В математике категория (иногда называемая абстрактной категорией , чтобы отличить ее от конкретной категории ) представляет собой совокупность «объектов», связанных «стрелками» . Категория имеет два основных свойства: возможность ассоциативно составлять стрелки и наличие идентификационной стрелки для каждого объекта. Простым примером является категория множеств , объекты которой являются множествами , а стрелки — функциями .
Теория категорий — это раздел математики, который стремится обобщить всю математику в терминах категорий, независимо от того, что представляют собой их объекты и стрелки. Практически каждую ветвь современной математики можно описать с помощью категорий, и это часто раскрывает глубокие идеи и сходства между, казалось бы, разными областями математики. Таким образом, теория категорий обеспечивает альтернативную основу математики для теории множеств и других предлагаемых аксиоматических оснований. В общем, объекты и стрелки могут быть абстрактными объектами любого типа, а понятие категории обеспечивает фундаментальный и абстрактный способ описания математических объектов и их отношений.
Помимо формализации математики, теория категорий также используется для формализации многих других систем в информатике, таких как семантика языков программирования .
Две категории считаются одинаковыми, если они имеют один и тот же набор объектов, один и тот же набор стрелок и один и тот же ассоциативный способ составления любой пары стрелок. Две разные категории также могут считаться « эквивалентными » для целей теории категорий, даже если они не имеют совершенно одинаковой структуры.
Хорошо известные категории обозначаются коротким словом с заглавной буквы или аббревиатурой, выделенной жирным шрифтом или курсивом: примеры включают Set , категорию множеств и функций множеств ; Кольцо — категория колец и гомоморфизмов колец ; и Top , категория топологических пространств и непрерывных отображений . Все предыдущие категории имеют карту идентичности в виде стрелок идентичности, а композицию — в виде ассоциативной операции над стрелками.
Классический и до сих пор широко используемый текст по теории категорий — « Категории для работающего математика» Сондерса Мак Лейна . Другие ссылки приведены в разделе «Ссылки» ниже. Основные определения в этой статье содержатся в первых нескольких главах любой из этих книг.
Любой моноид можно понимать как категорию особого рода (с одним объектом, самоморфизмы которого представлены элементами моноида), как и любой предзаказ .
Существует множество эквивалентных определений категории. [1] Одним из наиболее часто используемых определений является следующее. Категория С состоит из
такие, что выполняются следующие аксиомы:
Мы пишем f : a → b и говорим, что « f — морфизм из a в b ». Мы пишем hom( a , b ) (или hom C ( a , b ), когда может возникнуть путаница относительно того, к какой категории относится hom( a , b )) для обозначения hom-класса всех морфизмов от a до b . [2]
Некоторые авторы записывают совокупность морфизмов в «диаграммном порядке», записывая f;g или fg вместо g ∘ f .
С помощью этих аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм. Часто отображение, присваивающее каждому объекту его тождественный морфизм, рассматривается как дополнительная часть структуры категории, а именно функция класса i: ob(C) → mor(C). Некоторые авторы используют небольшой вариант определения, в котором каждый объект идентифицируется соответствующим тождественным морфизмом. Это вытекает из идеи, что фундаментальными данными категорий являются морфизмы, а не объекты. Фактически, категории можно определять вообще без ссылки на объекты, используя частичную бинарную операцию с дополнительными свойствами.
Категория C называется малой , если ob( C ) и hom( C ) на самом деле являются множествами , а не собственными классами , и большой в противном случае. Локально малая категория — это такая категория, что для всех объектов a и b hom-класс hom( a , b ) представляет собой множество, называемое homset . Многие важные категории в математике (например, категория множеств) хотя и не малы, но, по крайней мере, локально малы. Поскольку в малых категориях объекты образуют множество, малую категорию можно рассматривать как алгебраическую структуру, аналогичную моноиду , но не требующую свойств замыкания . С другой стороны, большие категории можно использовать для создания «структур» алгебраических структур.
Класс всех множеств (как объектов) вместе со всеми функциями между ними (как морфизмов), где композиция морфизмов представляет собой обычную композицию функций , образует большую категорию Set . Это самая основная и наиболее часто используемая категория в математике. Категория Rel состоит из всех множеств (как объектов) с бинарными отношениями между ними (как морфизмов). Абстрагирование от отношений вместо функций приводит к аллегориям , специальному классу категорий.
