Положительный линейный функционал

В математике , а точнее в функциональном анализе , положительный линейный функционал на упорядоченном векторном пространстве — это линейный функционал на таком, что для всех положительных элементов выполняется следующее: ${\displaystyle (V,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle v\geq 0,}$ $${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

Другими словами, положительный линейный функционал гарантированно принимает неотрицательные значения для положительных элементов. Значимость положительных линейных функционалов заключается в таких результатах, как теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани .

Когда — комплексное векторное пространство, предполагается, что для всех — вещественное число. Как и в случае, когда — C*-алгебра с ее частично упорядоченным подпространством самосопряженных элементов, иногда частичный порядок накладывается только на подпространство , и частичный порядок не распространяется на все из , в этом случае положительные элементы из являются положительными элементами из -за злоупотребления обозначениями. Это подразумевает, что для C*-алгебры положительный линейный функционал переводит любое равное для некоторого в вещественное число, которое равно его комплексно сопряженному, и, следовательно, все положительные линейные функционалы сохраняют самосопряженность такого Это свойство используется в конструкции GNS для связи положительных линейных функционалов на C*-алгебре со скалярными произведениями . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\geq 0,}$ ${\displaystyle f(v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\subseteq V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle s^{\ast }s}$ ${\displaystyle s\in V}$ ${\displaystyle x.}$

Достаточные условия непрерывности всех положительных линейных функционалов

Существует сравнительно большой класс упорядоченных топологических векторных пространств , на которых каждая положительная линейная форма обязательно непрерывна. ^[1] Сюда входят все топологические векторные решетки , которые являются последовательно полными . ^[1]

Теорема Пусть — упорядоченное топологическое векторное пространство с положительным конусом , а обозначим семейство всех ограниченных подмножеств Тогда каждое из следующих условий достаточно, чтобы гарантировать, что каждый положительный линейный функционал на является непрерывным: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$имеет непустую топологическую внутренность (в ). ^[1] ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$является полным и метризуемым и ^[1] ${\displaystyle X=C-C.}$
3. ${\displaystyle X}$является борнологическим и является полуполным строгим -конусом в ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle X}$— индуктивный предел семейства упорядоченных пространств Фреше относительно семейства положительных линейных отображений, где для всех , где — положительный конус ^[1] ${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A,}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }.}$

Непрерывные положительные расширения

Следующая теорема принадлежит Х. Бауэру и независимо Намиоке. ^[1]

Теорема : ^[1] Пусть — упорядоченное топологическое векторное пространство (TVS) с положительным конусом, пусть — векторное подпространство и пусть — линейная форма на Тогда имеет расширение до непрерывной положительной линейной формы на тогда и только тогда, когда существует некоторая выпуклая окрестность в такая , что ограничена сверху на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M\cap (U-C).}$

Следствие : ^[1] Пусть — упорядоченное топологическое векторное пространство с положительным конусом, пусть — векторное подпространство пространства Если содержит внутреннюю точку, то каждая непрерывная положительная линейная форма на имеет расширение до непрерывной положительной линейной формы на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Следствие : ^[1] Пусть — упорядоченное векторное пространство с положительным конусом , пусть — векторное подпространство и пусть — линейная форма на Тогда имеет расширение до положительной линейной формы на тогда и только тогда, когда существует некоторое выпуклое поглощающее подмножество в , содержащее начало координат, такое, что ограничено сверху на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M\cap (W-C).}$

Доказательство: Достаточно наделить наилучшей локально выпуклой топологией, превращая в окрестность ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in X.}$

Примеры

Рассмотрим в качестве примера C*-алгебру комплексных квадратных матриц , положительными элементами которой являются положительно-определенные матрицы . Функция следа , определенная на этой C*-алгебре, является положительным функционалом, поскольку собственные значения любой положительно-определенной матрицы положительны, и, следовательно, ее след положителен. ${\displaystyle V,}$

Рассмотрим пространство Рисса всех непрерывных комплекснозначных функций с компактным носителем на локально компактном хаусдорфовом пространстве Рассмотрим регулярную по Борелю меру на и функционал, определяемый соотношением Тогда этот функционал положителен (интеграл любой положительной функции является положительным числом). Более того, любой положительный функционал на этом пространстве имеет этот вид, как следует из теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани . ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ for all }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$

Положительные линейные функционалы (C*-алгебры)

Пусть будет C*-алгеброй (в более общем смысле, операторной системой в C*-алгебре ) с единицей Пусть обозначает множество положительных элементов в ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle M^{+}}$ ${\displaystyle M.}$

Линейный функционал на называется положительным, если для всех ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$ ${\displaystyle a\in M^{+}.}$

Теорема. Линейный функционал на положителен тогда и только тогда, когда ограничен и ^[2] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$

Неравенство Коши–Шварца

Если — положительный линейный функционал на C*-алгебре , то можно определить полуопределенную полуторалинейную форму на с помощью Таким образом, из неравенства Коши–Шварца имеем ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).}$ $${\displaystyle \left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).}$$

Приложения к экономике

При наличии пространства ценовую систему можно рассматривать как непрерывный, положительный, линейный функционал на . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Смотрите также

• Положительный элемент  – Группа с совместимым частичным порядкомPages displaying short descriptions of redirect targets
• Положительный линейный оператор  – Концепция в функциональном анализе

Ссылки

1. Schaefer & Wolff 1999, стр. 225–229.
2. Мерфи, Джерард. "3.3.4". C*-Алгебры и теория операторов (1-е изд.). Academic Press, Inc. стр. 89. ISBN 978-0125113601.

Библиография

• Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр, т. I: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 . 
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.