). Пятикратная симметрия (2-е изд.). Всемирная научная. п. 153. ИСБН 981-02-0600-3.
7. Рой, Стивен Кэмпбелл (2007). Комплексные числа: моделирование решетки и применение дзета-функции. Хорвуд. п. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
8. Декарт, Рене , Discours de la méthode (Лейден, (Нидерланды): Ян Мэр, 1637), прилагаемая книга: La Géométrie , книга третья, стр. 380. Со страницы 380: «Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en Imagineer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu 'il n'y a quelquefois aucune quantité, который соответствует клеткам, которые представляют себе, comme encore qu'on en puisse Imaginer trois en celle cy, x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, и pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires». (Более того, истинные корни, как и ложные [корни], не всегда действительны; а иногда лишь мнимые [величины]; то есть всегда можно представить в каждом уравнении столько их, сколько я сказал; но есть иногда нет величины, соответствующей тому, что человек воображает, точно так же, как хотя можно представить три из них в этом [уравнении] х ³ – 6хх + 13х – 10 = 0, однако только одно из них действительно, то есть 2, и относительно два других, хотя одно увеличивает, или уменьшает, или умножает их способом, который я только что объяснил, невозможно сделать их иными, чем мнимыми [величиями].)
9. Мартинес, Альберт А. (2006), Негативная математика: как математические правила могут быть положительно изменены , Принстон: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, обсуждает двусмысленность значений воображаемых выражений в историческом контексте.
10. Розенфельд, Борис Абрамович (1988). «Глава 10». История неевклидовой геометрии: эволюция понятия геометрического пространства . Спрингер. п. 382. ИСБН 0-387-96458-4.
11. фон Мейер, Александра (2006). Электроэнергетические системы – концептуальное введение. Джон Уайли и сыновья . стр. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Проверено 13 января 2022 г.
12. Уэбб, Стивен (2018). «5. Бессмысленные пометки на бумаге». Столкновение символов – путешествие по богатству глифов . Springer Science+Business Media . стр. 204–205. дои : 10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.
13. Кейперс, Дж. Б. (1999). Кватернионы и последовательности вращения: учебник по применению в орбитах, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности. Издательство Принстонского университета . стр. 10–11. ISBN 0-691-10298-8. Проверено 13 января 2022 г.
14. Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история «я» [квадратный корень из минус один]. Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9.Выдержка со страницы 12

Библиография

• Нахин, Пол (1998). Воображаемая сказка: история квадратного корня из −1 . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1., объясняет многие применения воображаемых выражений.

Внешние ссылки

• Как можно доказать, что мнимые числа действительно существуют? – статья, в которой обсуждается существование мнимых чисел.
• Программа 5Numbers 4 Программа BBC Radio 4
• Зачем использовать мнимые числа? Основное объяснение и использование мнимых чисел