Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани

В математике теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани связывает линейные функционалы в пространствах непрерывных функций на локально компактном пространстве с мерами в теории меры. Теорема названа в честь Фриджеса Рисса  (1909), который ввел ее для непрерывных функций на единичном интервале , Андрея Маркова  (1938), который распространил результат на некоторые некомпактные пространства, и Сидзуо Какутани  (1941), который распространил результат на компактные Хаусдорфы . пространства .

Существует множество тесно связанных вариаций теоремы, поскольку линейные функционалы могут быть комплексными, действительными или положительными , пространство, на котором они определены, может быть единичным интервалом, компактом или локально компактным пространством , непрерывные функции могут исчезать . на бесконечности или иметь компактный носитель , а меры могут быть мерами Бэра , обычными мерами Бореля , мерами Радона , знаковыми мерами или комплексными мерами .

Теорема о представлении положительных линейных функционалов на C c ( X )

Формулировка теоремы для положительных линейных функционалов на C _c ( X ) — пространстве комплекснозначных непрерывных функций с компактным носителем — следующая:

Теорема. _Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство и положительный линейный функционал на Cc ( X ) . Тогда существуют борелевская σ-алгебра Σ на X и единственная положительная борелевская мера на X такие, что ^[1] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{c}(X),}$

который имеет следующие дополнительные свойства:

• ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$для каждого компакта , т. е. является σ-конечной мерой ; ^[2] ${\displaystyle K\subset X}$ ${\displaystyle \mu }$
• Внешняя регулярность :выполняется для любого борелевского множества ; ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}}$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$
• Внутренняя регулярность :сохраняется всякий раз, когдаоткрыт или когдаБорель и; ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)<\infty }$
• ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$является полным пространством меры

Таким образом, если все открытые множества в X σ -компактны , то это мера Радона . ^[3] ${\displaystyle \mu }$

Один из подходов к теории меры состоит в том, чтобы начать с меры Радона , определяемой как положительный линейный функционал _на Cc ( X ) . Это путь, принятый Бурбаки ; конечно, предполагается, что X начинает жизнь как топологическое пространство , а не просто как множество. Тогда для локально компактных пространств восстанавливается теория интегрирования.

Без условия регулярности борелевская мера не обязательно будет единственной. Например, пусть X будет набором ординалов, не более чем равным первому несчетному ординалу Ω , с топологией, порожденной « открытыми интервалами ». Линейный функционал, переводящий непрерывную функцию в свое значение в Ω , соответствует регулярной борелевской мере с точечной массой в Ω . Однако это также соответствует (нерегулярной) борелевской мере, которая присваивает меру 1 любому борелевскому множеству , если существует замкнутое и неограниченное множество с , и присваивает меру 0 другим борелевским множествам. (В частности , синглтон получает меру 0 в отличие от меры точечной массы.) ${\displaystyle B\subseteq [0,\Omega ]}$ ${\displaystyle C\subseteq [0,\Omega [}$ ${\displaystyle C\subseteq B}$ ${\displaystyle \{\Omega \}}$

Теорема о представлении непрерывного двойственного к C 0 ( X )

Следующее представление, также называемое теоремой Рисса-Маркова , дает конкретную реализацию топологического двойственного пространства C 0 ₍ X ) , набора непрерывных функций на X , которые обращаются в нуль на бесконечности .

Теорема. Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство. Для любого непрерывного линейного функционала на C0 ( X ) существует единственная комплекснозначная регулярная борелевская мера на X такая, _что ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{0}(X).}$

Комплекснозначная борелевская мера называется регулярной, если положительная мера удовлетворяет определенным выше условиям регулярности . Нормой как линейного функционала является полная вариация , т.е. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X).}$

Наконец, положительна тогда и только тогда , когда мера положительна. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

Это утверждение о линейных функционалах можно вывести из утверждения о положительных линейных функционалах, сначала показав, что ограниченный линейный функционал можно записать как конечную линейную комбинацию положительных.

Историческое замечание

В своей первоначальной форме Фридьес Рисс  (1909) теорема утверждает, что каждый непрерывный линейный функционал A в пространстве C ([0, 1]) непрерывных функций f в интервале [0, 1] может быть представлен как

${\displaystyle A[f(x)]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x),}$

где α ( x ) — функция ограниченной вариации на интервале [0, 1] , а интеграл — интеграл Римана–Стилтьеса . Поскольку существует взаимно однозначное соответствие между борелевскими регулярными мерами на интервале и функциями ограниченной вариации (что сопоставляет каждой функции ограниченной вариации соответствующую меру Лебега–Стилтьеса, а интеграл по мере Лебега–Стилтьеса согласуется с интегралом Римана–Стилтьеса для непрерывных функций) сформулированная выше теорема обобщает исходное утверждение Ф. Рисса. ^[4]

Примечания

1. Рудин 1987, с. 40.
2. Рудин 1987, с. 47.
3. Рудин 1987, с. 48.
4. Грей 1984.

Рекомендации

• Фреше, М. (1907). «Сюр-лес-ансамбли де-функция и ле-операции линейные». ЧР акад. наук. Париж . 144 : 1414–1416.
• Грей, Джей Ди (1984). «Формирование теоремы о представлении Рисса: глава истории анализа». Архив истории точных наук . 31 (2): 127–187. дои : 10.1007/BF00348293.
• Хартиг, Дональд Г. (1983). «Возвращение к теореме о представлении Рисса». Американский математический ежемесячник . 90 (4): 277–280. дои : 10.2307/2975760. JSTOR  2975760.; теоретико-категорное представление как естественное преобразование.
• Какутани, Шизуо (1941). «Конкретное представление абстрактных (М)-пространств. (Характеризация пространства непрерывных функций.)». Анна. математики . Серия 2. 42 (4): 994–1024. дои : 10.2307/1968778. hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR  1968778. MR  0005778.
• Марков, А. (1938). «О средних значениях и внешних плотностях». Рек. Математика. Москва . НС 4 : 165–190. Збл  0020.10804.
• Рисс, Ф. (1907). «Sur une espèce de géométrie Analytique des systèmes de sommables sommables». ЧР акад. наук. Париж . 144 : 1409–1411.
• Рисс, Ф. (1909). «О линейных операциях». ЧР акад. наук. Париж . 149 : 974–977.
• Халмос, П. (1950). Теория меры . Д. ван Ностранд и Ко.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о представлении Рисса». Математический мир .
• Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ . ISBN 0-07-100276-6.