Неограниченный оператор

Линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве

В математике , а точнее в функциональном анализе и теории операторов , понятие неограниченного оператора обеспечивает абстрактную основу для работы с дифференциальными операторами , неограниченными наблюдаемыми в квантовой механике и другими случаями.

Термин «неограниченный оператор» может ввести в заблуждение, поскольку

• «неограниченный» иногда следует понимать как «не обязательно ограниченный»;
• под «оператором» следует понимать « линейный оператор » (как в случае с «ограниченным оператором»);
• областью определения оператора является линейное подпространство , а не обязательно все пространство;
• это линейное подпространство не обязательно замкнуто ; часто (но не всегда) его считают плотным ;
• в частном случае ограниченного оператора тем не менее обычно предполагается, что областью определения является все пространство.

В отличие от ограниченных операторов , неограниченные операторы в данном пространстве не образуют ни алгебры , ни даже линейного пространства, поскольку каждый из них определен в своей области определения.

Термин «оператор» часто означает «ограниченный линейный оператор», но в контексте данной статьи он означает «неограниченный оператор» с оговорками, сделанными выше. Данное пространство предполагается гильбертовым . ^{[ нужны разъяснения ]} Возможны некоторые обобщения на банаховые пространства и более общие топологические векторные пространства .

Краткая история

Теория неограниченных операторов развивалась в конце 1920-х — начале 1930-х годов как часть разработки строгой математической основы квантовой механики . ^[1] Развитие теории связано с Джоном фон Нейманом ^[2] и Маршаллом Стоуном . ^[3] Фон Нейман ввел использование графов для анализа неограниченных операторов в 1932 году. ^[4]

Определения и основные свойства

Пусть X , Y — банаховы пространства . Неограниченный оператор (или просто оператор ) T  : D ( T ) → Y — это линейное отображение T линейного подпространства D ( T ) ⊆ X — области определения T — в пространство Y. ^[5] Вопреки обычному соглашению, T не может быть определен на всем пространстве X .

Оператор T называется замкнутым, если его график Γ( T ) является замкнутым множеством . ^[6] (Здесь граф Γ( T ) представляет собой линейное подпространство прямой суммы X ⊕ Y , определенное как множество всех пар ( x , Tx ) , где x пробегает область определения T  .) Явно это означает, что для каждой последовательности { x _n } точек из области определения T такой, что x _n → x и Tx _n → y , справедливо, что x принадлежит области определения T и Tx = y . ^[6] Замкнутость также может быть сформулирована в терминах нормы графа : оператор T замкнут тогда и только тогда, когда его область определения D ( T ) является полным пространством относительно нормы: ^[7]

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

Оператор T называется плотно определенным , если его область определения плотна в X. ^[5] Сюда также входят операторы, определенные на всем пространстве X , поскольку все пространство само по себе плотно. Плотность области необходима и достаточна для существования сопряженного (если X и Y — гильбертовы пространства) и транспонирования; см. разделы ниже.

Если T  : X → Y замкнуто, плотно определено и непрерывно в своей области определения, то ее областью определения является вся область X . ^{[номер 1]}

Плотно определенный оператор T в гильбертовом пространстве H называется ограниченным снизу, если T + a — положительный оператор для некоторого действительного числа a . То есть ⟨ Tx | Икс ⟩ ≥ - а || х || ² для всех x в области определения T (или, альтернативно, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ² , поскольку a произвольно). ^[8] Если и T , и −T ограничены снизу, то T ограничено. ^[8]

Пример

Пусть C ([0, 1]) обозначает пространство непрерывных функций на единичном интервале, а C ¹ ([0, 1]) — пространство непрерывно дифференцируемых функций. Снабдим супремум нормой, сделав его банаховым пространством. Определим классический оператор дифференцирования ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$д/дх : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) по обычной формуле:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

Любая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Мы утверждаем, чтод/дх : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) — корректно определенный неограниченный оператор с областью определения C ¹ ([0, 1]) . Для этого нам нужно показать, что линейно, а затем, например, показать какое-нибудь такое, что и . ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$ ${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$

Это линейный оператор, поскольку линейная комбинация a f  + bg двух непрерывно дифференцируемых функций f  , g также непрерывно дифференцируема, и 

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

Оператор не ограничен. Например,

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

удовлетворить

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

но

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

как . ${\displaystyle n\to \infty }$

Оператор плотно определен и замкнут.