Любой класс можно рассматривать как категорию, единственными морфизмами которой являются тождественные морфизмы. Такие категории называются дискретными . Для любого данного множества I дискретная категория на I — это небольшая категория, в которой элементы I являются объектами и только тождественные морфизмы в качестве морфизмов. Дискретные категории — это самый простой вид категорий.
Любой предварительно упорядоченный набор ( P , ≤ ) образует небольшую категорию, где объекты являются членами P , морфизмы представляют собой стрелки, указывающие от x к y , когда x ≤ y . Более того, если ≤ антисимметричен , между любыми двумя объектами может быть не более одного морфизма . Существование тождественных морфизмов и компонуемость морфизмов гарантируются рефлексивностью и транзитивностью предпорядка . По тому же аргументу любое частично упорядоченное множество и любое отношение эквивалентности можно рассматривать как малую категорию. Любое порядковое число можно рассматривать как категорию, если рассматривать его как упорядоченный набор .
Любой моноид (любая алгебраическая структура с одной ассоциативной бинарной операцией и единичным элементом ) образует небольшую категорию с единственным объектом x . (Здесь x — любое фиксированное множество.) Морфизмы от x до x — это в точности элементы моноида, тождественный морфизм x — это тождество моноида, а категориальная композиция морфизмов задается операцией моноида. Некоторые определения и теоремы о моноидах можно обобщить на категории.
Аналогичным образом любую группу можно рассматривать как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим , то есть для каждого морфизма f существует морфизм g , который является как левым, так и правым обратным к f при композиции. Морфизм, обратимый в этом смысле, называется изоморфизмом .
A groupoid is a category in which every morphism is an isomorphism. Groupoids are generalizations of groups, group actions and equivalence relations. Actually, in the view of category the only difference between groupoid and group is that a groupoid may have more than one object but the group must have only one. Consider a topological space X and fix a base point of X, then is the fundamental group of the topological space X and the base point , and as a set it has the structure of group; if then let the base point runs over all points of X, and take the union of all , then the set we get has only the structure of groupoid (which is called as the fundamental groupoid of X): two loops (under equivalence relation of homotopy) may not have the same base point so they cannot multiply with each other. In the language of category, this means here two morphisms may not have the same source object (or target object, because in this case for any morphism the source object and the target object are same: the base point) so they can not compose with each other.
Any directed graph generates a small category: the objects are the vertices of the graph, and the morphisms are the paths in the graph (augmented with loops as needed) where composition of morphisms is concatenation of paths. Such a category is called the free category generated by the graph.
The class of all preordered sets with monotonic functions as morphisms forms a category, Ord. It is a concrete category, i.e. a category obtained by adding some type of structure onto Set, and requiring that morphisms are functions that respect this added structure.
The class of all groups with group homomorphisms as morphisms and function composition as the composition operation forms a large category, Grp. Like Ord, Grp is a concrete category. The category Ab, consisting of all abelian groups and their group homomorphisms, is a full subcategory of Grp, and the prototype of an abelian category. Other examples of concrete categories are given by the following table.
Пучки волокон с картами связок между ними образуют конкретную категорию.
Категория Cat состоит из всех малых категорий с функторами между ними в качестве морфизмов.
Любую категорию C можно рассматривать как новую категорию по-другому: объекты те же, что и в исходной категории, но стрелки соответствуют объектам исходной категории, перевернутым. Это называется двойственной или противоположной категорией и обозначается Cop .
Если C и D — категории, можно сформировать категорию произведения C × D : объекты — это пары, состоящие из одного объекта из C и одного из D , а морфизмы также являются парами, состоящими из одного морфизма в C и одного в D. Такие пары можно составлять покомпонентно .
Морфизм f : a → b называется _
Любая ретракция является эпиморфизмом. Каждое сечение является мономорфизмом. Следующие три утверждения эквивалентны:
Отношения между морфизмами (такими как fg = h ) удобнее всего представлять с помощью коммутативных диаграмм , где объекты представлены в виде точек, а морфизмы — в виде стрелок.