Один и тот же оператор можно рассматривать как оператор Z → Z для многих вариантов банахова пространства Z и он не может быть ограничен ни одним из них. В то же время он может быть ограничен как оператор X → Y для других пар банаховых пространств X , Y , а также как оператор Z → Z для некоторых топологических векторных пространств Z. ^{[ необходимы пояснения ]} В качестве примера пусть I ⊂ R — открытый интервал и рассмотрим

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

где:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

примыкающий

Сопряженный к неограниченному оператору можно определить двумя эквивалентными способами. Пусть – неограниченный оператор между гильбертовыми пространствами. ${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$

Во-первых, его можно определить аналогично тому, как определяют сопряженный оператор ограниченного оператора. А именно, сопряженный к T определяется как оператор со свойством: ${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$

$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$

Tтеоремы Хана – Банаха ${\displaystyle T^{*}y}$ ${\displaystyle y\in H_{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle H_{1}}$

$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$

теорема о представлении РиссаTT ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle T^{*}y=z}$ ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle T^{*}y}$

По определению область определения состоит из таких элементов , которые непрерывны в области определения T . Следовательно, областью действия может быть что угодно; оно может быть тривиальным (то есть содержать только ноль). ^[9] Может случиться так, что область определения является замкнутой гиперплоскостью и обращается в нуль всюду на этой области. ^{[10] [11]} Таким образом, ограниченность области определения не влечет за собой ограниченность T . С другой стороны, если оператор T определен во всем пространстве, то T ограничен в своей области определения и, следовательно, может быть расширен по непрерывности до ограниченного оператора во всем пространстве. ^{[nb 2]} Если область определения плотна, то она имеет сопряженный ^[12] Замкнутый плотно определенный оператор T ограничен тогда и только тогда, когда ограничен. ^{[номер 3]} ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}.}$ ${\displaystyle T^{*}}$

Другое эквивалентное определение сопряженного можно получить, заметив общий факт. Определим линейный оператор следующим образом: ^[12] ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$$

T^[13] ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$

xTT ${\displaystyle S}$

Из приведенного определения непосредственно следует, что сопряженное замкнуто. ^[12] В частности, самосопряженный оператор (имеется в виду ) замкнут. Оператор T замкнут и плотно определен тогда и только тогда, когда ^{[nb 4]} ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T=T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}=T.}$

Некоторые хорошо известные свойства ограниченных операторов обобщаются на замкнутые плотно определенные операторы. Ядро закрытого оператора закрыто. При этом ядро ​​замкнутого плотно определенного оператора совпадает с ортогональным дополнением образа сопряженного. То есть ^[14] ${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$

Теорема фон Неймана^[15]то T ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle I+T^{*}T}$ ${\displaystyle I+TT^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$

T является сюръективным тогда и только тогда, когда существует такое, что для всех в ^{[nb 5]} (по сути, это вариант так называемой теоремы о замкнутом диапазоне .) В частности, T имеет замкнутый диапазон тогда и только тогда, когда имеет замкнутый диапазон. ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$ ${\displaystyle T^{*}}$

В отличие от ограниченного случая, в этом нет необходимости, поскольку, например, возможно даже то, чего не существует. ^{[ нужна цитация ]} Однако это имеет место, если, например, T ограничено. ^[16] ${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$ ${\displaystyle (TS)^{*}}$

Плотно определенный замкнутый оператор T называется нормальным , если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ^[17]

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• область определения T равна области определения и для каждого x в этой области; ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$
• существуют самосопряженные операторы такие, что и для каждого x в области определения T . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T=A+iB,}$ ${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$

Любой самосопряженный оператор является нормальным.

Транспонировать

Пусть – оператор между банаховыми пространствами. Тогда транспонирование (или двойственное ) является линейным оператором, удовлетворяющим: ${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$

^[18] ${\displaystyle x\in B_{1}}$ ${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$

Необходимым и достаточным условием существования транспонирования является то , что оно плотно определено (по сути, по той же причине, что и для сопряженных, как обсуждалось выше). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Для любого гильбертова пространства существует антилинейный изоморфизм: ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$

^[19] ${\displaystyle Jf=y}$ ${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$ ${\displaystyle {}^{t}T}$ ${\displaystyle T^{*}}$

$${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$

${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$

Замкнутые линейные операторы

Замкнутые линейные операторы — класс линейных операторов в банаховых пространствах . Они более общие, чем ограниченные операторы , и поэтому не обязательно непрерывны , но все же сохраняют достаточно хорошие свойства, позволяющие определить спектр и (при определенных предположениях) функциональное исчисление для таких операторов. Многие важные линейные операторы, которые не могут быть ограничены, оказываются замкнутыми, например производная и большой класс дифференциальных операторов .

Пусть X , Y — два банаховых пространства . Линейный оператор A  : D ( A ) ⊆ X → Y замкнут, если для каждой последовательности { xn _} в D ( A ) , сходящейся к x в X , такой, что Axn _→ y ∈ Y при n → ∞ , имеет место x ∈ D ( А ) и Ах знак равно у . Эквивалентно, A замкнута, если ее график замкнут в прямой сумме X ⊕ Y .

Для линейного оператора A , не обязательно замкнутого, если замыкание его графика в X ⊕ Y оказывается графиком некоторого оператора, этот оператор называется замыканием A , и мы говорим, что A замыкаем . Обозначим замыкание A через A . Отсюда следует, что A является ограничением A на D ( A ) .

Ядро (или существенная область ) замыкаемого оператора — это подмножество C в D ( A ) , такое что замыкание ограничения A на C есть A.

Пример

Рассмотрим производный оператор A =д/дхгде X = Y = C ([ a , b ]) — банахово пространство всех непрерывных функций на интервале [ a , b ] . Если взять область определения D ( A ) как C ¹ ([ a , b ]) , то A — замкнутый оператор, который не ограничен. ^[20] С другой стороны, если D ( A ) = C ^∞ ([ a , b ]) , то A больше не будет замкнутым, но будет замыкаемым, причем замыкание будет его расширением, определенным на C ¹ ([ a , б ]) .

Симметричные операторы и самосопряженные операторы

Оператор T в гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда для каждого x и y в области определения T имеем . Плотно определенный оператор T симметричен тогда и только тогда, когда он согласуется со своим сопряженным T ^∗, ограниченным областью определения T , другими словами, когда T ^∗ является расширением T . ^[21] ${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$

В общем, если T плотно определен и симметричен, область определения присоединенного T ^∗ не обязательно равна области определения T . Если T симметричен и область определения T и область определения сопряженного совпадают, то мы говорим, что T самосопряженный . ^[22] Заметим, что когда T самосопряжён, из существования сопряженного следует, что T плотно определён, а поскольку T ^∗ обязательно замкнуто, T замкнуто.

Плотно определенный оператор T является симметричным , если подпространство Γ( T ) (определенное в предыдущем разделе) ортогонально его образу J (Γ( T )) относительно J (где J ( x , y ):=( y ,- Икс )). ^{[номер 6]}

Эквивалентно, оператор T является самосопряженным, если он плотно определен, замкнут, симметричен и удовлетворяет четвертому условию: оба оператора T – i , T + i сюръективны, то есть отображают область определения T на все пространство H. . Другими словами: для каждого x в H существуют y и z в области определения T такие, что Ty – iy = x и Tz + iz = x . ^[23]

Оператор T называется самосопряженным , если два подпространства Γ( T ) , J (Γ( T )) ортогональны и их сумма равна всему пространству ^[12] ${\displaystyle H\oplus H.}$

Этот подход не распространяется на неплотно определенные закрытые операторы. Неплотно определенные симметричные операторы могут быть определены непосредственно или через графы, но не через сопряженные операторы.

Симметричный оператор часто изучается через его преобразование Кэли .

Оператор T в комплексном гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда его квадратичная форма действительна, то есть число действительно для всех x в области определения T . ^[21] ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$

Плотно определенный замкнутый симметрический оператор T самосопряжен тогда и только тогда, когда T ^∗ симметричен. ^[24] Может случиться так, что это не так. ^{[25] [26]}

Плотно определенный оператор T называется положительным ^[8] (или неотрицательным ^[27] ), если его квадратичная форма неотрицательна, т. е. для всех x в области определения T . Такой оператор обязательно симметричен. ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$

Оператор T ^∗ T самосопряженный ^[28] и положительный ^[8] для любого плотно определенного замкнутого T .

Спектральная теорема применима к самосопряженным операторам ^[29] и, более того, к нормальным операторам ^{[30] , [31]} , но не к плотно определенным, замкнутым операторам вообще, поскольку в этом случае спектр может быть пустым. ^{[32] [33]}

Симметричный оператор, определенный всюду, является замкнутым, а значит, ограниченным, ^[6] что является теоремой Хеллингера-Тёплица . ^[34]

Связанный с расширением

По определению оператор T является расширением оператора S , если Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . ^[35] Эквивалентное прямое определение: для каждого x в области определения S , x принадлежит области определения T и Sx = Tx . ^{[5] [35]}

Обратите внимание, что для каждого оператора существует везде определенное расширение, что является чисто алгебраическим фактом, объясненным в разделе «Разрывное линейное отображение § Общая теорема существования» и основанным на аксиоме выбора . Если данный оператор не ограничен, то расширение представляет собой разрывное линейное отображение . От него мало пользы, поскольку он не может сохранить важные свойства данного оператора (см. ниже) и обычно весьма неоднозначен.

Оператор T называется замыкающим , если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ^{[6] [35] [36]}

• T имеет закрытое расширение;
• замыкание графика T является графиком некоторого оператора;
• для любой последовательности ( xn ) точек из области определения _T такой , что xn → 0 _, а также _Txn → y , справедливо y = 0 .

Не все операторы являются закрывающимися. ^[37]

Замыкаемый оператор T имеет наименьшее замкнутое расширение , называемое замыканием T . Замыкание графика T совпадает с графиком из ^{[6] [35].} Могут существовать и другие неминимальные замкнутые расширения. ^{[25] [26]} ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\overline {T}}.}$

Плотно определенный оператор T замыкается тогда и только тогда, когда T ^∗ плотно определен. В этом случае и ^{[12] [38]} ${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$ ${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$

Если S плотно определено и T является расширением S , то S ^∗ является расширением T ^∗ . ^[39]

Любой симметричный оператор замыкаем. ^[40]

Симметричный оператор называется максимально симметричным, если он не имеет симметричных расширений, кроме самого себя. ^[21] Каждый самосопряженный оператор максимально симметричен. ^[21] Обратное неверно. ^[41]

Оператор называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряжено. ^[40] Оператор по существу является самосопряженным тогда и только тогда, когда он имеет одно и только одно самосопряженное расширение. ^[24]

Симметричный оператор может иметь более одного самосопряженного расширения и даже их континуум. ^[26]

Плотно определенный симметричный оператор T по существу самосопряженный тогда и только тогда, когда оба оператора T – i , T + i имеют плотный диапазон. ^[42]

Пусть T — плотно определенный оператор. Обозначая отношение « T является расширением S » через S ⊂ T (обычное сокращение для Γ( S ) ⊆ Γ( T )) имеем следующее. ^[43]

• Если T симметричен, то T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Если T замкнуто и симметрично, то T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Если T самосопряженный, то T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Если T существенно самосопряжен, то T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

Важность самосопряженных операторов

Класс самосопряженных операторов особенно важен в математической физике. Каждый самосопряженный оператор плотно определен, замкнут и симметричен. Обратное утверждение верно для ограниченных операторов, но в общем случае неверно. Самосопряженность существенно более ограничивает, чем эти три свойства. Знаменитая спектральная теорема справедлива для самосопряженных операторов. В сочетании с теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах он показывает, что самосопряженные операторы являются в точности бесконечно малыми генераторами сильно непрерывных однопараметрических унитарных групп, см. Самосопряженный оператор § Самосопряженные расширения в квантовой механике . Такие унитарные группы особенно важны для описания эволюции во времени в классической и квантовой механике.

Смотрите также

• Гильбертово пространство § Неограниченные операторы
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Ограниченный оператор

Примечания

1. Предположим, f j _— последовательность в области определения T , которая сходится к g ∈ X. Поскольку T равномерно непрерывен в своей области определения, Tf _j является Коши в Y . Таким образом, (  f _j  , T f _j  ) является Коши и поэтому сходится к некоторому (  f  , T f  ), поскольку график T замкнут. Следовательно, f   = g и область определения T замкнута. 
2. Доказательство: будучи замкнутым, везде определенное ограничено, из чего следует ограниченность последнего, являющегося замыканием T . См. также (Pedersen 1989, 2.3.11) случай везде определенного T . ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**},}$
3. Доказательство: Итак, если ограничено, то сопряженное с ним T ограничено. ${\displaystyle T^{**}=T.}$ ${\displaystyle T^{*}}$
4. Доказательство: если T замкнуто и плотно определено, то оно существует и плотно определено. Таким образом существует. Граф T плотен в графе следовательно. Обратно , поскольку из существования следует, что то, из чего, в свою очередь, следует T , плотно определено. Поскольку замкнуто, T плотно определено и замкнуто. ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}}$ ${\displaystyle T^{**};}$ ${\displaystyle T=T^{**}.}$ ${\displaystyle T^{**}}$ ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle T^{**}}$
5. Если сюръективно, то имеет ограниченную обратную, обозначаемую Оценка тогда следует, поскольку ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}}$ ${\displaystyle S.}$
   $${\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$$
   Обратно, предположим, что оценка выполнена. Поскольку имеет закрытый диапазон, это тот случай, когда поскольку он плотный, достаточно показать, что он имеет закрытый диапазон. Если сходится, то сходится по оценке, так как ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (T)}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle TT^{*}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$
   $${\displaystyle \|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.}$$
   Скажем, поскольку самосопряжено; таким образом, замкнутая (теорема фон Неймана), КЭД ${\displaystyle f_{j}\to g.}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.}$
6. Следует из (Pedersen 1989, 5.1.5) и определения через сопряженные операторы.

Рекомендации

Цитаты

1. Рид и Саймон 1980, Примечания к главе VIII, стр. 305.
2. фон Нейман 1930, стр. 49–131.
3. Стоун 1932 г.
4. фон Нейман 1932, стр. 294–310.
5. Педерсен 1989, 5.1.1
6. Педерсен 1989, 5.1.4
7. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 5.
8. Педерсен 1989, 5.1.12
9. Березанский, Шефтель и Нас 1996, Пример 3.2 на странице 16.
10. Рид и Саймон 1980, стр. 252.
11. Березанский, Шефтель и Нас 1996, Пример 3.1 на странице 15.
12. Педерсен 1989, 5.1.5
13. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 12.
14. Брезис 1983, с. 28
15. Ёсида 1980, с. 200
16. Ёсида 1980, с. 195.
17. Педерсен 1989, 5.1.11
18. Ёсида 1980, с. 193
19. Ёсида 1980, с. 196
20. Крейциг 1978, с. 294
21. Педерсен 1989, 5.1.3
22. Като 1995, 5.3.3
23. Педерсен 1989, 5.2.5
24. Reed & Simon 1980, стр. 256.
25. Педерсен 1989, 5.1.16
26. Reed & Simon 1980, пример на страницах 257-259.
27. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 25.
28. Педерсен 1989, 5.1.9
29. Педерсен 1989, 5.3.8
30. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 89.
31. Педерсен 1989, 5.3.19
32. Рид и Саймон 1980, пример 5, страница 254.
33. Педерсен 1989, 5.2.12.
34. Рид и Саймон 1980, стр. 84.
35. Рид и Саймон 1980, стр. 250
36. Березанский, Шефтель и Нас 1996, страницы 6,7.
37. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 7.
38. Рид и Саймон 1980, стр. 253.
39. Педерсен 1989, 5.1.2
40. Педерсен 1989, 5.1.6
41. Педерсен 1989, 5.2.6
42. Рид и Саймон 1980, стр. 257.
43. Рид и Саймон 1980, страницы 255, 256.

Библиография

• Березанский Ю.М.; Шефтель, З.Г.; Ус, Г.Ф. (1996), Функциональный анализ , вып. II, Биркхойзер(см. главу 12 «Общая теория неограниченных операторов в гильбертовых пространствах»).
• Брезис, Хаим (1983), Анализ функций - Теория и приложения (на французском языке), Париж: Мейсон
• «Неограниченный оператор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Холл, Британская Колумбия (2013), «Глава 9. Неограниченные самосопряженные операторы», Квантовая теория для математиков , Тексты для аспирантов по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
• Като, Тосио (1995), «Глава 5. Операторы в гильбертовом пространстве», Теория возмущений для линейных операторов , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-Х
• Крейциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . США: Джон Уайли и сыновья. Инк. ISBN 0-471-50731-8.
• Педерсен, Герт К. (1989), Анализ сейчас , Springer(см. главу 5 «Неограниченные операторы»).
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики , том. 1: Функциональный анализ (переработанное и дополненное издание), Academic Press.(см. главу 8 «Неограниченные операторы»).
• Стоун, Маршалл Харви (1932). Линейные преобразования в гильбертовом пространстве и их приложения к анализу. Перепечатка изд. 1932 г. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-7452-3.
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• фон Нейман, Дж. (1930), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов)", Mathematische Annalen , 102 (1), doi : 10.1007/BF01782338, S2CID  121249803
• фон Нейман, Дж. (1932), «Über Adjungierte Funktionaloperatore (О сопряженных функциональных операторах)», Annals of Mathematics , Вторая серия, 33 (2), doi : 10.2307/1968331, JSTOR  1968331
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

В эту статью включены материалы закрытого оператора PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .